Opisana, upisana i spolja pripisana kružnica

Opisana kružnica oko mnogougla je kružnica koja prolazi kroz sva temena mnogougla. Centar ove kružnice se nalazi u preseku simetrala stranica i njen poluprečnik je rastojanje centra od bilo kog temena mnogougla. Mnogougao oko koga se može opisati krug naziva se tetivni mnogougao. Svi pravilni mnogouglovi su tetivni.
Kružnica koja dodiruje sve stranice jednog mnogougla naziva se upisana kružnica tog mnogougla. Centar ove kružnice se nalazi u preseku simetrala uglova i njen poluprečnik je rastojanje centra od bilo koje stranice mnogougla. U svaki pravilni mnogougao može da se upiše kružnica.
Centar spolja pripisane kružnice pravilnog mnogougla dobijamo u preseku simetrale jednog unutrašnjeg ugla i simetrale spoljašnjih uglova kod druga dva susedna temena. Poluprečnik je rastojanje centra od stranice mnogougla koju kružnica dodiruje.

Trougao

Oko svakog trougla može da se opiše kružnica. Centar opisane kružnice je presek simetrala stranica trougla.

Teorema 1. (O centru opisanog kruga) Simetrale stranica trougla seku se u jednoj tački.
Dokaz: Neka je S zajednička tačka simetrale $s$₁-stranice $BC$ i simetrale $s$₂-stranice $AC$ trougla ∆$ABC$. Pošto $S$ pripada simetrali $s$₁, imamo da je $BS$≅$CS$, a pošto $S$ pripada simetrali $s$₂, imamo da je $AS$≅$CS$. Odatle sledi da je $AS$≃$BS$≅$CS$, tj da $S$ pripada i simetrali $s$₃, pa je $S$ presek svih simetrala. Kružnica sa centrom $S$ i poluprečnikom $AS$ sadrži sva temena trougla, pa je to opisana kružnica oko trougla ∆$ABC$.

Jednakostraničan trougao

Kod jednakostraničnog trougla poluprečnik opisane kružnice iznosi ${\frac {2}{3}}$ visine: $r$_o=${\frac {2}{3}}h$ ili $r$₀=${\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}$.

Površina opisanog kruga je: $P=r_{0}^{2}\pi$.

Jednakokraki trougao

Kod jednakokrakog trougla centar opisane kružnice je na sredini visine, $r={\frac {h_{a}}{2}}$, gde je $h_{a}={\sqrt {b^{2}-({\frac {a}{2}})^{2}}}$.

Površina tog kruga je: $P=({\frac {h_{a}}{2}})^{2}\pi$.

Pravougli trougao

Tvrđenje 1.: Centar opisane kružnice pravouglog trougla je središte hipotenuze.

Dokaz: Neka je $O$ središte hipotenuze. Neka je $P$ središte $AB$. Tada je $OP$ srednja linija trougla ∆$ABC$ i $OP$ je paralelna sa $BC$ pa je $AB$ normalno na $OP$. Tada iz podudarnosti trouglova ∆$AOP$ i ∆$BOP$ sledi da je $OB$≅$OA$. Pošto je i $OA$≅$OC$ sledi da je $O$ centar opisane kružnice, a poluprečnik je pola hipotenuze.

Površina tog kruga je $P=({\frac {c}{2}})^{2}\pi$

Položaj centra u odnosu na trougao

Oštrougli	Tupougli	Pravougli
centar unutar trougla	centar izvan trougla	centar na sredini hipotenuze

U svaki trougao može da se upiše kružnica. Centar te kružnice se nalazi u preseku simetrala uglova.

Teorema 2. (O centru upisane kružnice) Simetrale uglova trougla se seku u jednoj tački

Dokaz: Neka je $O$ presek simetrale uglova ∠$CAB$ i ∠$ABC$. Neka su $OM$, $ON$ i $OP$ normale iz $O$ na stranice $AB$, $BC$ i $AC$. Iz podudarnosti trouglova ∆$BMO$ i ∆$BNO$ sledi da je $OM$≅$ON$. Iz $OP$≅$OM$ i $OM$≅$ON$ sledi da je $OP$≅$ON$ iz čega sledi podudarnost trouglova ∆$CNO$ i ∆$CPO$ odakle sledi ∠$BCO$≅∠$ACO$ i $O$ pripada preseku svih simetrala i $O$ je centar opisane kružnice.

