Аритметика

Аритметика (од грчког ἀριθμός arithmos, "број") грана је математике која бележи основне особине одређених операција са бројевима.Аритметика је елементарни део теорије бројева, и теорија бројева се сматра једним од основних нивоа поделе модерне математике, заједно са алгебром, геометријом, и анализом. Термина аритметика и виша аритметика су кориштени до почетка 20. века као синоними за теорију бројеви и понекад се још увек користе као назив за шири део теорије бројева.

Сабирање је пример аритметичке операције

Аритметичке табеле за децу, Лозана, 1835

Постоје четири операције: сабирање, одузимање, множење и дељење, иако се понекад овде уврштавају и напредније операције, као што су дизање на квадрат (квадрирање) и вађење корена (кореновање). У аритметици постоји првенство операција где множење и дељење имају предност над сабирањем и одузимањем. Стављањем у заграде, које имају предност у односу на друге операције, је могуће променити редослед израчунавања у изразима.

Аритметика природних, целих, рационалних (у облику разломака) и реалних бројева (који имају децимале) обично се учи у основној школи. Тада се учи и процентни рачун, односно представљање бројева помоћу постотака. Ипак, већина одраслих ослања се на калкулаторе, рачунаре или абакусе да би израчунала аритметичке операције.

Појам „аритметика“ користи се и за основну теорију бројева; у том контексту се појављују и Основна теорема аритметике и аритметичке функције.

Историја

Преисторија аритметике је ограничена на мали број артефаката који могу да индицирају постојање концепата сабирања и одузимања. Најпознатији је Ишанго кост из централне Африке, која потиче и периода између 20.000 и 18.000 п. н. е, мада је њена интерпретација спорна.

Најранији писани рекорди индицирају да су Египћани и Вавилонци користили све елементарне аритметичке операције још пре 2000. п. н. е. Ови артефакти не откривају увек специфичан процес који је кориштен за решавање проблема, мада карактеристике датог нумеричког система снажно утичу на комплексност метода. Хијероглифски систем Египатских бројева, као и каснији римски бројеви, изведени су из белешки кориштених за пребројавање. У оба случаја, такво порекло је довело до вредности које се користе у децималној основи, али позициона нотација није обухваћена. Комплексни прорачуни са римским цифрама се могу спровести уз помоћ бројчанице или римског абакуса.

Рани бројевни системи који су обухватали позициону нотацију нису били децимални. Примери таквих система су сексагезимални (основа 60) систем за вавилонске бројеве и вигезимални (основа 20) систем који су дефинисали мајански бројеви. Захваљујући концепту места и вредности, могућност поновне употребе истих цифара за различите вредности допринела је развоју једноставнијих и ефикаснијих метода рачунања.

Континуални историјски развој модерне аритметике започео је са Хеленистичком цивилизацијом античке Грчке, мада она потиче из знатно каснијег периода од Вавилонских и Египатских примера. Пре радова Еуклида око 300 п. н. е, грчке студије математике су се преклапале са филозофским и мистичким веровањима. На пример, Никомах је сумирао гледиште ранијег питагорејског приступа бројевима, и њихових међусобних релација, у свом раду Увод у аритметику.

Грчке бројеве су користили Архимед, Диофантус и други у позиционој нотацији која се пуно не разликује од данашње. Пошто је античким Грцима недостајао симбол за нулу (до Хеленистичког периода), они су користили три засебна сета симбола. Један сет за јединично место, један за десетично место, и један за стотине. Затим за место хиљада они би поново користили симболе за јединично место, и тако даље. Њихов алгоритам сабирања је био идентичан данашњем, и њихов алгоритам множења се само незнатно разликовао. Њихов алгоритам дељења је био исти, и алгоритам квадратног корена, који се некад предавао у школама, је био познат Архимеду, а могуће је и да га је он изумео. Он га је преферирао у односу на Херонов метод сукцесивних апроксимација зато што кад се једном израчунају цифре оне се више не мењају, и квадратни корени перфектних квадрата, као што је 7485696, би се непосредно завршавали, попут 2736. За бројеве са фракционим делом, као што је 546,934, они су користили негативни степен од 60 уместо негативног степена од 10 за фракциони део 0,934.

