−1

U matematici, −1 je aditivno inverzna vrednost od 1. Drugim rečima, to je broj koji kad se doda na 1 daje element aditivne identičnosti, 0. On je negativni ceo broj veći od negativne dvojke (−2) i manji od 0.

← −2 −1 0 →
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 → Spisak brojeva — Celi brojevi ← 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 →
Kardinalni broj	−1, minus jedan, negativno jedan
Redni broj	−1. (minus prvo)
Arapski	−١
Kineski broj	负一，负弌，负壹
Bengalski	−১
Binarni (bajt)	S&M: 1000000012 2sC: 111111112
Heks (bajt)	S&M: 0x10116 2sC: 0xFF16

−1

Negativna jedinica je povezana sa Ojlerovim identitetom jer je e^iπ = −1.

U razvoju softvera, −1 se često koristi kao inicijalna vrednost za cele brojeve i da bi se pokazalo da promenljiva ne sadrži korisne informacije.

Negativno jedan ima neka slična, ali malo drugačija svojstva kao pozitivne jedinice.

Algebarska svojstva

Množenje broja sa −1 je ekvivalentno sa promenom znaka broja. To se može dokazati koristeći zakon distributivnosti i aksiom da je 1 multiplikativni identitet: za x koje je realni broj važi

$x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0$

gde se koristi činjenica da je svako realno x puta nula 0 jednako 0, što proizilazi iz jednačine putem poništavanja

$0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,$

0, 1, −1, i, i −i u kompleksnoj ili kartezijanskoj ravni

Drugim rečima,

$x+(-1)\cdot x=0\,$

tako da je (−1) · x, ili −x, aritmetička inverzija od x.

Kvadrat od −1

Kvadrat od −1, tj. −1 pomnoženo sa −1, jednako je 1. Konsekventno, proizvod dva negativna realna broja je pozitivan.

Za algebarski dokaz ovog rezultata, može se započeti jednačinom

$0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]$

Prva jednakost proizilazi iz gornjeg rezultata. Druga sledi iz definicije −1 kao aditivna inverzna vrednost od 1: upravo taj broj kada se doda na 1 daje 0. Sada, koristeći zakon distribucije, može se videti da

$0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)$

Druga jednakost sledi iz činjenice da je 1 multiplikativni identitet. Međutim, sada dodavanje 1 na obe strane ove poslednje jednačine podrazumeva

$(-1)\cdot (-1)=1$

Gornji argumenti važe za bilo koji prsten, koncept apstraktne algebre kojim se generalizuju celi brojevi i realni brojevi.

Kvadratni koren od −1

Iako nema realnih kvadratnih korena od −1, kompleksni broj i zadovoljava i² = −1, i kao takav se može smatrati kvadratnim korenom od −1. Jedini drugi kompleksni broj čiji je kvadrat −1 je −i. U algebri kvaterniona, koja sadrži kompleksnu ravan, jednačina x² = −1 ima beskonačno mnogo rešenja.

Eksponencijacija do negativnih celih brojeva

Eksponencijacija nenultog realnog broja se može proširiti na negativne cele brojeve. Prema definiciji x⁻¹ = 1/x, znači da podizanje broja na −1 stepen ima isti efekat kao izračunavanje njegove recipročne vrednosti. Ova definicija se zatim proširuje na negativne cele brojeve, očuvavajući eksponencijalni zakon x^ax^b = x^{(a + b)} za realne brojeve a i b.

Eksponencijacija na negativne cele brojeve se može proširiti do invertabilnih elemenata prstena, putem definisanja x⁻¹ kao multiplikativne inverzne vrednosti od x.

−1 koje se javlja pored funkcija ili matrica ne označava njihovo podizanje na stepen −1, već njihove inverzne funkcije ili inverzne matrice. Na primer, f⁻¹(x) je inverzna funkcija od f(x), ili sin⁻¹(x) je notacija za arcsin funkciju.

Računarska reprezentacija

Glavni članak: Reprezentacije brojeva sa znakom

Većina računarskih sistema predstavlja negativne celobrojne brojeve koristeći komplement dvojke. U takvim sistemima, −1 je predstavljen pomoću obrasca bitova sa svim jedinicama. Na primer, 8-bitni ceo broj sa znakom koji koristi komplement dvojke predstavljaće −1 kao binarni niz „11111111” ili „FF” u heksadecimalnom obliku (baza 16). Ako se protumači kao ceo broj bez znaka, ista niz biteva od n jedinica predstavlja 2ⁿ − 1, najveću moguću vrednost koju n bitova može da drži. Na primer, 8-bitni niz „11111111” iznad predstavlja 2⁸ − 1 = 255.

