1 (број)

1 (један) је број, нумерал и име глифа који представља тај број. То је природни број који се јавља после броја 0, а претходи броју 2.

1
−2 · −1 · 0 · 1 · 2 · 3 · 4
Кардинални број	један
Редни број	први
Делиоци	1
Факторизација	/
Римски	I
Бинарно	1
Октално	1
Дуодецимално	1
Хексадецимално	1
φ(1)	0
σ(1)	1
π(1)	0
μ(1)	1
M(1)	1

1

Стари Хелени један нису сматрали бројем. То је за њих била монада, једнота, нераздељива целина. Сматрали су да се јединица не може раздељивати без губљења својства једне целине, једноте. Тек је два било мноштво, те је представљало број.

Број један се не сматра ни простим ни сложеним бројем, мада постоје мишљења да би га требало сматрати простим бројем. У 20. веку дефинитивно је уклоњен из тог списка, а последњи математичар који га јесте сматрао простим је Анри Лебеск (1875—1941).

Број 1 не може бити основа позиционог бројног система јер су сви степени броја 1 и даље 1.

Као број

Један, који се понекад назива јединица, први је природни број различит од нуле. Дакле, то је цео број после нуле.

Сваки број помножен са један остаје тај број, јер је један идентитет за множење. Као резултат, 1 је сопствени факторијел, сопствени квадрат и квадратни корен, сопствена куб и кубни корен, и тако даље. Један је такође резултат празног производа, као што је сваки број помножен са јединицом сам по себи. То је такође једини природан број који није ни композитан ни прост у односу на дељење, већ се уместо тога сматра јединицом (значење теорије прстенова).

Еволуција развоја графичког исписа знака

Графички облик који се данас користи за испис бројке 1, усправна линија, често са малим серифом на врху и понекад са кратком линијом у подножју, вуче корене од Брахмана у Индији који су писали 1 са једном положеном линијом. У кинеском језику и данас се тако пише број 1. Гупте су исписивали ту црту закривљено, а Нагари су понекад додавали мали кружић са леве стране. Овај знак, који мало личи на положену бројку 9 се данас може наћи у Гуџарати и Пенџаби писму. У непалском писмо је црта заокренута надесно али са истим кружићем на врху. Овај кружић је постао цртица на врху усправне линије, а доња линија која се понекад исписује је потекла од исписа римске бројке I. У неким језицима (немачки) се мала коса црта претвара у велику хоризонталну, што понекад може довести до замене са бројком 7 код других народа. Тамо где се 1 пише са великом хоризонталном цртом 7 се пише са још једном хоризонталном линијом преко вертикалне.

У фонтовима са словима и цифрама, 1 је типично исте висине као мало слово X, на пример, .

У математици

За сваки број x важи:

x·1 = 1·x = x

x/1 = x

x¹ = x, 1^x = 1

x⁰ = 1, ако је x различито од 0

x↑↑1 = x и 1↑↑x = 1

У десетичном бројном систему важи следећа тврдња:

$1=0.999\dots =0.{\dot {9}}$

где тачка изнад 9 означава да се 9 понавља бесконачан број пута.

Дефиниције

Математички, 1 је:

• у аритметици (алгебри) и рачуну, природни број који следи 0 и мултипликативни елемент идентитета целих, реалних и комплексних бројева;
• уопштеније, у алгебри, мултипликативни идентитет (који се назива и јединство), обично групе или прстена.

Формализације природних бројева имају своје репрезентације 1. У Пеановим аксиомима, 1 је наследник 0. У Principia Mathematica је дефинисан као скуп свих синглетона (скупова са једним елементом), а у Фон Нојмановом кардиналном додељивању природних бројева, дефинише се као скуп {0}.

У мултипликативној групи или моноиду, елемент идентитета се понекад означава са 1, али e (од немачког Einheit, „јединство“) је такође традиционално. Међутим, 1 је посебно уобичајен за мултипликативни идентитет прстена, тј. када су такође присутни сабици и 0. Када такав прстен има карактеристику n која није једнака 0, елемент који се зван 1 има особину да је n1 = 1n = 0 (где је ово 0 адитивни идентитет прстена). Важни примери су коначна поља.

