Бинарни систем

Бинарни систем је бројчани систем у коме се запис састоји само од цифара 0 и 1. Ово је позициони бројчани систем, са основом 2. Сваки број се може представити као збир експонената двојке. Због једноставности примене у електронским колима, бинарни систем користе практично сви модерни рачунари.

Концепт бинарног система омогућен је тек са увођењем концепта нуле у систему арапских цифара.

Пример бинарног записа: 101₂ = 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰, 101 у бинарном систему је еквивалент броју 5 у декадном систему.

Историја

Египат

Аритметичке вредности за које се сматра да су представљене деловима Хорусовог ока

Писци старог Египта користили су два различита система за своје разломке, египатске разломке (који нису повезани са бинарним бројевним системом) и разломке Хорусовог ока (тако назване јер многи историчари математике верују да би симболи који се користе за овај систем могли бити распоређени тако да формирају око Хоруса, иако је то спорно).^[1] Разломци Хорусовог ока су бинарни систем нумерисања за разломке количине зрна, течности или других мера, у којима се разломак хеката изражава као збир бинарних разломака 1/2, 1/4, 1/8, 1 /16, 1/32 и 1/64. Рани облици овог система могу се наћи у документима из Пете египатске династије, отприлике 2400. године пре нове ере, а његова потпуно развијена хијероглифска форма датира из Деветнаесте династије Египта, отприлике 1200. године п. н. е.^[2]

Метода коришћена за староегипатско множење је такође блиско повезана са бинарним бројевима. У овој методи, множење једног броја са секундом се изводи низом корака у којима се вредност (у почетку први од два броја) или удвостручује или јој се враћа први број; редослед којим се ови кораци требају извршити је дат бинарним приказом другог броја. Овај метод се може видети у употреби, на пример, у Рајндовом математичком папирусу, који датира од око 1650. године п. н. е.^[3]

Кина

Даоистичка Багуа

Ји ђинг датира из 9. века п. н. е. у Кини.^[4] Бинарни запис у Ји ђингу се користи за тумачење његове технике квартарног прорицања.^[5]

То је било засновано на таоистичкој дуалности јина и јанга.^[6] Осам триграма (Багуа) и скуп од 64 хексаграма („шездесет четири“ гуа), аналогни тробитним и шестобитним бинарним бројевима, били су у употреби барем још у династији Џоу у древној Кини.^[4]

Научник из династије Сонг Шао Јонг (1011–1077) преуредио је хексаграме у формат који подсећа на модерне бинарне бројеве, иако није намеравао да се његов распоред користи математички.^[5] Гледање најмање значајног бита на врху појединачних хексаграма у Шао Јонговом квадрату^[7] и читање дуж редова било од доњег десног ка горњем левом углу са пуним линијама као 0 и испрекиданим линијама као 1 или од врха лево до доле десно са пуним линијама као 1 и испрекиданим линијама као 0 хексаграми се могу тумачити као низ од 0 до 63.^[8]

Индија

Индијски научник Пингала (око 2. века п. н. е.) развио је бинарни систем за описивање метрике.^[9]^[10] Он је користио бинарне бројеве у облику кратких и дугих слогова (потоњи једнаки дужини са два кратка слога), чинећи га сличним Морзеовом коду.^[11]^[12] Они су били познати као лагу (лаки) и гуру (тешки) слогови.

Пингалин хиндуистички класик под називом Чандахсастра (8.23) описује формирање матрице како би се сваком метру дала јединствена вредност. „Чандахсастра“ се дословно преводи као наука о метрима на санскриту. Бинарне репрезентације у Пингалином систему се повећавају удесно, а не улево као у бинарним бројевима модерне позиционе нотације.^[11]^[13] У Пингалином систему бројеви почињу од броја један, а не од нуле. Четири кратка слога „0000” је први образац и одговара вредности један. Бројчана вредност се добија тако што се збиру вредности места дода један.^[14]

Друге културе

Становници острва Мангарева у Француској Полинезији користили су хибридни бинарно-децимални систем пре 1450. године.^[15] Прорезани бубњеви са бинарним тоновима се користе за кодирање порука широм Африке и Азије.^[6] Скупови бинарних комбинација сличних Ји ђингу су такође коришћени у традиционалним афричким системима прорицања као што је Ифа, као и у средњовековној западној геоманцији.