Teorema 3.: Simetrala jednog unutrašnjeg ugla trougla i simetrala spoljašnjih uglova kod druga dva temena seku se u jednoj tački-centru spolja pripisane kružnice.

Četvorougao

Tangentni četvorougao

Četvorougao čije su ivice tangente jednog kruga, tj. četvorougao u koji se može upisati krug, naziva se tangentni četvorougao.

Za dokazivanje tog kriterijuma koristi se teorema o podudarnosti tangentnih duži, tj. odsečaka tangente na dati krug od tačke iz koje je ona konstruisana do tačke dodira.

Teorema 1. Tangentne duži konstruisane iz iste tačke van datog kruga su međusobno podudarne.

Teorema 2. Četvorougao $ABCD$ je tangentni ako i samo ako je $AB+CD=BC+AD$.

Dokaz:
(⇒) Pretpostavimo da je četvorougao $ABCD$ tangentni. Neka su $P,Q,R,S$ dodirne tačke ivica $AB,BC,CD,DA$ sa upisanim krugom $k$. Kako su tangentne duži podudarne, to je $AP$≅$AS$; $BP$≅$BQ$; $CQ$≅$CR$; $DR$≅$DS$. Na osnovu toga je: $AP+PB+CR+RD=AS+SD+BQ+QC$, tj. $AB+CD=AD+BC$.

(⇐) Neka su u četvorouglu $ABCD$ zbirovi naspramnih ivica jednaki. Postoji krug $k$ koji dodiruje ivice $AB,BC$ i $DA$ tog četvorougla (njegov centar je presek simetrala unutrašnjih uglova kod temena $A$ i $B$ četvorougla). Neka je $D'$ presek druge tangente iz tačke $C$ kruga $k$ i prave $AD$. Pretpostavimo da je $D'$≠$D$. Prema već dokazanom delu teoreme važi $AB+CD=BC+D'A$, pa kako je po pretpostavci $AB+CD=BC+DA$, to je $CD'-CD=D'A-DA$, tj. $CD'=D'A-DA+CD$.

Ako je tačka $D$ između tačaka $D'$ i $A$ ova relacija postaje $CD'=CD+DD'$, a to je nemoguće na osnovu nejednakosti trougla. Na sličan način dolazimo do kontradikcije i u slučaju kada $D$ nije između tačaka $D'$ i $A$. Dakle, $D'=D$, tj. krug $k$ dodiruje i četvrtu ivicu četvorougla $ABCD$.

Neposredna posledica ove teoreme je da se u kvadrat, romb i deltoid mogu upisati krugovi.

Tetivni četvorougao

Četvorougao oko koga se može opisati krug, tj. čije su sve ivice tetive nekog kruga naziva se tetivni četvorougao. Kao što postoji kriterijum za utvrđivanje da li je četvorougao tangentni, postoji i važna teorema koja daje neophodan i dovoljan uslov da četvorougao bude tetivni.

Teorema 1. Konveksni četvorougao je tetivni ako i samo ako su njegovi naspramni uglovi suplementni.

Dokaz:

(⇒) Pretpostavimo najpre da je četvorougao $ABCD$ tetivni. Kako je četvorougao konveksan, temena $A$ i $C$ su sa raznih strana prave određene dijagonalom $BD$. Na osnovu posledice (Periferijski uglovi kruga nad istom tetivom, čija su temena sa raznih strana prave određene tom tetivom, su suplementni), uglovi ∠$BAD$ i ∠$BCD$ četvorougla su suplementni.
(⇐) Pretpostavimo sada da su naspramni uglovi četvorougla $ABCD$ suplementni. Neka je $k$ krug opisan oko trougla ∆$ABD$. Tada se iz četvrtog temena $C$ tetiva $BD$ vidi pod uglom koji je suplementan uglu kod temena $A$, pa tačka $C$ pripada krugu.

Teorema 2. Ako je $ABCD$ konveksan četvorougao i ∠$ACB$≅∠$ADB$ tada je on tetivni četvorougao.

Literatura

• Mitrović M., Ognjanović S., Veljković M., Petković Lj., Lazarević N. (1998), Geometrija za prvi razred Matematičke gimnazije, Beograd: Krug
• Knežević J. (2013), Značajne tačke trougla, Univerzitet u Novom Sadu, master rad