Антички Кинези су унапредили аритметичке студије почевши од времена династије Шанг и током династије Танг, од основних бројева до напредне алгебре. Антички Кинези су користили позициону нотацију сличну оној коју су користили Грци. Пошто им је недостајао симбол за нулу, они су имали један сет симбола за јединично место, и други сет за место десетица. За место стотина они су поново користили симболе јединичног места, и тако даље. Њихови симболи су били базирани на древним бројевним штапићима. Питање тачног одређивања времена када су Кинези почели да рачунају са позиционом репрезентацијом је компликовано, али се зна да је то дефинитивно било пре 400. п. н. е. Антички Кинези су први открили, разумели и применили негативне бројеве, као што је објашњено у Девет поглавља о математичкој вештини (Jiuzhang Suanshu), што је рад аутора Љу Хуи.

Постепеним развојем хинду–арапских бројева независно је развијен вредносно позициони концепт и позициона нотација, који комбинују једноставније методе за рачунање са децималном основом и употребом цифре за 0. Тиме је формиран систем за конзистентну репрезентацију великих и малих целих бројева. Тај приступ је временом заменио све друге системе. У раном 6. веку, индијски математичар Арјабхата је инкорпорирао постојећу верзију тог система у свој рад, и експериментисао је са различитим нотацијама. У 7. веку, Брамагупта је успоставио употребу симбола 0 као засебног броја и утврдио резултат множења, дељења, сабирања и одузимања нуле и свих других бројева, изузев резултата дељења нулом. Његов савременик, сиријски епископ Северус Себокхт (650.) је изјавио, „Индијци поседују метод рачунања који ни једна реч не може довољно похвалити. Њихов рационални систем математике, или њихов метод рачунања. Мислим да систем користи девет симбола.” Арапи су исто тако знали за овај нови метод и називали су га хесаб.

Лајбницова машина је била први калкулатор који је могао да изводи све четири аритметичке операције.

Мада је Кодекс Вигиланус описао једну рану форму арапских бројева (без нуле) до 976, Леонардо од Пизе (Фибоначи) је првенствено одговоран за ширење њихове употребе у Европи, након објављивања његове књиге Liber Abaci 1202. године. Он је писао, „Метод Индијаца (латински Modus Indoram) превазилази били који други метод рачунања. То је изванредан метод. Они врше своја израчунавања користећи девет цифара и симбол нулу”. У средњем веку, аритметика је била једна од седам либералних уметности предаваних на универзитетима.

Напредна алгебра средњовековног исламског света и ренесансне Европе је проистекла из енормног поједностављења рачунања применом децималне нотације. Разни типови оруђа су измишљени и широко кориштени као помагала у нумеричким прорачунима. Пре ренесансе, постојали су различити типови абакуса. Примери из ближе прошлости обухватају логаритмаре, номограме и механичке калкулаторе, као што је паскалина. У данашње време, сви ти уређаји су замењени електронским калкулаторима и рачунарима.

Аритметичке операције

Види још: Алгебарске операције

Основне аритметичке операције су сабирање, одузимање, множење и дељење, мада овај предмет обично обухвата и напредније операције, као што је манипулација процентима, квадратним коренима, степеновање, и логаритамске функције. Аритметика се изводи у складу са редоследом операција. Било који сет објеката на коме се све четири аритметичке операције (изузев дељења нулом) могу извршити, и где су те операције подложне уобичајеним законима, назива се поље.

Сабирање

Сабирање је основна рачунска операција аритметике. У свом најједноставнијем облику, сабрати два броја значи наћи број $a+b$

Примери

$2+2=4$

$3+5=8$

Могу се сабрати више од 2 броја. То укључује сабирање бесконачно много бројева. Сабирање броја $1$ с неким бројем је најосновнији облик бројања.

Сабирањем броја $0$ и неког броја добијамо тај број.

$5+0=5$

$0$ је неутрални елемент за сабирање

Сабирањем 2 супротна броја добијамо број 0.

$8+(-8)=0$

То је инверзан елемент за сабирање.

Важи закон комутације

${\begin{cases}3+4=7\\4+3=7tj\\3+4=4+3=7\end{cases}}$

Важи закон асоцијације

${\begin{cases}(2+3)+5=5+5=10\\2+(3+5)=2+8=10tj\\(2+3)+5=2+(3+5)=10\end{cases}}$

Сабрати се може и геометријски, као у следећем примеру:

Ако постоје два штапића дужине $2$ и $5$ и ако се ставе један за другим, тако да се крај првог поклапа са почетком другог штапића, добија се штап чија је дужина

$2+5=7$.

