Множење

Множење је бинарна операција у математици. Записује се као a · b или a × b. Операнди a и b се називају чиниоци (фактори), а резултат множења производ.^[1]

Ако је један операнд природан број, онда множење представља скраћени запис сабирања. Нпр, ако је n ∈ ℕ, онда је

a\cdot n=\underbrace {a+\cdots +a} _{n}.

У алгебри се ознака за множење подразумева и може се прескочити, па се 3 · a · b може записати и као 3 a b^[2]

На пример, 4 помножено са 3, често написано као $3\times 4$ и изговорено као „3 пута 4”, може се израчунати додавањем 3 копије од 4 заједно:

3\times 4=4+4+4=12

Овде су 3 (множилац) и 4 (множеник) чиниоци, а 12 је производ.

Једно од главних својстава множења је комутативно својство, које у овом случају наводи да сабирање 3 копије од 4 даје исти резултат као додавање 4 копије од 3:

4\times 3=3+3+3+3=12

Систематске генерализације ове основне дефиниције дефинишу множење целих бројева (укључујући негативне бројеве), рационалних (разломака) и реалних бројева.

Множење се такође може визуализовати као бројање објеката распоређених у правоугаоник (за целе бројеве) или као проналажење површине правоугаоника чије странице имају неке дате дужине. Површина правоугаоника не зависи од тога која се страница прва мери — последица комутативног својства.

Производ два мерења је нова врста мерења. На пример, множењем дужина две стране правоугаоника добија се његова површина. Такав производ је предмет димензионалне анализе.^[3]^[4]^[5]

Инверзна операција множењу је дељење.^[6] На пример, пошто је 4 помножено са 3 једнако 12, 12 подељено са 3 је једнако 4.

Множење бројева

Особине

Множење има приоритет над сабирањем. Множење бројева има следеће особине (за множење других објеката погледати ниже у тексту):

1. $a\cdot 1=1\cdot a=a$	(неутрал)
2. $a\cdot 0=0\cdot a=0$	(сваки број помножен нулом једнак је нули)
3. $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$	(асоцијативност)
4. $a\cdot b=b\cdot a$	комутативност
5. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$	дистрибутивност множења према сабирању

На скупу рационалних, реалних и комплексних бројева, сваки број осим нуле има тачно један инверзан број, такав да је њихов производ јединица:

\forall a\ \exists _{1}b:a\cdot b=1

Инверзан број броја $a$ се записује као ${\tfrac {1}{a}}$ . Инверзан број инверзног броја је полазни број:

{\frac {1}{\frac {1}{a}}}=a

Множење целих бројева

Приликом множења целих бројева, ако су оба истог знака (оба позитивна или негативна), резултат је позитиван. Производ позитивног и негативног броја је негативан.

Рационални чиниоци

Производ рационалних бројева је рационалан број коме је бројилац производ бројилаца чинилаца, а именилац производ именилаца чинилаца:

a={\frac {p_{1}}{q_{1}}}\land b={\frac {p_{2}}{q_{2}}}\Rightarrow a\cdot b={\frac {p_{1}\cdot p_{2}}{q_{1}\cdot q_{2}}}

Ирационални чиниоци

Нека је b ∈ ℝ \ ℚ ирационалан број, тада је производ a · b гранична вредност

a\cdot b=\lim _{{\frac {p}{q}}\rightarrow b}a\cdot {\frac {p}{q}}

где је ${\tfrac {p}{q}}$ рационалан број и представља приближну вредност броја b.

Множење комплексних бројева

Сваки комплексан број z можемо записати као уређени пар или у тригонометријском (поларном) запису:

z=(a,b)=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )

.

Како је $i^{2}=-1$ , формула за множење у алгебарском запису гласи

(a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})

.

Из тригонометријских једначина следи формула за множење комплексних бројева у тригонометријском облику:

\rho _{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})\cdot \rho _{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})=\rho _{1}\rho _{2}(\cos \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right)+i\sin \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right))

Множење вектора

Постоји неколико врста множења вектора: множење вектора скаларом, скаларни, векторски и мешовити производ вектора. Скаларни производ вектора се обележава са „·“, а векторски са „×“.

Посматрајмо вектор у тродимензионалном Еуклидском простору: $\mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})\in \mathbb {R} ^{3}$ .

Множење вектора скаларом

Вектор се множи скаларом тако што се свака његова координата помножи скаларом. Ова операција је комутативна.

k\in \mathbb {R} ,\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}\Rightarrow k\mathbf {a} =(ka_{x},ka_{y},ka_{z})

Скаларни производ

Скаларни производ вектора је скалар једнак суми производа одговарајућих координата:

\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}

\cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}

Скаларни производ је комутативан.

