Kvadrat

Za drugu upotrebu, pogledajte stranicu Kvadrat (algebra).

Kvadrat je matematički pojam prisutan u geometriji i algebri. U geometriji je to geometrijska figura u ravni sastavljena od jednake četiri stranice i ugla. On je pravilan četvorougao, paralelogram. Temena se označavaju velikim slovima A, B, C, D, stranica malim slovom a, dijagonala malim slovom d. To je jedini pravilan mnogougao čiji su unutrašnji ugao, centralni ugao i spoljašnji ugao jednaki (90°), a čije su dijagonale jednake po dužini.

Kvadrat

Poluprečnik opisanog i upisanog kruga kod kvadrata

Osobine kvadrata

Osobine kvadrata su:

• sve stranice su jednake
• svi uglovi su pravi
• dijagonale su jednake, polove se i seku pod pravim uglom
• dužina dijagonale je $d=a{\sqrt {2}}$
• obim kvadrata je $O=4\cdot a$
• površina kvadrata je $P=a^{2}={\frac {d^{2}}{2}}$
• poluprečnik upisanog kruga je $r={\frac {a}{2}}$, a poluprečnik opisanog je $R={\frac {\ {d}}{2}}$

Obim i površina

Površina kvadrata je proizvod dužine njegovih stranica.

Obim kvadrata čije četiri stranice imaju dužinu $\ell$ je

$P=4\ell$

a površina A je

$A=\ell ^{2}.$

Pošto je četiri na kvadrat jednako šesnaest, kvadrat četiri sa četiri ima površinu jednaku njegovom perimetru. Jedini drugi četvorougao sa takvim svojstvom je pravougaonik tri sa šest.

U klasično doba, drugi stepen je opisan u smislu površine kvadrata, kao u gornjoj formuli. To je dovelo do upotrebe termina kvadrat da znači podizanje na drugi stepen.

Površina se takođe može izračunati korišćenjem dijagonale 'd prema

$A={\frac {d^{2}}{2}}.$

U smislu poluprečnika kruga R, površina kvadrata je

$A=2R^{2};$

pošto je površina kruga $\pi R^{2},$ kvadrat ispunjava $2/\pi \approx 0.6366$ njegovog opisanog kruga.

U smislu radijusa r, površina kvadrata je

$A=4r^{2};$

stoga je površina upisanog kruga $\pi /4\approx 0.7854$ površine kvadrata.

Pošto je to pravilan mnogougao, kvadrat je četvorougao najmanjeg perimetra koji obuhvata datu oblast. Dvostruko, kvadrat je četvorougao koji sadrži najveću površinu unutar datog perimetra. Zaista, ako su A i P površina i obim zatvoreni četvorouglom, onda važi sledeća izoperimetrijska nejednakost:

$16A\leq P^{2}$

sa jednakošću ako i samo ako je četvorougao kvadrat.

Druge činjenice

• Dijagonale kvadrata su ${\sqrt {2}}$ (oko 1,414) puta dužine stranice kvadrata. Ova vrednost, poznata kao kvadratni koren od 2 ili Pitagorina konstanta, bila je prvi broj za koji je dokazano da je iracionalan.
• Kvadrat se takođe može definisati kao paralelogram sa jednakim dijagonalama koje dele uglove.
• Ako je figura pravougaonik (pravi uglovi) i romb (jednake dužine ivica), onda je ona kvadrat.
• Kvadrat ima veću površinu od bilo kog drugog četvorougla sa istim obimom.
• Kvadratna pločica je jedna od tri pravilne pločice na ravni (ostale su jednakostranični trougao i pravilan šestougao).
• Kvadrat je u dve porodice politopa u dve dimenzije: hiperkocka i ukršteni politop. Šlaflijev simbol za kvadrat je {4}.
• Kvadrat je veoma simetričan objekat. Postoje četiri linije refleksijske simetrije i ima rotacionu simetriju reda 4 (kroz 90°, 180° i 270°). Njegova grupa simetrije je diedralna grupa  D₄.
• Kvadrat se može upisati u bilo koji pravilan mnogougao. Jedini drugi poligon sa ovim svojstvom je jednakostranični trougao.
• Ako upisani krug kvadrata ABCD ima dodirne tačke E na AB, F na BC, G na CD, i H na DA, onda za bilo koju tačku P na upisanoj kružnici važi,

$2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.$

• Ako je $d_{i}$ rastojanje od proizvoljne tačke u ravni do i-tog temena kvadrata i $R$ je poluprečnik kruga kvadrata, onda je

${\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.$

• Ako su $L$ i $d_{i}$ rastojanja od proizvoljne tačke u ravni do središta kvadrata i njegova četiri temena respektivno, onda je

$d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})$

i

$d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),$

gde je $R$ poluprečnik kruga kvadrata.

Koordinate i jednačine

$|x|+|y|=2$ prikazano na kartezijanskim koordinatama.

Koordinate za temena kvadrata sa vertikalnim i horizontalnim stranicama, sa centrom u koordinatnom početku i sa dužinom stranice 2 su (±1, ±1), dok unutrašnjost ovog kvadrata čine sve tačke (x_i, y_i) sa −1 < x_i < 1 i −1 < y_i < 1. Jednačina

$\max(x^{2},y^{2})=1$

određuje granicu ovog kvadrata. Ova jednačina znači „x² ili y², koje god je veće, jednako je 1.” Poluprečnik kruga ovog kvadrata (poluprečnik kruga povučen kroz vrhove kvadrata) je polovina dijagonale kvadrata i jednak je ${\sqrt {2}}.$ Tada opisani krug ima jednačinu

$x^{2}+y^{2}=2.$

Alternativno, jednačina

$\left|x-a\right|+\left|y-b\right|=r.$

takođe se može koristiti za opisivanje granice kvadrata sa koordinatama centra (a, b), i horizontalnim ili vertikalnim poluprečnikom r. Kvadrat je stoga oblik topološke lopte prema L₁ metrici udaljenosti.