Programski jezici

U nekim programskim jezicima, kada se koristi za indeksiranje nekih tipova podataka (kao što je niz), −1 se može koristiti za identifikaciju poslednje (ili druge zadnje) stavke, u zavisnosti da li 0 ili 1 predstavlja prvu stavku. Ako je prva stavka indeksirana sa 0, tada −1 označava zadnju stavku. Ako je prva stavka indeksirana sa 1, tada −1 identifikuje predzadnju stavku.

Vidi još

• Manelausova teorema

Literatura

• Ivan Flores, The Logic of Computer Arithmetic, Prentice-Hall (1963)
• Koren, Israel (2002). Computer Arithmetic Algorithms. A.K. Peters. ISBN 978-1-56881-160-4. 
• GE-625 / 635 Programming Reference Manual. General Electric. januar 1966. Pristupljeno 15. 8. 2013. 
• Intel 64 and IA-32 Architectures Software Developer’s Manual (PDF). Intel. Section 4.2.1. Pristupljeno 6. 8. 2013. 
• Power ISA Version 2.07. Power.org. Section 1.4. Arhivirano iz originala 9. 1. 2014. g. Pristupljeno 6. 8. 2013. 
• Finch, Steven (2003). Mathematical constants. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-81805-6. 
• May, Robert (1976). Theoretical Ecology: Principles and Applications. Blackwell Scientific Publishers. ISBN 978-0-632-00768-4. 
• Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996). The Book of Numbers. Springer. ISBN 978-0-387-97993-9. 
• Crease, Robert P. (10. 5. 2004), "The greatest equations ever", Physics World [neophodna registracija]
• Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-328-3. 
• Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus, Leipzig: B. G. Teubneri
• Kasner, E., & Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster
• Maor, Eli (1998). e: The Story of a number. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-05854-2. 
• Nahin, Paul J. (2006). Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11822-2. 
• Paulos, John Allen (1992). Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics. Penguin Books. ISBN 978-0-14-014574-8. 
• Reid, Constance (razna izdanja), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
• Sandifer, C. Edward (2007). Euler's Greatest Hits. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-563-8. 
• Stipp, David (2017), A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, Basic Books 
• Wells, David (1990). „Are these the most beautiful?”. The Mathematical Intelligencer. 12 (3): 37—41. doi:10.1007/BF03024015. 
• Wilson, Robin (2018), Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, Oxford University Press 
• Zeki, S.; Romaya, J. P.; Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F. (2014), „The experience of mathematical beauty and its neural correlates”, Frontiers in Human Neuroscience, 8: 68, PMC 3923150 , PMID 24592230, doi:10.3389/fnhum.2014.00068 
• Chris Brink; Wolfram Kahl; Gunther Schmidt (1997). Relational Methods in Computer Science. Springer. str. 4. ISBN 978-3-211-82971-4. 
• Celestina Cotti Ferrero; Giovanni Ferrero (2002). Nearrings: Some Developments Linked to Semigroups and Groups. Kluwer Academic Publishers. str. 62 and 67. ISBN 978-1-4613-0267-4. 
• Eric C.R. Hehner (1993). A Practical Theory of Programming. Springer Science & Business Media. str. 230. ISBN 978-1-4419-8596-5. 
• Conway, John H., & Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer, ISBN 978-0-387-97993-9
• Crease, Robert P. (10. 5. 2004), "The greatest equations ever", Physics World [neophodna registracija]
• Dunham, William (1999), Euler: The Master of Us All, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-328-3
• Euler, Leonhard (1922), Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus, Leipzig: B. G. Teubneri
• Kasner, E., & Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster
• Maor, Eli (1998), e: The Story of a number, Princeton University Press, ISBN 0-691-05854-7
• Nahin, Paul J. (2006), Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11822-2
• Paulos, John Allen (1992), Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics, Penguin Books, ISBN 0-14-014574-5
• Sandifer, C. Edward (2007), Euler's Greatest Hits, Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-563-8
• Stipp, David (2017), A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, Basic Books 
• Wells, David (1990). „Are these the most beautiful?”. The Mathematical Intelligencer. 12 (3): 37—41. doi:10.1007/BF03024015. 
• Wilson, Robin (2018), Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-192-51406-6 
• Zeki, S.; Romaya, J. P.; Benincasa, D. M. T.; Atiyah, M. F. (2014), „The experience of mathematical beauty and its neural correlates”, Frontiers in Human Neuroscience, 8: 68, PMC 3923150 , PMID 24592230, doi:10.3389/fnhum.2014.00068  

Spoljašnje veze

• Protocol Buffers: Signed Integers (jezik: engleski)
• Margherita Barile. „Additive Inverse”. MathWorld.