По дефиницији, 1 је магнитуда, апсолутна вредност или норма јединичног комплексног броја, јединичног вектора и јединичне матрице (чешће се назива матрица идентитета). Треба имати на уму да се термин матрица јединица понекад користи да значи нешто сасвим друго.

По дефиницији, 1 је вероватноћа догађаја за који је апсолутно или скоро сигурно да ће се догодити.

У теорији категорија, 1 се понекад користи за означавање крајњег објекта категорије.

У теорији бројева, 1 је вредност Лежандрове константе, коју је 1808. године увео Адријен-Мари Лежандр у изражавању асимптотичког понашања функције бројања простих бројева. Првобитно се претпостављало да је Лежандрова константа приближно 1,08366, али је доказано да је једнака тачно један 1899. године.

Својства

Бројање се често назива „основом 1“, пошто је потребна само једна ознака – сам зброј. Ово се формалније назива унарним нумеричким системом. За разлику од базе 2 или базе 10, ово није позициона нотација.

Пошто је експоненцијална функција базе 1 (1^x) увек једнака 1, њена инверзна функција не постоји (која би се звала логаритам базе 1 да постоји).

Постоје два начина да се прави број 1 запише као понављајућа децимала: као 1,000... и као 0,999.... 1 је први фигуративни број сваке врсте, као што су троугаони број, петоугаони број и хексагонални број са средиштем, итд.

У многим математичким и инжењерским проблемима, нумеричке вредности се обично нормализују тако да спадају у јединични интервал од 0 до 1, где 1 обично представља максималну могућу вредност у опсегу параметара. Исто тако, вектори се често нормализују у јединичне векторе (тј. вектори величине један), јер они често имају пожељнија својства. Функције се такође често нормализују под условом да имају интегралну јединицу, максималну вредност један или квадратни интеграл, у зависности од примене.

Због мултипликативног идентитета, ако је f(x) мултипликативна функција, онда f(1) мора бити једнако 1.

Такође је први и други број у Фибоначијевом низу (0 је нулти) и први је број у многим другим математичким низовима.

Дефиниција поља захтева да 1 не сме бити једнако 0. Дакле, нема поља карактеристике 1. Ипак, апстрактна алгебра може да разматра поље са једним елементом, који није синглетон и уопште није скуп.

1 је најчешћа водећа цифра у многим скуповима података, последица Бенфордовог закона.

1 је једини познати Тамагавин број за једноставно повезану алгебарску групу преко бројевног поља.

Генеришућа функција која има све коефицијенте 1 је дата са

${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots$

Ова степенска серија конвергира и има коначну вредност ако и само ако $|x|<1$.

Табела основних прорачуна

Множење	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		11	12	13	14	15	16	17	18	19	20		21	22	23	24	25		50	100	1000
1 × x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		11	12	13	14	15	16	17	18	19	20		21	22	23	24	25		50	100	1000

Дељење	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		11	12	13	14	15
1 ÷ x	1	0.5	0.3	0.25	0.2	0.16	0.142857	0.125	0.1	0.1		0.09	0.083	0.076923	0.0714285	0.06
x ÷ 1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		11	12	13	14	15

Експоненцијација	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1x	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
x1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10		11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

У технологији

1 као идентификациони код смоле, који се користи у рециклажи

• Идентификациони код смоле који се користи у рециклажи за идентификацију полиетилен терефталата.
• ITU код земље за област Северноамеричког плана нумерације, који укључује Сједињене Државе, Канаду и делове Кариба.
• Бинарни код је низ од 1 и 0 који се користи у рачунарима за представљање било које врсте података.
• У многим физичким уређајима, 1 представља вредност за „укључено“, што значи да струја тече.
• Нумеричка вредност за истинито у многим програмским језицима.
• 1 је ASCII код „Почетак заглавља”.

У хемији

Један је редни број и атомски број хемијског елемента водоника.

У филозофији

У Плотиновој филозофији (и филозофији других неоплатониста), Једно је крајња стварност и извор целокупног постојања. Филон Александријски (20. п. н. е. – 50. године) сматрао је да је број један Божји број и основа за све бројеве („De Allegoriis Legum“, ii.12 [i.66]).

