Prazan skup

U matematici, i njenoj oblasti teoriji skupova, prazan skup je jedinstven skup koji ne sadrži elemente.^[1] U aksiomatskoj teoriji skupova, postojanje praznog skupa je postulirano aksiomom praznog skupa. Razna svojstva skupova trivijalno važe za prazan skup.

Svaki skup osim praznog se naziva neprazan.

U nekim udžbenicima i popularizacijama prazan skup se naziva „nultim skupom“.^[1] Međutim, nulti skup je poseban pojam u kontekstu teorije mere, u kojoj opisuje skup nulte mere (koji nije nužno prazan). Prazan skup se takođe može nazvati praznim skupom.

Notacija

Simbol za prazan skup

Prazan skp se označava simbolom $\varnothing$ ili $\emptyset$ , što dolazi od slova Ø iz danskog i norveškog alfabeta. Simbol je uveo Burbaki (Andre Vajl) 1939. godine.^[2] Još jedna uobičajena notacija za prazan skup je {}. U prošlosti, „0” se povremeno koristio kao simbol za prazan skup, ali se sada smatra da je to nepravilna upotreba notacije.^[3]

Simbol ∅ je dostupan u Junikod tački U+2205.^[4] Može se kodirati u HTML-u kao ∅; i kao ∅. Može se kodirati u LaTeX-u kao \varnothing. Simbol $\emptyset$ je kodiran u LaTeX-u kao \emptyset.

Kada se piše na jezicima kao što su danski i norveški, gde se znak praznog skupa može pomešati sa abecednim slovom Ø (kao kada se koristi simbol u lingvistici), umesto njega se može koristiti Junikodni znak U+29B0 obrnuti prazni skup ⦰.^[5]

Svojstva

Za svaki skup A, prazan skup je podskup od A:
∀A: ∅ ⊆ A
Za svaki skup A, unija A i praznog skupa je jednaka A:
∀A: A ∪ ∅ = A
Za svaki skup A, presek A sa praznim skupom je prazan skup:
∀A: A ∩ ∅ = ∅
Za svaki skup A, Dekartov proizvod A i praznog skupa je prazan:
∀A: A × ∅ = ∅
Jedini podskup praznog skupa je sam prazan skup:
∀A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅
Broj elemenata praznog skupa (to jest njegova kardinalnost) je nula; prazan skup je konačan skup:
|∅| = 0
Za svako svojstvo:
- za svaki element ∅ svojstvo važi
- ne postoji element ∅ za koji svojstvo važi
Obrnuto: ako za neko svojstvo sledeća dva tvrđenja važe:
- za svaki element V svojstvo važi
- ne postoji element V za koji svojstvo važi

onda V = ∅

U teoriji skupova, dva skupa su jednaka ako imaju iste elemente; stoga može da postoji samo jedan prazan skup.

Ako se posmatra kao podskup realne brojevne prave (ili opštije bilo kog topološkog prostora), prazan skup je i zatvoren i otvoren. Sve njegove granične tačke (kojih nema) su unutar praznog skupa, i stoga je on zatvoren; dok za svaku njegovu tačku (kojih nema), postoji otvorena okolina u praznom skupu, i skup je stoga otvoren.

Operacije na praznom skupu

Kada se govori o zbiru elemenata konačnog skupa, neizbežno se dolazi do konvencije da je zbir elemenata praznog skupa nula. Razlog za to je taj što je nula element identiteta za sabiranje. Slično, proizvod elemenata praznog skupa treba smatrati da je jedan (pogledajte prazan proizvod), pošto je jedan element identiteta za množenje.

Dismutacija je permutacija skupa bez fiksnih tačaka. Prazan skup se može smatrati poremećajem sam po sebi, jer ima samo jednu permutaciju ( $0!=1$ ), i potpuno je tačno da se nijedan element (praznog skupa) može naći koji zadržava svoj prvobitni položaj.