Векторски производ

Векторски производ.

Векторски производ вектора је нови вектор, чији је интензитет једнак површини паралелограма који вектори-чиниоци заклапају, правац му је нормалан на раван коју вектори-чиниоци дефинишу, а смер се дефинише правилом леве или десне руке, зависно од конвенције. Овај производ је специфичан за $\mathbb {R} ^{3}$ , и антикомутативан је.^[7] Векторски производ се рачуна као детерминанта матрице:^[8]^[9]^[10]

\times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}

\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}

\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}

где су $\mathbf {i} ,\mathbf {j}$ и $\mathbf {k}$ ортови дуж x, y и z осе.

Мешовити производ

Запремина паралелепипеда који дефинишу 3 вектора једнака је њиховом мешовитом производу.

Мешовити производ три вектора је скалар који је једнак запремини паралелопипеда који ти вектори заклапају. Записује се као [a, b, c] и по дефиницији је:

[]:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}

\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}

[\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}}

Множење матрица

Нека су дате матрице А и B величине m_А×n_А и m_B×n_B. Производ AB је дефинисан ако је n_А = m_B, а добијена матрица има димензије m_А×n_B. Елементи матрице-производа су

(AB)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n_{A}}A_{i,k}B_{k,j}

Множење матрица није комутативно. Матрице 1×3 и 3×2 можемо помножити само на један начин, а 5×4 и 4×5 са обе стране, али производи неће имати исту величину (5×5 на један и 4×4 на други начин). Ако се помноже две квадратне матрице исте величине, производи су такође исте величине, и може се дефинисати комутатор:^[11]^[12]

[A,B]=A\times B-B\times A

Види још

Референце

^ Devlin, Keith (јануар 2011). „What Exactly is Multiplication?”. Mathematical Association of America. Приступљено 14. 5. 2017. „With multiplication you have a multiplicand (written second) multiplied by a multiplier (written first)”
^ Khan Academy (14. 8. 2015), Intro to multiplication | Multiplication and division | Arithmetic | Khan Academy, Приступљено 7. 3. 2017
^ Fourier, Joseph (1822), Theorie analytique de la chaleur (на језику: француски), Paris: Firmin Didot
^ BIPM (2019). „2.3.3 Dimensions of quantities”. SI Brochure: The International System of Units (SI) (PDF) (на језику: енглески и француски) (v. 1.08, 9th изд.). стр. 136—137. ISBN 978-92-822-2272-0. Приступљено 1. 9. 2021.
^ Buckingham, Edgar (1914), „On Physically Similar Systems: Illustrations of the Use of Dimensional Analysis”, Physical Review, 4 (4): 345—376, Bibcode:1914PhRv....4..345B, doi:10.1103/PhysRev.4.345, hdl:10338.dmlcz/101743 
^ Menini, Claudia; Oystaeyen, Freddy Van (2017). Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment (на језику: енглески). CRC Press. ISBN 978-1-4822-5817-2. Архивирано из оригинала 2021-02-21. г. Приступљено 2020-10-15.
^ Bourbaki, Nicolas (1989), „Chapter III. Tensor algebras, exterior algebras, symmetric algebras”, Algebra. Chapters 1–3, Elements of Mathematics (2nd printing изд.), Berlin-Heidelberg-New York City: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9, MR 0979982, Zbl 0904.00001
^ „Determinants and Volumes”. textbooks.math.gatech.edu. Приступљено 16. 3. 2018.
^ Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th изд.), Wiley International
^ Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd изд.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
^ Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd изд.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
^ Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd изд.), Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X