Vidi još

• Pravougaonik
• Romb

Literatura

• Martin, George Edward (1982), Transformation geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, Theorem 12.1, page 120, ISBN 0-387-90636-3, MR 718119, doi:10.1007/978-1-4612-5680-9 
• „Quadrilaterals - Square, Rectangle, Rhombus, Trapezoid, Parallelogram”. Mathsisfun.com. Pristupljeno 2020-09-02. 
• „Sum of Angles in a Polygon”. Cuemath. Pristupljeno 22. 6. 2022. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Keady, G.; Scales, P.; Németh, S. Z. (2004). „Watt Linkages and Quadrilaterals”. The Mathematical Gazette. 88 (513): 475—492. S2CID 125102050. doi:10.1017/S0025557200176107. 
• Jobbings, A. K. (1997). „Quadric Quadrilaterals”. The Mathematical Gazette. 81 (491): 220—224. JSTOR 3619199. doi:10.2307/3619199. 
• Beauregard, R. A. (2009). „Diametric Quadrilaterals with Two Equal Sides”. College Mathematics Journal. 40 (1): 17—21. S2CID 122206817. doi:10.1080/07468342.2009.11922331. 
• Hartshorne, R. (2005). Geometry: Euclid and Beyond. Springer. str. 429—430. ISBN 978-1-4419-3145-0. 
• Josefsson, Martin (2013), „Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles” (PDF), Forum Geometricorum, 13: 17—21, Arhivirano iz originala (PDF) 24. 03. 2024. g., Pristupljeno 17. 07. 2022 
• Josefsson, Martin (2012), „Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals” (PDF), Forum Geometricorum, 12: 13—25, Arhivirano iz originala (PDF) 05. 12. 2020. g., Pristupljeno 17. 07. 2022 
• Leonard Mihai Giugiuc; Dao Thanh Oai; Kadir Altintas (2018). „An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral” (PDF). International Journal of Geometry. 7: 81—86. 
• Josefsson, Martin (2014). „Properties of equidiagonal quadrilaterals”. Forum Geometricorum. 14: 129—144. Arhivirano iz originala 05. 06. 2024. g. Pristupljeno 17. 07. 2022. 
• „Inequalities proposed in Crux Mathematicorum (from vol. 1, no. 1 to vol. 4, no. 2 known as "Eureka")” (PDF). Imomath.com. Pristupljeno 1. 3. 2022. 
• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2010). Charming Proofs : A Journey Into Elegant Mathematics. Mathematical Association of America. str. 114, 119, 120, 261. ISBN 978-0-88385-348-1. 
• John Boris Miller. „Centroid of a quadrilateral” (PDF). Austmd.org.au. Pristupljeno 1. 3. 2022. <
• Chen, Evan (2016). Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 9780883858394. 
• David, Fraivert (2019), „Pascal-points quadrilaterals inscribed in a cyclic quadrilateral”, The Mathematical Gazette, 103 (557), doi:10.1017/mag.2019.54 
• David, Fraivert (2019), „A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal-Points Circles”, Journal for Geometry and Graphics, 23 
• David, Fraivert (2017), „Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals” (PDF), Forum Geometricorum, 17: 509—526, Arhivirano iz originala (PDF) 05. 12. 2020. g., Pristupljeno 17. 07. 2022 
• Josefsson, Martin (2013). „Characterizations of Trapezoids” (PDF). Forum Geometricorum. 13: 23—35. 
• Barnett, M. P.; Capitani, J. F. (2006). „Modular chemical geometry and symbolic calculation”. International Journal of Quantum Chemistry. 106 (1): 215—227. Bibcode:2006IJQC..106..215B. doi:10.1002/qua.20807. 
• Hamilton, William Rowan (1850). „On Some Results Obtained by the Quaternion Analysis Respecting the Inscription of "Gauche" Polygons in Surfaces of the Second Order” (PDF). Proceedings of the Royal Irish Academy. 4: 380—387. 
• Borisov, Alexander; Dickinson, Mark; Hastings, Stuart (mart 2010). „A Congruence Problem for Polyhedra”. American Mathematical Monthly. 117 (3): 232—249. S2CID 8166476. arXiv:0811.4197 . doi:10.4169/000298910X480081. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Creech, Alexa. „A Congruence Problem” (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) 11. 11. 2013. g. 
• Franco P. Preparata; Michael Ian Shamos (1985). Computational Geometry – An Introduction. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96131-3. 1st edition: ; 2nd printing, corrected and expanded, 1988. 
• Whitworth, William Allen (1866). Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. Deighton, Bell, and Co. str. 199. 
• Coxeter, H.S.M. (1973). Regular Polytopes (3rd izd.). New York: Dover. 

Spoljašnje veze

• Animated course (Construction, Circumference, Area)
• Weisstein, Eric W. „Square”. MathWorld. 
• Definition and properties of a square With interactive applet
• Animated applet illustrating the area of a square