Неутрал
У математици, неутрал (или неутрални елемент) је посебна врста елемента неког скупа у односу на бинарну операцију на том скупу. Неутрал се одликује тиме што друге елементе скупа оставља непромењеним када се са њима комбинује у тој операцији. Неутрали се користе у групама и повезаним концептима.
Нека је (S,*) скуп S са бинарном операцијом * дефинисаном на себи. Тада се елемент e скупа S назива леви неутрал ако e * a = a за свако a из S, а десни неутрал ако a * e = a за свако a из S. Ако је e уједно и леви и десни неутрал, онда се назива двостраним неутралом, или просто неутралом.
Неутрал у односу на сабирање се назива адитивним неутралом (често се означава са 0) а неутрал у односу на множење се назива мултипликативни инверз (често се означава са 1). Ова разлика се обично користи за скупове који имају обе ове бинарне операције, као што су прстени.
Примери
уреди| скуп | операција | неутрал |
|---|---|---|
| реални бројеви | + (сабирање) | 0 |
| реални бројеви | • (множење) | 1 |
| реални бројеви | ab (степеновање) | 1 (само десни неутрал) |
| m-са-n матрица | + (сабирање) | нула матрица |
| n-са-n квадратне матрице | • (множење) | јединична матрица |
| све функције из скупа M у самог себе | ∘ (композиција функција) | идентитета |
| све функције из скупа M у самог себе | * (конволуција) | δ (Диракова делта) |
| ниске карактера, листе | конкатенација | празна ниска, празна листа |
| проширени реални бројеви | минимум/инфинум | +∞ |
| проширени реални бројеви | максимум/супремум | -∞ |
| подскупови скупа M | ∩ (пресек) | M |
| скупови | ∪ (унија) | { } (празан скуп) |
| Булова логика | ∧ (логичко и) | ⊤ (тачно) |
| Булова логика | ∨ (логичко или) | ⊥ (нетачно) |
| само два елемента {e, f} | * дефинисана као e * e = f * e = e and f * f = e * f = f |
и e и f су леви неутрали, али не постоји десни или двострани неутрал |
Као што последњи пример показује, могуће је да има више левих неутрала. У ствари, сваки елемент може бити леви неутрал. Слично, може бити више десних неутрала. Међутим, ако постоји и лесни неутрал и леви неутрал, онда су једнаки и постоји само један двострани неутрал. Да би се ово видело, уочимо да ако је леви неутрал, а десни, онда . Специјално, није могуће да постоји више од једног двостраног неутрала. Када би постојала два, и f, онда би морало да буде једнако и и .
Литература
уреди- Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1). 1965. ISBN 978-0-07-002655-1..