Западни претходници Лајбница

У касном 13. веку Рамон Лул је имао амбицију да објасни сву мудрост у свакој грани људског знања тог времена. У ту сврху је развио општи метод или 'Ars generalis' заснован на бинарним комбинацијама низа једноставних основних принципа или категорија, који се сматра претходником рачунарске науке и вештачке интелигенције.^[16]

Године 1605, Франсис Бејкон је расправљао о систему у коме се слова абецеде могу свести на секвенце бинарних цифара, које би потом могле бити кодиране као једва видљиве варијације у фонту у било ком насумичном тексту.^[17] Он је напоменуо да је важно за општу теорију бинарног кодирања, да се овај метод може користити са било којим објектом: „под условом да ти објекти могу да имају само двоструку разлику; као код звона, преко труба, помоћу светла и бакљи, према извештају мускета, и било каквих инструмената сличне природе“.^[17] (Погледајте Бејконову шифру.)

Џон Непер је 1617. описао систем који је назвао локацијском аритметиком за обављање бинарних прорачуна користећи непозициону репрезентацију словима. Томас Хериот је истраживао неколико система позиционог нумерисања, укључујући бинарни, али није објавио своје резултате; пронађени су касније међу његовим папирима.^[18] Вероватно је прва публикација система у Европи била рад Хуана Карамуела и Лобковица, 1700. године.^[19]

Операције

сабирање:

11001+

01111=

101000

(25+15)=40

одузимање:

101000-

01111=

11001

(40-15)=25

Примена

Бинарни бројчани систем је своју главну примену нашао у рачунарству. Велика већина модерних рачунара користи бинарну логику - то јест податке записује и интерпретира у облику нула и јединица.

Записивање бројева у бинарном систему

Да би се број превео из декадног система у бинарни, потребно је извршити једноставан поступак дељењем бројем 2. Ако желимо да напишемо број 13 у бинарном систему, треба да изведемо следећи поступак: Најпре ћемо поделити број 13 бројем 2:

13:2=6 остатак 1

Остатак ћемо записати са стране(1), а количник(6) наставити да делимо:

6:2=3 остатак 0

Остатак ћемо записати са стране(0), а количник(3) наставити да делимо:

3:2=1 остатак 1

Остатак ћемо записати са стране(1), а количник(1) наставити да делимо:

1:2=0 остатак 1

Затим ћемо записати све остатке супротним редом од оног којим смо их добијали(одоздо ка горе):

1101

И добили смо број 13 у бинарном систему, тј записаног само са две цифре.

Сваки број се претвара из декадног у бинарни систем бројева на исти начин, тј. дељењем и писањем остатака од крајњег ка почетном, с тим што крајњи количник мора бити нула, а самим тим и крајњи остатак 1.

Бројеви се могу записати и у другим позиционим системима бројева такође дељењем оним бројем који одговара броју цифара у том систему (бинарни има 2 цифре па се бројеви деле бројем 2) и записивањем остатака.

