Množenje

Množenje je binarna operacija u matematici. Zapisuje se kao a · b ili a × b. Operandi a i b se nazivaju činioci (faktori), a rezultat množenja proizvod.

3 · 4 = 12, pa 12 kuglica može biti složeno kao 3 vrste po 4 (ili 4 kolone po 3) kuglice

Ako je jedan operand prirodan broj, onda množenje predstavlja skraćeni zapis sabiranja. Npr, ako je n ∈ ℕ, onda je

$a\cdot n=\underbrace {a+\cdots +a} _{n}.$

U algebri se oznaka za množenje podrazumeva i može se preskočiti, pa se 3 · a · b može zapisati i kao 3 a b

Na primer, 4 pomnoženo sa 3, često napisano kao $3\times 4$ i izgovoreno kao „3 puta 4”, može se izračunati dodavanjem 3 kopije od 4 zajedno:

$3\times 4=4+4+4=12$

Ovde su 3 (množilac) i 4 (množenik) činioci, a 12 je proizvod.

Jedno od glavnih svojstava množenja je komutativno svojstvo, koje u ovom slučaju navodi da sabiranje 3 kopije od 4 daje isti rezultat kao dodavanje 4 kopije od 3:

$4\times 3=3+3+3+3=12$

Sistematske generalizacije ove osnovne definicije definišu množenje celih brojeva (uključujući negativne brojeve), racionalnih (razlomaka) i realnih brojeva.

Množenje se takođe može vizualizovati kao brojanje objekata raspoređenih u pravougaonik (za cele brojeve) ili kao pronalaženje površine pravougaonika čije stranice imaju neke date dužine. Površina pravougaonika ne zavisi od toga koja se stranica prva meri — posledica komutativnog svojstva.

Proizvod dva merenja je nova vrsta merenja. Na primer, množenjem dužina dve strane pravougaonika dobija se njegova površina. Takav proizvod je predmet dimenzionalne analize.

Inverzna operacija množenju je deljenje. Na primer, pošto je 4 pomnoženo sa 3 jednako 12, 12 podeljeno sa 3 je jednako 4.

Množenje brojeva

Osobine

Množenje ima prioritet nad sabiranjem. Množenje brojeva ima sledeće osobine (za množenje drugih objekata pogledati niže u tekstu):

1. $a\cdot 1=1\cdot a=a$	(neutral)
2. $a\cdot 0=0\cdot a=0$	(svaki broj pomnožen nulom jednak je nuli)
3. $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$	(asocijativnost)
4. $a\cdot b=b\cdot a$	komutativnost
5. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$	distributivnost množenja prema sabiranju

1. Na skupu racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva, svaki broj osim nule ima tačno jedan inverzan broj, takav da je njihov proizvod jedinica:

$\forall a\ \exists _{1}b:a\cdot b=1$

Inverzan broj broja $a$ se zapisuje kao ${\tfrac {1}{a}}$. Inverzan broj inverznog broja je polazni broj:

${\frac {1}{\frac {1}{a}}}=a$

Množenje celih brojeva

Prilikom množenja celih brojeva, ako su oba istog znaka (oba pozitivna ili negativna), rezultat je pozitivan. Proizvod pozitivnog i negativnog broja je negativan.

Racionalni činioci

Glavni članak: Racionalan broj

Proizvod racionalnih brojeva je racionalan broj kome je brojilac proizvod brojilaca činilaca, a imenilac proizvod imenilaca činilaca:

$a={\frac {p_{1}}{q_{1}}}\land b={\frac {p_{2}}{q_{2}}}\Rightarrow a\cdot b={\frac {p_{1}\cdot p_{2}}{q_{1}\cdot q_{2}}}$

Iracionalni činioci

Glavni članak: Realni brojevi

Neka je b ∈ ℝ \ ℚ iracionalan broj, tada je proizvod a · b granična vrednost

$a\cdot b=\lim _{{\frac {p}{q}}\rightarrow b}a\cdot {\frac {p}{q}}$

gde je ${\tfrac {p}{q}}$ racionalan broj i predstavlja približnu vrednost broja b.

Množenje kompleksnih brojeva

Glavni članak: Kompleksni brojevi

Svaki kompleksan broj z možemo zapisati kao uređeni par ili u trigonometrijskom (polarnom) zapisu:

$z=(a,b)=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )$.

Kako je $i^{2}=-1$, formula za množenje u algebarskom zapisu glasi

$(a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})$.

Iz trigonometrijskih jednačina sledi formula za množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku:

$\rho _{1}(\cos \phi _{1}+i\sin \phi _{1})\cdot \rho _{2}(\cos \phi _{2}+i\sin \phi _{2})=\rho _{1}\rho _{2}(\cos \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right)+i\sin \left(\phi _{1}+\phi _{2}\right))$

Množenje vektora

Glavni članak: Vektor

Postoji nekoliko vrsta množenja vektora: množenje vektora skalarom, skalarni, vektorski i mešoviti proizvod vektora. Skalarni proizvod vektora se obeležava sa „·“, a vektorski sa „ד.

Posmatrajmo vektor u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru: $\mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})\in \mathbb {R} ^{3}$.

Množenje vektora skalarom

Vektor se množi skalarom tako što se svaka njegova koordinata pomnoži skalarom. Ova operacija je komutativna.

$k\in \mathbb {R} ,\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{3}\Rightarrow k\mathbf {a} =(ka_{x},ka_{y},ka_{z})$

Skalarni proizvod

Skalarni proizvod vektora je skalar jednak sumi proizvoda odgovarajućih koordinata:

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$

$\cdot :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$

Skalarni proizvod je komutativan.

