Паралелограм

У Еуклидовој геометрији, паралелограм је једноставан (не-самосекући) четвороугао са два пара паралелних страница. Наспрамне странице паралелограма су једнаке дужине, а наспрамни углови су једнаке мере.

Паралелограм
Овај паралелограм је ромбоид јер нема праве углове и неједнаке странице.
Тип	четвороугао
Ивице и темена	4
Симетрична група	C2, [2]+, (22)
Површина	b × h (основица × висина); ab sin θ (производ суседних страница и синус било ког угла темена)
Својства	конвексан

Подударност наспрамних страница и наспрамних углова је директна последица Еуклидовог постулата паралелности и ни један услов се не може доказати без примењивања Еуклидовог постулата паралелности или једне од његових еквивалентних формулација.

Поређења ради, четвороугао са само једним паром паралелних страница је трапез.

Тродимензионални еквивалент паралелограма је паралелепипед.

Етимологија (на грчком грч. παραλληλ-όγραμμον — „облик од паралелних линија”) одражава дефиницију.

Посебни случајеви

Четвороуглови по симетрији

• Ромбоид — четвороугао чије су наспрамне странице паралелне, суседне странице неједнаке и чији углови нису прави.
• Правоугаоник — паралелограм са четири угла једнаке величине.
• Ромб — паралелограм са четири страница једнаке дужине.
• Квадрат — паралелограм са четири страница једнаке дужине и углова једнаке величине (прави углови).

Карактеризација

Паралелограм је једноставан (не-самосекући) четвороугао ако и само ако је једна од следећих изјава тачна:

• два пара наспрамних страница су једнаке по дужини;
• два пара наспрамних углова су једнаки по мери;
• дијагонале се узајамно полове;
• један пар наспрамних страница је паралелан и једнак по дужини;
• суседни углови су суплементни;
• свака дијагонала дели четвороугао на два подударна троугла;
• збир квадрата страница једнак је збиру квадрата дијагонала (Ово је паралелограмски закон.);
• има ротациону симетрију реда 2;
• збир удаљености од било које унутрашње тачке до страница је независна од локације тачке. (Ово је проширење Вивианијеве теореме.)
• Постоји тачка X у равни четвороугла са својством да свака права линија кроз X дели четвороугао на два подручја једнаке површине.

Стога, сви паралелограми имају сва горенаведена својства, и обрнуто; ако је само једна од ових изјава тачна у једноставном четвороуглу, онда је то паралелограм.

Формуле

Висине	$h_{a}\,=\,b\cdot \sin \alpha =b\cdot \sin \beta$ $h_{b}\,=\,a\cdot \sin \alpha =a\cdot \sin \beta$
Дијагонале	$e={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos \alpha }}$ $f={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos \alpha }}$
Обим	$O=2(a+b)\,$
Површина	$P=ah_{a}=bh_{b}=\left|\left|\,{\overrightarrow {AB}}\,\times \,{\overrightarrow {AD}}\,\right|\right|$ $S\,=\,a\cdot b\cdot \sin \alpha =a\cdot b\cdot \sin \beta ={\frac {1}{2}}\cdot e\cdot f\cdot \sin \theta$
Закон паралелограма	$e^{2}+f^{2}=2\left(a^{2}+b^{2}\right)$

Формула површине

Паралелограм се може преуредити у правоугаоник са истом површином.

Анимација за формулу површине $K=bh$.

Све формуле површина за опште конвексне четвороуглове важе за паралелограме. Даље формуле су специфичне за паралелограме:

Паралелограм са основом b и висином h може се поделити на четвороугао и правоугаони троугао и преуредити у правоугаоник, као што је приказано на слици лево. То значи да је површина паралелограма иста као и површина правоугаоника са истом основом и висином:

$K=bh.$

Површина паралелограма је површина плаве области, која је унутрашњост паралелограма.