U drugim oblastima matematike

Prošireni realni brojevi

Pošto prazan skup nema pripadnike kada se smatra podskupom bilo kog uređenog skupa, svaki član tog skupa će biti gornja i donja granica za prazan skup. Na primer, kada se posmatra kao podskup realnih brojeva, sa svojim uobičajenim redosledom, predstavljenim realonom brojevnom linijom, svaki realan broj je gornja i donja granica za prazan skup.^[6] Kada se posmatra kao podskup proširenih realnih vrednosti formiranih dodavanjem dva „broja“ ili „tačke“ realnim brojevima (naime negativna beskonačnost, označena $-\infty \!\,,$ koja je definisana kao manja od svakog drugog proširenog realnog broja, i pozitivna beskonačnost, označena sa $+\infty \!\,,$ koja je definisana da je veća od svakog drugog proširenog realnog broja), dobija se da je:

$\sup \varnothing =\min(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=-\infty ,$ i $\inf \varnothing =\max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=+\infty .$

Drugim rečima, najmanja gornja granica (sup ili supremum) praznog skupa je negativna beskonačnost, dok je najveća donja granica (inf ili infimum) pozitivna beskonačnost. Po analogiji sa navedenim, u domenu proširenih realnih vrednosti negativna beskonačnost je identični element za operatore maksimuma i supremuma, dok je pozitivna beskonačnost element identiteta za operatore minimuma i infimuma.

Topologija

U bilo kom topološkom prostoru X, prazan skup je otvoren po definiciji, kao i X. Pošto je komplement otvorenog skupa zatvoren, a prazan skup i X su komplementarni jedan drugom, prazan skup je takođe zatvoren, što ga čini otvoreno-zatvorenim skupom. Štaviše, prazan skup je kompaktan činjenicom da je svaki konačni skup kompaktan.

Zatvaranje praznog skupa je prazno. Ovo je poznato kao „očuvanje nulularnih unija”.

Teorija kategorija

Ako je $A$ skup, onda postoji tačno jedna funkcija $f$ od $\varnothing$ do $A,$ prazna funkcija. Kao rezultat toga, prazan skup je jedinstveni početni objekat kategorije skupova i funkcija.

Prazan skup se može pretvoriti u topološki prostor, nazvan prazan prostor, na samo jedan način: definisanjem praznog skupa da bude otvoren. Ovaj prazan topološki prostor je jedinstveni početni objekat u kategoriji topoloških prostora sa neprekidnim mapama. Zapravo, to je strogi početni objekat: samo prazan skup ima funkciju za prazan skup.

Teorija skupova

U fon Nojmanovoj konstrukciji ordinala, 0 je definisana kao prazan skup, a naslednik ordinala je definisan kao $S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}$ . Dakle, imamo $0=\varnothing$ , $1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}$ , $2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$ , i tako dalje. Fon Nojmanova konstrukcija, zajedno sa aksiomom beskonačnosti, koja garantuje postojanje najmanje jednog beskonačnog skupa, može se koristiti za konstruisanje skupa prirodnih brojeva, $\mathbb {N} _{0}$ , tako da su Peanove aksiome aritmetike zadovoljene.

Izvori

^ ^a ^b Weisstein, Eric W. „Empty Set”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-11.
^ „Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic.”.
^ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd izd.). McGraw-Hill. str. 300. ISBN 007054235X.
^ „Unicode Standard 5.2” (PDF).
^ e.g. Nina Grønnum (2005, 2013) Fonetik og Fonologi: Almen og dansk. Akademisk forlag, Copenhagen.
^ Bruckner, A.N., Bruckner, J.B., and Thomson, B.S. (2008). Elementary Real Analysis, 2nd edition, p. 9.