Неопитагорејски филозоф Никомах из Герасе је потврдио да један није број, већ извор броја. Такође је веровао да је број два оличење порекла другости. Његову теорију бројева обновио је Боеције у свом латинском преводу Никомахове расправе Увод у аритметику.

Види још

• 1. година нове ере
• 1. година пре нове ере

Литература

• John J O'Connor and Edmund F Robertson (новембар 2000). „Indian numerals”. The MacTutor History of Mathematics archive. Архивирано из оригинала 2015-07-06. г. Приступљено 2007-07-24. CS1 одржавање: Формат датума (веза) Архивирано на сајту Wayback Machine (6. јул 2015)
• Ifrah, Georges (1998) [first published in French in 1981], The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer, Harvill, ISBN 978-1-860-46324-2 
• Menninger, Karl (2013) [first published by MIT Press in 1969], Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers, Превод: Paul Broneer, Courier Corporation, ISBN 978-0-486-31977-3 
• Plofker, Kim (2009), Mathematics in India, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12067-6 
• Sarasvati, Svami Satya Prakash; Jyotishmati, Usha (1979), The Bakhshali Manuscript: An Ancient Treatise of Indian Arithmetic (PDF), Allahabad: Dr. Ratna Kumari Svadhyaya Sansthan, Архивирано из оригинала (PDF) 2014-06-20. г., Приступљено 2016-01-19  Архивирано на сајту Wayback Machine (20. јун 2014)
• Smith, D. E.; Karpinski, L. C. (2013) [first published in Boston, 1911], The Hindu–Arabic Numerals, Dover, ISBN 978-0486155111 
• "The Development of Hindu–Arabic and Traditional Chinese Arithmetic" by Professor Lam Lay Yong, member of the International Academy of the History of Science
• Indian numerals by J J O'Connor and E F Robertson
• Arabic numerals by J J O'Connor and E F Robertson
• Hindu–Arabic numerals
• The Arabic numeral system by: J J O'Connor and E F Robertson Архивирано на сајту Wayback Machine (23. фебруар 2010)
• Filliozat, Pierre-Sylvain (2004), „Ancient Sanskrit Mathematics: An Oral Tradition and a Written Literature”, Ур.: Chemla, Karine; Cohen, Robert S.; Renn, Jürgen; et al., History of Science, History of Text (Boston Series in the Philosophy of Science), Dordrecht: Springer Netherlands, 254 pages, стр. 137—157, ISBN 978-1-4020-2320-0, doi:10.1007/1-4020-2321-9_7. 
• Kumar, Raj (2003). Essays on Ancient India. Discovery Publishing House. стр. 196—. ISBN 978-81-7141-682-0. 
• Ifrah, Georges (2000). The universal history of numbers : from prehistory to the invention of the computer. David Bellos. New York: Wiley. ISBN 0-471-37568-3. OCLC 42291138. 
• Gardiner, Anthony (1997). The Mathematical Olympiad Handbook: An Introduction to Problem Solving Based on the First 32 British Mathematical Olympiads 1965–1996. Oxford University Press. стр. 26. ISBN 978-0-19-850105-3. 
• Henderson, Anne (2014). Dyslexia, Dyscalculia and Mathematics: A practical guide (2nd изд.). Routledge. стр. 62. ISBN 978-1-136-63662-2. 
• Adler, Irving (1960). The Giant Golden Book of Mathematics: Exploring the World of Numbers and Space. Golden Press. стр. 16. OCLC 6975809. 
• Leff, Lawrence S. (2000). Math Workbook for the SAT I. Barron's Educational Series. стр. 360. ISBN 978-0-7641-0768-9. 
• Dudley, Underwood (1978). „Section 2: Unique factorization”. Elementary number theory (2nd изд.). W.H. Freeman and Co. стр. 10. ISBN 978-0-7167-0076-0. 
• Sierpiński, Wacław (1988). Elementary Theory of Numbers. North-Holland Mathematical Library. 31 (2nd изд.). Elsevier. стр. 113. ISBN 978-0-08-096019-7. 
• Ono, Takashi (1963), „On the Tamagawa number of algebraic tori”, Annals of Mathematics, Second Series, 78 (1): 47—73, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970502, MR 0156851, doi:10.2307/1970502 