Одузимање

Одузимање је инверзна операција од сабирања. Резултат ове операције је разлика. Одузети број $b$ од броја $a$ значи наћи број $a-b$ односно значи наћи збир бројева $a$ i $(-b)$. То се записује са

$a-b=a+(-b)$

Постоје следећи случајеви

• Ако је $a<b$, онда је $a-b<0,$
• Ако је $a>b$, онда је $a-b>0$
• Ако је $a=b$, онда је $a-b=0$

За одузимање не важи закон комутације, а ни асоцијације.

Множење

Множење је друга основна рачунска операција аритметике. Помножити 2 броја значи наћи број

$a*b$, а то је

$a\times b=\underbrace {b+\cdots +b} _{a}$

Пример

$3*4=4+4+4=12$

За множење важи закон комутације

${\begin{cases}2*6=6+6=12\\6*2=2+2+2+2+2+2=12tj\\2*6=6*2=12\end{cases}}$

и асоцијације

${\begin{cases}(2*3)*4=6*4=24\\*(3*4)=2*12=24tj\\(2*3)*4=2*12=24\end{cases}}$

Ако се број $a$ помножи са $1$ (неутрални елемент), добија се број $a$

$6*1=6$

Ако се број $a$ помножи са реципрочном вредности броја $a$, добија се број $1$.

$6*6^{-1}=1$

Ово је инверзан број.

Било који број може имати реципрочну вредност осим $0$.

Таблица множења

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40	42	44	46	48	50
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60	63	66	69	72	75
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80	84	88	92	96	100
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100	105	110	115	120	125
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120	126	132	138	144	150
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140	147	154	161	168	175
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160	168	176	184	192	200
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180	189	198	207	216	225
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200	210	220	230	240	250
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220	231	242	253	264	275
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240	252	264	276	288	300
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260	273	286	299	312	325
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280	294	308	322	336	350
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300	315	330	345	360	375
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320	336	352	368	384	400
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340	357	374	391	408	425
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360	378	396	414	432	450
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380	399	418	437	456	475
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400	420	440	460	480	500
21	21	42	63	84	105	126	147	168	189	210	231	252	273	294	315	336	357	378	399	420	441	462	483	504	525
22	22	44	66	88	110	132	154	176	198	220	242	264	286	308	330	352	374	396	418	440	462	484	506	528	550
23	23	46	69	92	115	138	161	184	207	230	253	276	299	322	345	368	391	414	437	460	483	506	529	552	575
24	24	48	72	96	120	144	168	192	216	240	264	288	312	336	360	384	408	432	456	480	504	528	552	576	600
25	25	50	75	100	125	150	175	200	225	250	275	300	325	350	375	400	425	450	475	500	525	550	575	600	625

Дељење

Дељење је инверзна рачунска операција множењу. Није дефинисано дељење бројем $0$. Поделити два броја значи наћи број $a:b$ односно наћи производ броја $a$ и реципрочне вредности броја $b$.

То значи

$a:b=a*b^{-1}$

Постоје случајеви

• За $a>b=>a:b>1$
• За $a<b=>a:b<1$
• За $a=b=>a:b=1$

Не важи закон комутације, а ни асоцијације. За дељење написано као производ важе све особине које важе за множење.

Децимална аритметика

Све врсте записа бројева могу се записати децималним записом. На пример запис броја $507,36$ је: $(507,36)_{10}=5*10^{3}+0*10^{2}+7*10+3*10^{-1}+6*10^{-2}$. Овај запис бројева обухвата сва правила аритметичких операција: $2.34\times 10^{-5}+5.67\times 10^{-6}=2.34\times 10^{-5}+0.567\times 10^{-5}=2.907\times 10^{-5}$

Децимална репрезентација се ексклузивно односи, у обичној употреби, на писани нумерички систем који користи арапске цифре као бројеве са основом 10 („децималном”) позиционе нотације; међутим, сваки нумерички систем базиран на степену од 10, e.g., грчки, ћирилични, римски, или кинески бројеви могу концептуално бити описани као „децимална нотација” или „децимална репрезентација”.

Модерне методе за четири фундаменталне операције (сабирање, одузимање, множење и дељење) је први је измислио Брамагупта у Индији. То је било познато у средњовековној Европи као Modus Indoram или метод Индуса. Позициона нотација (такође позната као „нотација места и вредности”) односи се на представљање и кодирање бројева користећи исти симбол за различите редове величине (нпр., „место јединица”, „место десетица”, „место стотина”) и, са радијском тачком, користећи те исте симболе за представљање фракција (нпр., „место десетих делова”, „место стотих делова”). На пример, 507,36 означава 5 стотина (10²), плус 0 десетица (10¹), плус 7 јединица (10⁰), плус 3 десетине (10⁻¹), плус 6 стотине (10⁻²).