Literatura

Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (paperback edition).
Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium izd.), Springer, ISBN 3-540-44085-2
Graham, Malcolm (1975), Modern Elementary Mathematics (2nd izd.), Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0155610392
Devlin, Keith (1993), The Joy of Sets (2nd izd.), Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4
Ferreirós, Jose (2001), Labyrinth of Thought: A history of set theory and its role in modern mathematics, Berlin: Springer, ISBN 978-3-7643-5749-8
Johnson, Philip (1972), A History of Set Theory , Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6
Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland, ISBN 0-444-85401-0
Monk, J. Donald (1969), Introduction to Set Theory , McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0-898-74006-6
Potter, Michael (2004), Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction, Oxford University Press, ISBN 978-0-191-55643-2
Smullyan, Raymond M.; Fitting, Melvin (2010), Set Theory And The Continuum Problem, Dover Publications, ISBN 978-0-486-47484-7
Tiles, Mary (2004), The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise, Dover Publications, ISBN 978-0-486-43520-6
Cantor, Georg (1874), „Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen”, Journal für die reine und angewandte Mathematik (na jeziku: nemački), 1874 (77): 258—262, S2CID 199545885, doi:10.1515/crll.1874.77.258
Johnson, Philip (1972), A History of Set Theory , Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6
Bolzano, Bernard (1975), Berg, Jan, ur., Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre, Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, edited by Eduard Winter et al., II, A, 7, Stuttgart, Bad Cannstatt: Friedrich Frommann Verlag, str. 152, ISBN 3-7728-0466-7
Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Harvard University Press, str. 30—54, ISBN 0-674-34871-0
Young, William; Young, Grace Chisholm (1906), Theory of Sets of Points, Cambridge University Press
Kolmogorov, A.N.; Fomin, S.V. (1970), Introductory Real Analysis (Rev. English izd.), New York: Dover Publications, str. 2–3, ISBN 0486612260, OCLC 1527264
Bagaria, Joan (2020), „Set Theory”, Ur.: Zalta, Edward N., The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2020 izd.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, Pristupljeno 2020-08-20
Forster, T. E. (2008). „The iterative conception of set” (PDF). The Review of Symbolic Logic. 1: 97—110.
Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium izd.), Berlin, New York: Springer-Verlag, str. 642, ISBN 978-3-540-44085-7, Zbl 1007.03002
Bishop, Errett (1967), Foundations of Constructive Analysis, New York: Academic Press, ISBN 4-87187-714-0
Feferman, Solomon (1998), In the Light of Logic, New York: Oxford University Press, str. 280—283, 293—294, ISBN 0-195-08030-0
Wittgenstein, Ludwig (1975), Philosophical Remarks, §129, §174, Oxford: Basil Blackwell, ISBN 0-631-19130-5
Ferro, Alfredo; Omodeo, Eugenio G.; Schwartz, Jacob T. (septembar 1980), „Decision Procedures for Elementary Sublanguages of Set Theory. I. Multi-Level Syllogistic and Some Extensions”, Communications on Pure and Applied Mathematics, 33 (5): 599—608, doi:10.1002/cpa.3160330503 CS1 održavanje: Format datuma (veza)
Cantone, Domenico; Ferro, Alfredo; Omodeo, Eugenio G. (1989), Computable Set Theory , International Series of Monographs on Computer Science, Oxford Science Publications, Oxford, UK: Clarendon Press, str. xii, 347, ISBN 0-198-53807-3
Mac Lane, Saunders; Moerdijk, leke (1992), Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97710-2

Spoljašnje veze

Weisstein, Eric W. „Empty Set”. MathWorld.
Daniel Cunningham, Set Theory article in the Internet Encyclopedia of Philosophy.
Jose Ferreiros, The Early Development of Set Theory article in the [Stanford Encyclopedia of Philosophy].
Foreman, Matthew, Akihiro Kanamori, eds. Handbook of Set Theory. 3 vols., 2010. Each chapter surveys some aspect of contemporary research in set theory. Does not cover established elementary set theory, on which see Devlin (1993).
Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Axiomatic set theory”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Set theory”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Schoenflies, Arthur (1898). Mengenlehre in Klein's encyclopedia.
Online books, and library resources in your library and in other libraries about set theory
Rudin, Walter B. (6. 4. 1990). „Set Theory: An Offspring of Analysis”. Marden Lecture in Mathematics. University of Wisconsin-Milwaukee. Arhivirano iz originala 2021-10-31. g. — preko YouTube. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

[:1-1] Weisstein, Eric W. „Empty Set”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-11.

[2] „Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic.”.

[3] Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd izd.). McGraw-Hill. str. 300. ISBN 007054235X.

[4] „Unicode Standard 5.2” (PDF).

[5] .g. Nina Grønnum (2005, 2013) Fonetik og Fonologi: Almen og dansk. Akademisk forlag, Copenhagen.

[6] Bruckner, A.N., Bruckner, J.B., and Thomson, B.S. (2008). Elementary Real Analysis, 2nd edition, p. 9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]