Формула за површину облика основе × висина се такође може извести помоћу слике са десне стране. Површина K паралелограма десно (плава област) је укупна површина правоугаоника умањена за површину два наранџаста троугла. Површина правоугаоника је

$K_{\text{rect}}=(B+A)\times H\,$

а површина појединачно наранџастог троугла је

$K_{\text{tri}}={\frac {A}{2}}\times H.\,$

Дакле, површина паралелограма је

$K=K_{\text{rect}}-2\times K_{\text{tri}}=((B+A)\times H)-(A\times H)=B\times H.$

Друга формула површине, за две странице B и C и угао θ, је

$K=B\cdot C\cdot \sin \theta .\,$

Површина паралелограма са страницама B и C (B ≠ C) и углом $\gamma$ на пресеку дијагонала је дата са

$K={\frac {|\tan \gamma |}{2}}\cdot \left|B^{2}-C^{2}\right|.$

Када се паралелограм одреди из дужина B и C две суседне странице заједно са дужином D₁ било које дијагонале, тада се површина може наћи из Херонове формуле. Специфично то је

$K=2{\sqrt {S(S-B)(S-C)(S-D_{1})}}$

где је $S=(B+C+D_{1})/2$ и водећи фактор 2 долази из чињенице да изабрана дијагонала дели паралелограм на два подударна троугла.

Површина у контексту Декартових координата темена

Нека вектори $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{2}$ и нека $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}$ означавају матрицу са елементима a и b. Тада је површина паралелограма коју генеришу a и bједнака $|\det(V)|=|a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}|\,$.

Нека су вектори $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$ и нека је $V={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\dots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\dots &b_{n}\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times n}$. Тада је површина паралелограма коју генерише a и b једнака ${\sqrt {\det(VV^{\mathrm {T} })}}$.

Нека су тачке $a,b,c\in \mathbb {R} ^{2}$. Тада је површина паралелограма са врховима на a, b и c еквивалентна апсолутној вредности детерминанте матрице изграђене коришћењем a, b и c као редова са последњом колоном допуњеном јединицама на следећи начин:

$K=\left|\,\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&1\\b_{1}&b_{2}&1\\c_{1}&c_{2}&1\end{bmatrix}}\right|.$

Доказ да се дијагонале деле једна на другу

Паралелограм ABCD

Да би се доказало да дијагонале паралелограма деле једна на другу напола, могу се користити подударни троуглови:

$\angle ABE\cong \angle CDE$ (наизменични унутрашњи углови су једнаки по мери)

$\angle BAE\cong \angle DCE$ (наизменични унутрашњи углови су једнаки по мери).

(пошто су то углови које трансверзала прави са паралелним правима AB и DC).

Такође, страница AB је по дужини једнака страни DC, пошто су супротне стране паралелограма једнаке по дужини.

Дакле, троуглови ABE и CDE су подударни (ASA постулат, два одговарајућа угла и укључена страница).

Стога,

$AE=CE$

$BE=DE.$

Пошто дијагонале AC и BD деле једна другу на сегменте једнаке дужине, дијагонале се преполовљавају. Осим тога, пошто се дијагонале AC и BD преполовљавају у тачки E, тачка E је средиште сваке дијагонале.

Решетка паралелограма

Паралелограми могу поплочати раван транслацијом. Ако су ивице једнаке или су углови прави, симетрија решетке је већа. Они представљају четири Бравеове решетке у 2 димензије.

Решетке

Форма	Квадрат	Правоугаоник	Ромр	Паралелограм
Систем	Квадратин (тетрагонални)	Правоугаони (орторомбни)	Центрирано правоугаони (орторомбни)	Коси (моноклиника)
Ограничења	α=90°, a=b	α=90°	a=b	None
Симетрија	p4m, [4,4], order 8n	pmm, [∞,2,∞], order 4n		p1, [∞+,2,∞+], order 2n
Форма