Концепт 0 као броја упоредивог са другим основним цифрама је есенцијалан за ову нотацију, као што је и концепт употребе нуле за резервисање места, и дефиниција множења и сабирања са нулом. Употреба нуле за резервисање места и стога употреба позиционе нотације је први пут забележена у ђаинизанском тексту из Индије са насловом Локавибхага, из 458. године и тек је раном 13. веку овај концепт, пренет преко учењака арапског света. У Европу га је увео Фибоначи користећи индуско–арапски бројевни систем.

Алгоризам се састоји од правила за извођење аритметичких прорачуна користећи овај тип писаних цифара. На пример, сабирање производи суму два арбитрарна броја. Резултат се израчунава понављањем додавања појединачних цифара из сваког броја које заузимају исту позицију, идући здесна налево. Табела додавања са десет редова и десет колона приказује све могуће вредности свих сума. Ако једна индивидуална сума премаши вредност 9, резултат се представља са две цифре. Цифра с десне стране је вредност за тренутну позицију, а резултат накнадног додавања цифара с леве стране се повећава за вредност друге (леве) цифре, која је увек једнака јединици. Ово прилагођавање се назива преношењем вредности 1.

Процес множења два арбитрарна броја је сличан процесу сабирања. Табела множења са десет редова и десет колона наводи резултате за сваки пар цифара. Ако један индивидуални производ пара цифара премаши 9, преносно подешавање повећава резултат сваког наредног множења цифара на левој страни за вредност која је једнака другој (левој) цифри, што може да буде било која вредност у опсегу од 1 до 8 (9 × 9 = 81). Додатни кораци дефинишу финални резултат. Сличне технике постоје за одузимање и дељење.

Креирање коректног процеса за множење се ослања на односе између вредности суседних цифара. Вредност било које појединачне цифре броја зависи од њене позиције. Исто тако, свака позиција са леве стране представља вредност која је десет пута већа од дате позиције. У математичком смислу, експонент за базу од 10 се повећава за 1 (налево) и смањује за 1 (надесно). Стога је вредност било које арбитрарне цифре помножена вредношћу облика 10ⁿ при чему је n цео број. Листа вредности које кореспондирају свим могућим позицијама појединачних цифри се пише као {..., 10², 10, 1, 10⁻¹, 10⁻², ...}.

Поновљено множење било које вредности у овој листи са 10 производи другу вредност на листи. У математичкој терминологији, ова карактеристика се дефинише као затвореност, и претходна листа се описује као затворена под множењем. Ово је основа за коректно налажење резултата множења користећи претходне технике. Овај исход је један од примера употребе теорије бројева.

Литература

• Davenport, Harold (1999). The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers (7th изд.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63446-5. 
• Rudman, Peter Strom (2007). How Mathematics Happened: The First 50,000 Years. Prometheus Books. ISBN 978-1-59102-477-4. 
• Tapson, Frank (1996). The Oxford Mathematics Study Dictionary. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-914551-5. 
• Cunnington, Susan, The Story of Arithmetic: A Short History of Its Origin and Development, Swan Sonnenschein, London, 1904
• Dickson, Leonard Eugene, History of the Theory of Numbers (3 volumes), reprints: Carnegie Institute of Washington, Washington, 1932; Chelsea, New York, 1952, 1966
• Euler, Leonhard, Elements of Algebra, Tarquin Press, 2007
• Fine, Henry Burchard (1858–1928), The Number System of Algebra Treated Theoretically and Historically, Leach, Shewell & Sanborn, Boston, 1891
• Karpinski, Louis Charles (1878–1956), The History of Arithmetic, Rand McNally, Chicago, 1925; reprint: Russell & Russell, New York, 1965
• Ore, Øystein, Number Theory and Its History, McGraw–Hill, New York, 1948
• Weil, André, Number Theory: An Approach through History, Birkhauser, Boston, 1984; reviewed: Mathematical Reviews 85c:01004
• "Subtraction in the United States: An Historical Perspective", Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, The Mathematics Educator, Vol. 8, No. 1.
• Browell, W.A. (1939). Learning as reorganization: An experimental study in third-grade arithmetic, Duke University Press.

Спољашње везе

• MathWorld article about arithmetic
• The New Student's Reference Work/Arithmetic (historical)
• The Great Calculation According to the Indians, of Maximus Planudes – an early Western work on arithmetic at Convergence
•  Weyde, P. H. Vander (1879). „Arithmetic”. The American Cyclopædia. 
• "A Friendly Gift on the Science of Arithmetic"