Литература

Boyer, Carl B. (1991). History of Mathematics. Merzbach, Uta C. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.
Hall, Marshall Jr. (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan
Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd изд.), Boston: Allyn and Bacon
Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (2nd изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-54397-8.
Gandz, S. (јануар 1936). „The Sources of Al-Khowārizmī's Algebra”. Osiris. 1: 263—277. JSTOR 301610. S2CID 60770737. doi:10.1086/368426.
Herstein, I. N. (1964). Topics in Algebra. Ginn and Company. ISBN 0-471-02371-X.
Allenby, R. B. J. T. (1991). Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6.
Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin.
Euler, Leonhard (2005). Elements of Algebra. ISBN 978-1-899618-73-6. Архивирано из оригинала 2011-04-13. г.
Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra . ISBN 0-471-02371-X.
Hill, Donald R. (1994). Islamic Science and Engineering. Edinburgh University Press.
Joseph, George Gheverghese (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Penguin Books. ISBN 978-0140277784.
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2005). „History Topics: Algebra Index”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. Архивирано из оригинала 2016-03-03. г. Приступљено 2011-12-10.
Sardar, Ziauddin; Ravetz, Jerry; Loon, Borin Van (1999). Introducing Mathematics. Totem Books.
Bareiss, Erwin (1968), „Sylvester's Identity and Multistep Integer-Preserving Gaussian Elimination” (PDF), Mathematics of Computation, 22 (102): 565—578, JSTOR 2004533, doi:10.2307/2004533, Архивирано (PDF) из оригинала 2012-10-25. г.
de Boor, Carl (1990), „An empty exercise” (PDF), ACM SIGNUM Newsletter, 25 (2): 3—7, S2CID 62780452, doi:10.1145/122272.122273, Архивирано (PDF) из оригинала 2006-09-01. г.
Bourbaki, Nicolas (1998), Algebra I, Chapters 1-3, Springer, ISBN 9783540642435
Bunch, J. R.; Hopcroft, J. E. (1974). „Triangular Factorization and Inversion by Fast Matrix Multiplication”. Mathematics of Computation. 28 (125): 231—236. doi:10.1090/S0025-5718-1974-0331751-8  .
Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (3rd изд.), Hoboken, NJ: Wiley, ISBN 9780471452348, OCLC 248917264
Fisikopoulos, Vissarion; Peñaranda, Luis (2016), „Faster geometric algorithms via dynamic determinant computation”, Computational Geometry, 54: 1—16, doi:10.1016/j.comgeo.2015.12.001 
Garibaldi, Skip (2004), „The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions”, American Mathematical Monthly, 111 (9): 761—778, JSTOR 4145188, MR 2104048, arXiv:math/0203276  , doi:10.2307/4145188
Habgood, Ken; Arel, Itamar (2012). „A condensation-based application of Cramer's rule for solving large-scale linear systems” (PDF). Journal of Discrete Algorithms. 10: 98—109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007  . Архивирано (PDF) из оригинала 2019-05-05. г.
Harris, Frank E. (2014), Mathematics for Physical Science and Engineering, Elsevier, ISBN 9780128010495
Kleiner, Israel (2007), Kleiner, Israel, ур., A history of abstract algebra, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1
Kung, Joseph P.S.; Rota, Gian-Carlo; Yan, Catherine (2009), Combinatorics: The Rota Way, Cambridge University Press, ISBN 9780521883894

Спољашње везе

[Devlin-1] Devlin, Keith (јануар 2011). „What Exactly is Multiplication?”. Mathematical Association of America. Приступљено 14. 5. 2017. „With multiplication you have a multiplicand (written second) multiplied by a multiplier (written first)”

[2] Khan Academy (14. 8. 2015), Intro to multiplication | Multiplication and division | Arithmetic | Khan Academy, Приступљено 7. 3. 2017

[3] Fourier, Joseph (1822), Theorie analytique de la chaleur (на језику: француски), Paris: Firmin Didot

[4] BIPM (2019). „2.3.3 Dimensions of quantities”. SI Brochure: The International System of Units (SI) (PDF) (на језику: енглески и француски) (v. 1.08, 9th изд.). стр. 136—137. ISBN 978-92-822-2272-0. Приступљено 1. 9. 2021.

[5] Buckingham, Edgar (1914), „On Physically Similar Systems: Illustrations of the Use of Dimensional Analysis”, Physical Review, 4 (4): 345—376, Bibcode:1914PhRv....4..345B, doi:10.1103/PhysRev.4.345, hdl:10338.dmlcz/101743 

[CRC_Press-6] Menini, Claudia; Oystaeyen, Freddy Van (2017). Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment (на језику: енглески). CRC Press. ISBN 978-1-4822-5817-2. Архивирано из оригинала 2021-02-21. г. Приступљено 2020-10-15.

[7] Bourbaki, Nicolas (1989), „Chapter III. Tensor algebras, exterior algebras, symmetric algebras”, Algebra. Chapters 1–3, Elements of Mathematics (2nd printing изд.), Berlin-Heidelberg-New York City: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9, MR 0979982, Zbl 0904.00001

[8] „Determinants and Volumes”. textbooks.math.gatech.edu. Приступљено 16. 3. 2018.

[9] Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th изд.), Wiley International

[10] Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd изд.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.

[11] Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd изд.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1

[12] Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd изд.), Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]