Види још

Референце

^ Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline, ур. (2009), „Myth No. 2: the Horus eye fractions”, The Oxford Handbook of the History of Mathematics, Oxford University Press, стр. 790, ISBN 9780199213122
^ Chrisomalis, Stephen (2010), Numerical Notation: A Comparative History, Cambridge University Press, стр. 42—43, ISBN 9780521878180 .
^ Rudman, Peter Strom (2007), How Mathematics Happened: The First 50,000 Years, Prometheus Books, стр. 135—136, ISBN 9781615921768 .
^ ^а ^б Edward Hacker; Steve Moore; Lorraine Patsco (2002). I Ching: An Annotated Bibliography. Routledge. стр. 13. ISBN 978-0-415-93969-0.
^ ^а ^б Redmond & Hon (2014), стр. 227.
^ ^а ^б Jonathan Shectman (2003). Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries of the 18th Century. Greenwood Publishing. стр. 29. ISBN 978-0-313-32015-6.
^ Shao Yong's square
^ Zhonglian, Shi; Wenzhao, Li; Poser, Hans (2000). Leibniz' Binary System and Shao Yong's "Xiantian Tu in :Das Neueste über China: G.W. Leibnizens Novissima Sinica von 1697 : Internationales Symposium, Berlin 4. bis 7. Oktober 1997. Stuttgart: Franz Steiner Verlag. стр. 165—170. ISBN 3515074481.
^ Sanchez, Julio; Canton, Maria P. (2007). Microcontroller programming: the microchip PIC. Boca Raton, Florida: CRC Press. стр. 37. ISBN 978-0-8493-7189-9.
^ W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, (1995) ISBN 0-387-94544-X
^ ^а ^б Binary Numbers in Ancient India
^ Math for Poets and Drummers Архивирано 16 јун 2012 на сајту Wayback Machine (pdf, 145KB)
^ Stakhov, Alexey; Olsen, Scott Anthony (2009). The mathematics of harmony: from Euclid to contemporary mathematics and computer science. ISBN 978-981-277-582-5.
^ B. van Nooten, "Binary Numbers in Indian Antiquity", Journal of Indian Studies, Volume 21, 1993, pp. 31-50
^ Bender, Andrea; Beller, Sieghard (16. 12. 2013). „Mangarevan invention of binary steps for easier calculation”. Proceedings of the National Academy of Sciences. 111 (4): 1322—1327. PMC 3910603  . PMID 24344278. doi:10.1073/pnas.1309160110  .
^ (see Bonner 2007 [1] Архивирано 3 април 2014 на сајту Wayback Machine, Fidora et al. 2011 [2] Архивирано на сајту Wayback Machine (8. април 2019))
^ ^а ^б Bacon, Francis (1605). „The Advancement of Learning”. London. стр. Chapter 1.
^ Shirley, John W. (1951). „Binary numeration before Leibniz”. American Journal of Physics. 19 (8): 452—454. Bibcode:1951AmJPh..19..452S. doi:10.1119/1.1933042.
^ Ineichen, R. (2008). „Leibniz, Caramuel, Harriot und das Dualsystem” (PDF). Mitteilungen der deutschen Mathematiker-Vereinigung (на језику: немачки). 16 (1): 12—15. S2CID 179000299. doi:10.1515/dmvm-2008-0009.

Литература

Sanchez, Julio; Canton, Maria P. (2007). Microcontroller programming: the microchip PIC. Boca Raton, FL: CRC Press. стр. 37. ISBN 978-0-8493-7189-9.
Redmond, Geoffrey; Hon, Tze-Ki (2014). Teaching the I Ching. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-976681-9.
Boyer, Carl B. 1968. History of Mathematics. John Wiley. Reprint Princeton U. Press (1985).
Chace, Arnold Buffum. 1927–1929. The Rhind Mathematical Papyrus: Free Translation and Commentary with Selected Photographs, Translations, Transliterations and Literal Translations. 2 vols. Classics in Mathematics Education 8. Oberlin: Mathematical Association of America. (Reprinted Reston: National Council of Teachers of Mathematics, 1979). ISBN 0-87353-133-7
Clagett, Marshall. 1999. Ancient Egyptian Science: A Source Book. Volume 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. Philadelphia: American Philosophical Society. ISBN 0-87169-232-5
Couchoud, Sylvia. 1993. Mathématiques égyptiennes: Recherches sur les connaissances mathématiques de l'Égypte pharaonique. Paris: Éditions Le Léopard d'Or
Daressy, G. „Ostraca,”. Cairo Museo des Antiquities Egyptiennes Catalogue General Ostraca hieraques. 1901 (25001-25385). .
Gillings, Richard J. 1972. Mathematics in the Time of the Pharaohs. MIT Press. (Dover reprints available).
Imhausen, Annette. 2003. "Ägyptische Algorithmen". Wiesbaden: Harrassowitz
Johnson, G., Sriraman, B., Saltztstein. 2012. "Where are the plans? A socio-critical and architectural survey of early Egyptian mathematics"| In Bharath Sriraman, Editor. Crossroads in the History of Mathematics and Mathematics Education. The Montana Mathematics Enthusiast Monographs in Mathematics Education 12, Information Age Publishing, Inc., Charlotte, NC
Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity (2 изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-22332-2. PMID 14884919.
Peet, Thomas Eric. (1923). The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 and 10058. London: The University Press of Liverpool limited and Hodder & Stoughton limited.
Reimer, David (2014). Count Like an Egyptian: A Hands-on Introduction to Ancient Mathematics. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-16012-2.
Robins, R. Gay. 1995. "Mathematics, Astronomy, and Calendars in Pharaonic Egypt". In Civilizations of the Ancient Near East, edited by Jack M. Sasson, John R. Baines, Gary Beckman, and Karen S. Rubinson. Vol. 3 of 4 vols. New York: Charles Schribner's Sons. (Reprinted Peabody: Hendrickson Publishers, 2000). 1799–1813
Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. (1987). The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 0-7141-0944-4.
Sarton, George. 1927. Introduction to the History of Science, Vol 1. Willians & Williams.
Strudwick, Nigel G., and Ronald J. Leprohon. 2005. Texts from the Pyramid Age. Brill Academic Publishers. ISBN 90-04-13048-9.
Struve, Vasilij Vasil'evič, and Boris Aleksandrovič Turaev. 1930. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste in Moskau. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Berlin: J. Springer
Van der Waerden, B.L. 1961. Science Awakening". Oxford University Press.
Vymazalova, Hana. 2002. Wooden Tablets from Cairo...., Archiv Orientalni, Vol 1, pages 27–42.
Wirsching, Armin. 2009. Die Pyramiden von Giza – Mathematik in Stein gebaut. (2 ed) Books on Demand. ISBN 978-3-8370-2355-8.