Литература

• Abbott, Timothy Good (2008), „3.1.2 Contraparallelograms”, Generalizations of Kempe's Universality Theorem (PDF) (Master's thesis), Massachusetts Institute of Technology, стр. 34—36 
• Coxeter, H. S. M.; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954), „Uniform polyhedra”, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 246 (916): 401—450, Bibcode:1954RSPTA.246..401C, JSTOR 91532, MR 0062446, S2CID 202575183, doi:10.1098/rsta.1954.0003 
• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2020), A Cornucopia of Quadrilaterals, The Dolciani Mathematical Expositions, 55, Providence, Rhode Island: MAA Press and American Mathematical Society, стр. 212, ISBN 978-1-4704-5312-1, MR 4286138 
• Cundy, H. Martyn (март 2005), „89.23 The lemniscate of Bernoulli”, The Mathematical Gazette, 89 (514): 89—93, S2CID 125521872, doi:10.1017/s0025557200176855 CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Begalla, Engjëll; Perucca, Antonella (2020), „The ABCD of cyclic quadrilaterals”, Uitwiskeling, University of Luxembourg, hdl:10993/43232 
• Dijksman, E. A. (1976), Motion Geometry of Mechanisms, Cambridge University Press, стр. 203, ISBN 9780521208413 
• Demaine, Erik; O'Rourke, Joseph (2007), Geometric Folding Algorithms, Cambridge University Press, стр. 32—33, ISBN 978-0-521-85757-4, MR 2354878, doi:10.1017/CBO9780511735172 
• Grebenikov, Evgenii A.; Ikhsanov, Ersain V.; Prokopenya, Alexander N. (2006), „Numeric-symbolic computations in the study of central configurations in the planar Newtonian four-body problem”, Computer algebra in scientific computing, Lecture Notes in Comput. Sci., 4194, Berlin: Springer, стр. 192—204, MR 2279793, doi:10.1007/11870814_16 
• Glaeser, Georg (2020), „Antiparallelograms; It does not always have to be a uniform rotation ...”, Geometry and its Applications in Arts, Nature and Technology, Springer International Publishing, стр. 428—429, ISBN 978-3-030-61397-6, S2CID 241160811, doi:10.1007/978-3-030-61398-3 
• De Villiers, Michael (2015), „Slaying a geometrical 'monster': finding the area of a crossed quadrilateral”, Learning and Teaching Mathematics, 2015 (18): 23—28, hdl:10520/EJC175721 
• Muirhead, R. F. (фебруар 1901), „Geometry of the isosceles trapezium and the contra-parallelogram, with applications to the geometry of the ellipse”, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 20: 70—72, doi:10.1017/s0013091500032892  CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Norton, Robert L. (2003), Design of Machinery, McGraw-Hill Professional, стр. 51, ISBN 978-0-07-121496-4 
• Bryant, John; Sangwin, Christopher J. (2008), „3.3 The Crossed Parallelogram”, How Round Is Your Circle? Where Engineering and Mathematics Meet, Princeton University Press, стр. 54—56, ISBN 978-0-691-13118-4 
• Sossinsky, Alexey (2016), „Configuration spaces of planar linkages”, Handbook of Teichmüller theory, Vol. VI, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, 27, Zürich: European Mathematical Society, стр. 335—373, MR 3618193 

• van Schooten, Frans (1646), De Organica Conicarum Sectionum In Plano Descriptione, Tractatus. Geometris, Opticis; Præsertim verò Gnomonicis et Mechanicis Utilis. Cui subnexa est Appendix, de Cubicarum Æquationum resolutione, стр. 49—50, 69—70 

• Yates, Robert C. (март 1941), „The trisection problem”, National Mathematics Magazine, 15 (6): 278—293, JSTOR 3028413, doi:10.2307/3028413 CS1 одржавање: Формат датума (веза)

Спољашње везе

• Parallelogram and Rhombus - Animated course (Construction, Circumference, Area)
• Weisstein, Eric W. „Parallelogram”. MathWorld. 
• Interactive Parallelogram --sides, angles and slope
• Area of Parallelogram at cut-the-knot
• Equilateral Triangles On Sides of a Parallelogram at cut-the-knot
• Definition and properties of a parallelogram with animated applet
• Interactive applet showing parallelogram area calculation interactive applet