Vektorski proizvod

Vektorski proizvod.

Vektorski proizvod vektora je novi vektor, čiji je intenzitet jednak površini paralelograma koji vektori-činioci zaklapaju, pravac mu je normalan na ravan koju vektori-činioci definišu, a smer se definiše pravilom leve ili desne ruke, zavisno od konvencije. Ovaj proizvod je specifičan za $\mathbb {R} ^{3}$, i antikomutativan je. Vektorski proizvod se računa kao determinanta matrice:

$\times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{3}$

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}$

gde su $\mathbf {i} ,\mathbf {j}$ i $\mathbf {k}$ ortovi duž x, y i z ose.

Mešoviti proizvod

Zapremina paralelepipeda koji definišu 3 vektora jednaka je njihovom mešovitom proizvodu.

Mešoviti proizvod tri vektora je skalar koji je jednak zapremini paralelopipeda koji ti vektori zaklapaju. Zapisuje se kao [a, b, c] i po definiciji je:

$[]:\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \mathbb {R} ^{3}$

$[\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}}$

Množenje matrica

Glavni članak: Matrica (matematika)

Neka su date matrice А i B veličine m_А×n_А i m_B×n_B. Proizvod AB je definisan ako je n_А = m_B, a dobijena matrica ima dimenzije m_А×n_B. Elementi matrice-proizvoda su

$(AB)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n_{A}}A_{i,k}B_{k,j}$

Množenje matrica nije komutativno. Matrice 1×3 i 3×2 možemo pomnožiti samo na jedan način, a 5×4 i 4×5 sa obe strane, ali proizvodi neće imati istu veličinu (5×5 na jedan i 4×4 na drugi način). Ako se pomnože dve kvadratne matrice iste veličine, proizvodi su takođe iste veličine, i može se definisati komutator:

$[A,B]=A\times B-B\times A$

Vidi još

• Deljenje
• Stepenovanje
• Tablica množenja
• Linearna funkcija
• Egipatsko množenje

Literatura

• Boyer, Carl B. (1991). History of Mathematics. Merzbach, Uta C. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8. 
• Hall, Marshall Jr. (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan 
• Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8 
• Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd izd.), Boston: Allyn and Bacon 
• Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (2nd izd.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-54397-8. 
• Gandz, S. (januar 1936). „The Sources of Al-Khowārizmī's Algebra”. Osiris. 1: 263—277. JSTOR 301610. S2CID 60770737. doi:10.1086/368426. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
• Herstein, I. N. (1964). Topics in Algebra. Ginn and Company. ISBN 0-471-02371-X. 
• Allenby, R. B. J. T. (1991). Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6. 
• Asimov, Isaac (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin. 
• Euler, Leonhard (2005). Elements of Algebra. ISBN 978-1-899618-73-6. Arhivirano iz originala 2011-04-13. g. 
• Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X. 
• Hill, Donald R. (1994). Islamic Science and Engineering. Edinburgh University Press. 
• Joseph, George Gheverghese (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Penguin Books. ISBN 978-0140277784. 
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2005). „History Topics: Algebra Index”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. Arhivirano iz originala 2016-03-03. g. Pristupljeno 2011-12-10. 
• Sardar, Ziauddin; Ravetz, Jerry; Loon, Borin Van (1999). Introducing Mathematics. Totem Books. 
• Bareiss, Erwin (1968), „Sylvester's Identity and Multistep Integer-Preserving Gaussian Elimination” (PDF), Mathematics of Computation, 22 (102): 565—578, JSTOR 2004533, doi:10.2307/2004533, Arhivirano (PDF) iz originala 2012-10-25. g. 
• de Boor, Carl (1990), „An empty exercise” (PDF), ACM SIGNUM Newsletter, 25 (2): 3—7, S2CID 62780452, doi:10.1145/122272.122273, Arhivirano (PDF) iz originala 2006-09-01. g. 
• Bourbaki, Nicolas (1998), Algebra I, Chapters 1-3, Springer, ISBN 9783540642435 
• Bunch, J. R.; Hopcroft, J. E. (1974). „Triangular Factorization and Inversion by Fast Matrix Multiplication”. Mathematics of Computation. 28 (125): 231—236. doi:10.1090/S0025-5718-1974-0331751-8 . 
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Abstract algebra (3rd izd.), Hoboken, NJ: Wiley, ISBN 9780471452348, OCLC 248917264 
• Fisikopoulos, Vissarion; Peñaranda, Luis (2016), „Faster geometric algorithms via dynamic determinant computation”, Computational Geometry, 54: 1—16, doi:10.1016/j.comgeo.2015.12.001  
• Garibaldi, Skip (2004), „The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions”, American Mathematical Monthly, 111 (9): 761—778, JSTOR 4145188, MR 2104048, arXiv:math/0203276 , doi:10.2307/4145188 
• Habgood, Ken; Arel, Itamar (2012). „A condensation-based application of Cramer's rule for solving large-scale linear systems” (PDF). Journal of Discrete Algorithms. 10: 98—109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007 . Arhivirano (PDF) iz originala 2019-05-05. g. 
• Harris, Frank E. (2014), Mathematics for Physical Science and Engineering, Elsevier, ISBN 9780128010495 
• Kleiner, Israel (2007), Kleiner, Israel, ur., A history of abstract algebra, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1 
• Kung, Joseph P.S.; Rota, Gian-Carlo; Yan, Catherine (2009), Combinatorics: The Rota Way, Cambridge University Press, ISBN 9780521883894 

Spoljašnje veze

• Multiplication and Arithmetic Operations In Various Number Systems at cut-the-knot
• Modern Chinese Multiplication Techniques on an Abacus