Декартов производ

У математици, Декартов (Картезијански) производ је директни производ скупова. Име је добио по француском математичару Декарту,^[1] захваљујући чијем заснивању аналитичке геометрије је постављен темељ за овај концепт.

Посебно, Декартов производ два скупа X (нпр. скуп тачака на x-оси) и Y (нпр. скуп тачака на y-оси), у ознаци X × Y, је скуп свих могућих уређених парова код којих је прва компонента елемент скупа X а друга компонента елемент скупа Y (у примеру би то била цела раван x0y):

A\times B=\{(x,y)|x\in A\;\wedge \;y\in B\}.

^[2]

Декартов производ два коначна скупа може се представити табелом, тако да су елементи једног скупа распоређени у редове, а другог у колоне. Тада се уређени парови могу схватити као ћелије у табели, где је свака одређена својим редом и колоном.

Примери

Производ непразних скупова

Нека су дати скупови $A=\{1,2,3\}$ и $B=\{1,2\}$ .

$A\times B=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)\}$

$B\times A=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)\}$

У питању су различити скупови, тј. $A\times B\neq B\times A$ .

Шпил карата

Шпил од 52 карте

На шпилу од 52 карте се може илустровати декартов производ. Шпил има 13 врста карата {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} и свака врста се појављује у четири боје {♠, ♥, ♦, ♣}. Декартов производ ових скупова се састоји од 52 уређена пара свих могућих карата.

Врста × боја даје следећи скуп {(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦,), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)}.

Боја × врста даје следећи скуп {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

У питању су различити дисјунктни скупови.

Дводимензионални координатни систем

Картезијанске координате тачака

Главни историјски пример је картезијанскa раван у аналитичкој геометрији. У циљу представљања геометријских облика на нумерички начин и добијања нумеричких информација од оваквих репрезентација облика, Рене Декарт је свакој тачки у равни доделио пар реалних бројева, названих координатама. Обично се такав пар првих и других компонената назива x и y координата. Скуп свих таквих парова, односно картезијански производ ℝ × ℝ где су ℝ реални бројеви, представља скуп свих тачака у равни.

Имплементација у теорији скупова

Формална дефиниција Декартовог производа са аспекта теорије скупова следи из дефиниције уређеног пара. Најчешћа дефиниција уређеног пара је $(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$ , коју је дао Куратовски. Из дефиниције следи да је $X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))$ , где је ${\mathcal {P}}$ партитивни скуп. Дакле, постојање Декартовог производа било која два скупа у Цермело-Френкел теорији скупова је последица аксиоме пара, аксиоме уније, аксиоме партитивног скупа, и схеме сепарације. Пошто се функције најчешће дефинишу као специјалан случај релација, а релације се дефинишу као подскуп Декартовог производа, следи да је Декартов производ суштински неопходан за већину других дефиниција.

Некомутативност и неасоцијативност

Нека су A, B, C и D скупови.

Декартов производ није комутативан,

$A\times B\neq B\times A$ ,

јер су координате уређених парова пермутоване, осим ако је испуњен један од следећих услова^[3]:

A је једнако B,
бар један од скупова A и B је празан.

Примери:

Скупови A и B су различити. На пример: A = {1,2}; B = {3,4}

A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

Скупови A и B су једнаки. На пример: A = B = {1,2}

A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

Један од скупова A или B је празан. На пример: A = {1,2}; B = ∅

A × B = {1,2} × ∅ = ∅

B × A = ∅ × {1,2} = ∅

У општем случају, Декартов производ није асоцијативан (осим ако је један од скупова празан).

$(A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)$

На пример, ако је A = {1}, онда је (A × A) × A = {((1,1),1)} ≠ { (1,(1,1)) } = A × (A × A).

Декартов производ у односу на пресек, унију, подскуп

Скуповна једнакост (A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D) илустрована на примеру скупова A={x∈ℝ:2≤x≤5}, B={x∈ℝ:3≤x≤7}, C={y∈ℝ:1≤y≤3}, и D={y∈ℝ:2≤y≤4}.

(A∪B)×(C∪D)≠(A×C)∪(B×D) графички приказ

Скуповне једнакости A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C), A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) и A×(B\C)=(A×B)\(A×C) илустроване скуповима A={y∈ℝ:1≤y≤4}, B={x∈ℝ:2≤x≤5} и C={x∈ℝ:4≤x≤7}.

Декартов производ се лепо понаша у односу на пресек скупова.

$(A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)$ ^[4]

Међутим, скуповна једнакост не важи уколико пресек заменимо са унијом.

$(A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D)$

У ствари, важи следећа једнакост: $(A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]$

За разлику скупова важи идентитет:

$(A\times C)\setminus (B\times D)=[A\times (C\setminus D)]\cup [(A\setminus B)\times C]$

Следеће скуповне једнакости илуструју дистрибутивност декартовог производа и скуповних операција^[3]

$A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$ ,

$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$ ,

$A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)$ ,

$(A\times B)^{c}=(A^{c}\times B^{c})\cup (A^{c}\times B)\cup (A\times B^{c})$ ^[4].