Спољашње везе

Binary System at cut-the-knot
Conversion of Fractions at cut-the-knot
Sir Francis Bacon's BiLiteral Cypher system Архивирано на сајту Wayback Machine (23. септембар 2016), predates binary number system.

[1] Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline, ур. (2009), „Myth No. 2: the Horus eye fractions”, The Oxford Handbook of the History of Mathematics, Oxford University Press, стр. 790, ISBN 9780199213122

[2] Chrisomalis, Stephen (2010), Numerical Notation: A Comparative History, Cambridge University Press, стр. 42—43, ISBN 9780521878180 .

[3] Rudman, Peter Strom (2007), How Mathematics Happened: The First 50,000 Years, Prometheus Books, стр. 135—136, ISBN 9781615921768 .

[HackerMoore2002-4] а ^б Edward Hacker; Steve Moore; Lorraine Patsco (2002). I Ching: An Annotated Bibliography. Routledge. стр. 13. ISBN 978-0-415-93969-0.

[FOOTNOTERedmondHon2014227-5] а ^б Redmond & Hon (2014), стр. 227.

[scientific-6] а ^б Jonathan Shectman (2003). Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries of the 18th Century. Greenwood Publishing. стр. 29. ISBN 978-0-313-32015-6.

[7] Shao Yong's square

[Shao_Yong’s_”Xiantian_Tu'‘-8] Zhonglian, Shi; Wenzhao, Li; Poser, Hans (2000). Leibniz' Binary System and Shao Yong's "Xiantian Tu in :Das Neueste über China: G.W. Leibnizens Novissima Sinica von 1697 : Internationales Symposium, Berlin 4. bis 7. Oktober 1997. Stuttgart: Franz Steiner Verlag. стр. 165—170. ISBN 3515074481.

[9] Sanchez, Julio; Canton, Maria P. (2007). Microcontroller programming: the microchip PIC. Boca Raton, Florida: CRC Press. стр. 37. ISBN 978-0-8493-7189-9.

[10] W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, (1995) ISBN 0-387-94544-X

[india-11] а ^б Binary Numbers in Ancient India

[12] Math for Poets and Drummers Архивирано 16 јун 2012 на сајту Wayback Machine (pdf, 145KB)

[13] Stakhov, Alexey; Olsen, Scott Anthony (2009). The mathematics of harmony: from Euclid to contemporary mathematics and computer science. ISBN 978-981-277-582-5.

[14] B. van Nooten, "Binary Numbers in Indian Antiquity", Journal of Indian Studies, Volume 21, 1993, pp. 31-50

[15] Bender, Andrea; Beller, Sieghard (16. 12. 2013). „Mangarevan invention of binary steps for easier calculation”. Proceedings of the National Academy of Sciences. 111 (4): 1322—1327. PMC 3910603  . PMID 24344278. doi:10.1073/pnas.1309160110  .

[16] (see Bonner 2007 [1] Архивирано 3 април 2014 на сајту Wayback Machine, Fidora et al. 2011 [2] Архивирано на сајту Wayback Machine (8. април 2019))

[Bacon1605-17] а ^б Bacon, Francis (1605). „The Advancement of Learning”. London. стр. Chapter 1.

[18] Shirley, John W. (1951). „Binary numeration before Leibniz”. American Journal of Physics. 19 (8): 452—454. Bibcode:1951AmJPh..19..452S. doi:10.1119/1.1933042.

[19] Ineichen, R. (2008). „Leibniz, Caramuel, Harriot und das Dualsystem” (PDF). Mitteilungen der deutschen Mathematiker-Vereinigung (на језику: немачки). 16 (1): 12—15. S2CID 179000299. doi:10.1515/dmvm-2008-0009.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]