• Ono, Takashi (1965), „On the relative theory of Tamagawa numbers”, Annals of Mathematics, Second Series, 82 (1): 88—111, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970563, MR 0177991, doi:10.2307/1970563 
• Tamagawa, Tsuneo (1966), „Adèles”, Algebraic Groups and Discontinuous Subgroups, Proc. Sympos. Pure Math., IX, Providence, R.I.: American Mathematical Society, стр. 113—121, MR 0212025 
• Weil, André (1959), Exp. No. 186, Adèles et groupes algébriques, Séminaire Bourbaki, 5, стр. 249—257 
• Weil, André (1982) [1961], Adeles and algebraic groups, Progress in Mathematics, 23, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-3-7643-3092-7, MR 670072 
• Lurie, Jacob (2014), Tamagawa Numbers via Nonabelian Poincaré Duality 
• Asok, Aravind; Doran, Brent; Kirwan, Frances (2008). „Yang-Mills theory and Tamagawa numbers: The fascination of unexpected links in mathematics”. Bulletin of the London Mathematical Society. 40 (4): 533—567. S2CID 1994372. arXiv:0801.4733 . doi:10.1112/blms/bdn036. 
• J. Lurie, The Siegel Mass Formula, Tamagawa Numbers, and Nonabelian Poincaré Duality posted June 8, 2012.
• Raul Isea (2020). „How valid are the reported cases of people infected with Covid-19 in the worlds? (an example of Benford's Law)”. International Journal of Coronavirus. 1 (2): 53. doi:10.14302/issn.2692-1537.ijcv-20-3376 . 
• Arno Berger; Theodore P. Hill (2017). „What is...Benford's law?” (PDF). Notices of the AMS. 64 (2): 132—134. doi:10.1090/noti1477 . 
• Arno Berger; Theodore P. Hill (2015). An Introduction to Benford's Law. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-16306-2. 
• Alex Ely Kossovsky. „Benford's Law: Theory, the General Law of Relative Quantities, and Forensic Fraud Detection Applications”. doi:10.1142/9089. , 2014, World Scientific Publishing. ISBN 978-981-4583-68-8.
• „Benford's Law – Wolfram MathWorld”. Mathworld.wolfram.com. 14. 6. 2012. Приступљено 2012-06-26. 
• Alessandro Gambini; et al. (2012). „Probability of digits by dividing random numbers: A ψ and ζ functions approach” (PDF). Expositiones Mathematicae. 30 (4): 223—238. doi:10.1016/j.exmath.2012.03.001 . 
• Sehity; Hoelzl, Erik; Kirchler, Erich (2005). „Price developments after a nominal shock: Benford's law and psychological pricing after the euro introduction”. International Journal of Research in Marketing. 22 (4): 471—480. S2CID 154273305. doi:10.1016/j.ijresmar.2005.09.002. 
• Nicolas Gauvrit; Jean-Paul Delahaye (2011). Scatter and regularity implies Benford's law...and more. Zenil: Randomness Through Computation: Some Answers, More Questions. стр. 58—69. Bibcode:2009arXiv0910.1359G. ISBN 978-9814327756. S2CID 88518074. arXiv:0910.1359 . doi:10.1142/9789814327756_0004. 
• Bernhard Rauch; Max Göttsche; Gernot Brähler; Stefan Engel (август 2011). „Fact and Fiction in EU-Governmental Economic Data”. German Economic Review. 12 (3): 243—255. S2CID 155072460. doi:10.1111/j.1468-0475.2011.00542.x. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Wendy Cho; Brian Gaines (август 2007). „Breaking the (Benford) Law: statistical fraud detection in campaign finance”. The American Statistician. 61 (3): 218—223. S2CID 7938920. doi:10.1198/000313007X223496. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Geiringer, Hilda; Furlan, L. V. (1948). „The Law of Harmony in Statistics: An Investigation of the Metrical Interdependence of Social Phenomena. by L. V. Furlan”. Journal of the American Statistical Association. 43 (242): 325—328. JSTOR 2280379. doi:10.2307/2280379. 

Спољашње везе

• The Number 1
• The Positive Integer 1
• Prime curiosities: 1