За подскупове важи следеће:

Ако је $A\subseteq B$ онда је $A\times C\subseteq B\times C$ ,

Ако су A,B $\neq \emptyset$ онда је $A\times B\subseteq C\times D\iff A\subseteq C\land B\subseteq D$ ^[5].

Кардиналност

Кардиналност (кардинал или кардинални број) је број елемената скупа. На пример, нека су дата два скупа: A = {a, b} и B = {5, 6}. Скупови A и B имају по два елемента. Њихов Декартов производ, у ознаци A × B, даје нови скуп који се састоји од следећих елемената:

A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)}.

Сваки елемент скупа A се упарује са сваким елементом скупа B. Сваки уређени пар је елемент у резултујућем скупу A × B. Број различитих елемената у Декартовом производу скупова једнак је производу броја елемената скупова чији се Декартов производ рачуна; у овом случају је 2·2=4. Кардинални број добијеног скупа, једнак је производу кардиналних бројева скупова чији се Декартов производ рачуна. Дакле,

|A × B| = |A| · |B|.

Слично,

|A × B × C| = |A| · |B| · |C|

и тако даље.

Скуп A × B је бесконачан ако је бар један од скупова A или B бесконачан а други скуп је непразан.^[6]

$n$ -арни производ

Декартово степеновање

Декартов квадрат (или бинарни Декартов производ) скупа X је Декартов производ X² = X × X. Пример овог производа је дводимензионална раван R² = R × R где је R скуп реалних бројева: R² је скуп свих тачака (x,y) где су x и y реални бројеви (види Декартов координатни систем).

Декартов степен скупа X може се дефинисати као:

X^{n}=\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} _{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{i}\in X{\text{ за све }}i=1,\ldots ,n\}.

Одговарајући пример је R³ = R × R × R, где је R скуп реалних бројева. Општији пример је Rⁿ.

n-арни Декартов степен скупа X је изоморфан простору функција које пресликавају скуп од n елемената у скуп X. Као специјалан случај, 0-арни Декартов степен од X може се узети једноелементни скуп и одговарајуће празно пресликавање са кодоменом X.

Коначни `n`-арни производ

Декартов производ може се уопштити на n-арни Декартов производ са n скупова X₁, ..., X_n:

X_{1}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in X_{i}\}.

Овако дефинисан производ је скуп n-торки. Ако се n-торке дефинишу као угњеждени уређени парови, онда се скуп n-торки може поистоветити са (X₁ × ... × X_n−1) × X_n.

Бесконачни производи

Могуће је дефинисати Декартов производ за произвољну (бесконачну) индексирану фамилију скупова. Ако је I произвољан скуп индекса, и $\{X_{i}\}_{i\in I}$ фамилија скупова индексираних са I, тада се Декартов производ скупова у X дефинише као

\prod _{i\in I}X_{i}=\left\{\left.f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ \right|\ (\forall i)(f(i)\in X_{i})\right\},

што представља скуп свих функција дефинисаних на скупу индекса тако да вредност функције за одређени индекс i буде елеменет скупа X_i. Чак и када је сваки од X_i непразан, Декартов производ може бити празан ако не претпоставимо да важи аксиома избора (која је еквивалентна тврђењу да је сваки такав производ непразан).

За свако j из I, функција

\pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j},

дефинисана са $\pi _{j}(f)=f(j)$ назива се j-та пројекција.

Важан случај је када је скуп индекса скуп природних бројева $\mathbb {N}$ : овај Декартов производ је скуп свих бесконачних секвенци где је i-та координата из одговарајућег скупа X_i. На пример, сваки елемент производа

\prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots

може се представити као вектор са пребројиво много реалних координата. Овај скуп се најчешће означава са $\mathbb {R} ^{\omega }$ , или $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ .

Референце

^ Merriam-Webster Online Dictionary Приступљено 23.11.2015.
^ Warner, S: Modern Algebra, page 6. Dover Press, 1990.
^ ^а ^б Singh, S. Cartesian product. Приступљено 24. 11. 2015.
^ ^а ^б Декартов производ на PlanetMath.org.
^ Декартов производ подскупова на https://proofwiki.org/ Приступљено 29.11.2015.
^ Peter S. (1998). A Crash Course in the Mathematics Of Infinite Sets. St. John's Review, 44(2), 35–59. Retrieved August 1, 2011, from http://www.mathpath.org/concepts/infinity.htm

Спољашње везе

Чланак о Декартовом производу (језик: енглески)

[1] Merriam-Webster Online Dictionary Приступљено 23.11.2015.

[2] Warner, S: Modern Algebra, page 6. Dover Press, 1990.

[Singh-3] а ^б Singh, S. Cartesian product. Приступљено 24. 11. 2015.

[planetmath-4] а ^б Декартов производ на PlanetMath.org.

[5] Декартов производ подскупова на https://proofwiki.org/ Приступљено 29.11.2015.

[6] Peter S. (1998). A Crash Course in the Mathematics Of Infinite Sets. St. John's Review, 44(2), 35–59. Retrieved August 1, 2011, from http://www.mathpath.org/concepts/infinity.htm

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]