Гранична вредност низа

Гранична вредност низа $a_{n}$ или лимес низа $a_{n}$ реалних бројева је нека тачка $a\in \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ ако за сваку околину $U$ тачке $a$ постоји природан број $n_{0}$, тако да $a_{n}\in U$ за све бројеве $n>n_{0}$, тј. тако да почев од неког, сви чланови низа припадају тој околини.

Низ дат периметрима правилних n-страних многоуглова који описују јединични круг има границу једнаку обиму круга, тј. $2\pi r.$ Одговарајући низ за уписане полигоне има исто ограничење.

n	n sin(1/n)
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

Како позитивни цео број $n$ постаје све већи и већи, вредност: $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ постаје произвољно близу $1.$ Може се рећи да је „ограничење низа $n\cdot \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$ једнако $1.$"

У математици, граница низа је вредност којој термини низа „теже“, а често се означава симболом $\lim$ (нпр. $\lim _{n\to \infty }a_{n}$). Ако таква граница постоји, низ се назива конвергентним. За низ који не конвергира каже се да је дивергентан. Каже се да је граница низа основни појам на коме се на крају заснива цела математичка анализа.

Границе се могу дефинисати у било ком метричком или тополошком простору, али се обично прво сусрећу у реалним бројевима.

Историја

Грчки филозоф Зенон из Елеје познат је по формулисању парадокса који укључују ограничавајуће процесе.

Леукип, Демокрит, Антифон, Евдокс и Архимед су развили методу исцрпљивања, која користи бесконачан низ апроксимација за одређивање површине или запремине. Архимед је успео да сабере оно што се данас назива геометријским редом.

Грегуар де Сен-Венсан је дао прву дефиницију лимита (терминуса) геометријског низа у свом делу Opus Geometricum (1647): „Крај прогресије је крај низа, до којег ниједна прогресија не може доћи, чак и ако она се наставља у бесконачност, али којој се она може приближити ближе од датог сегмента.“

Њутн се бавио серијама у својим радовима Анализа са бесконачним серијама (написано 1669, циркулисано у рукопису, објављено 1711.), Метода флуксија и бесконачних серија (написано 1671, објављено у енглеском преводу 1736, латински оригинал објављен много касније) и Tractatus de Quadratura Curvarum (написан 1693, објављен 1704. као додатак његовој Оптици). У последњем раду, Њутн разматра биномну експанзију (x + o)ⁿ, коју затим линеаризује узимајући границу како o тежи 0.

У 18. веку, математичари као што је Ојлер успели су да саберу неке дивергентне низове заустављајући се у правом тренутку; није их много занимало да ли граница постоји, све док се може израчунати. Крајем века, Лагранж је у својој Théorie des fonctions analytiques (1797) изнео мишљење да недостатак строгости онемогућава даљи развој рачуна. Гаус је у својој етиди хипергеометријских серија (1813) по први пут ригорозно истражио услове под којима је низ конвергирао до границе.

Модерну дефиницију границе (за било које ε постоји индекс N тако да ...) дали су Бернард Болцано (Der binomische Lehrsatz, Праг 1816, што је тада било мало примећено) и Карл Вајерштрас током 1870-их.

Дефиниција

$a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall U>0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow a_{n}\in U$.

Гранична вредност конвергентних низова

Поред опште дефиниције, гранична вредност за конвергентне низове, тј. за низове $a_{n}$ који теже неком $a$, где је $a$ коначан број, може се записати као:

$a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<\epsilon .$

Гранична вредност дивергентних низова

Поред опште дефиниције, гранична вредност за дивергентне низове, низове $a_{n}$ који теже $a=\pm \infty$, може се записати као:

$a=\lim _{n\to \infty }{a_{n}}\Leftrightarrow (\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )n>n_{0}\Rightarrow |a_{n}-a|<\epsilon .$

Кошијев низ

Главни чланак: Кошијев низ

Плаве тачкице приказују график Кошијевог низа (x_n), чија се вредност очитава на "y"-оси. И визуелно се може видети да низ конвергира својој граничној вредности кад се n све више и више повећава. У скупу реалних бројева сваки Кошијев низ је конвергентан.

Кошијев низ, назван по истакнутом француском математичару Огистену Кошију је низ реалних бројева (x_n) који је дефинисан на следећи начин:

$(\forall \epsilon >0)(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall m,n\in \mathbb {N} )(m,n>n_{0}\Rightarrow |x_{m}-x_{n}|<\epsilon )$.

Кошијев низ је уско повезан са појмом граничне вредности низа, јер сваки Кошијев низ конвергира. Ако знамо да је неки низ Кошијев, не морамо уопште да га познајемо нити којој ће граничној вредности да тежи, а унапред ћемо знати да има коначну граничну вредност.

Реални бројеви

Плавим тачкицама је приказан график конвергентног низа {a_n}. Може се и визуелно видети да низ тежи нули како n све више и више одмиче ка бесконачности.

У реалним бројевима, број $L$ је граница низа $(x_{n}),$ ако бројеви у низу постају све ближи $L$, а не било ком другом броју.

Примери

Види још: Списак лимита

• Ако је $x_{n}=c$ за константу c, онда $x_{n}\to c.$
• Ако је $x_{n}={\frac {1}{n}},$ онда $x_{n}\to 0.$
• Ако је $x_{n}=1/n$ кад је $n$ парно, и $x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$ кад је $n$ непарно, онда је $x_{n}\to 0.$ (Чињеница да је $x_{n+1}>x_{n}$ кад год је $n$ непарно је небитно.)
• За дати било који реални број, лако се може конструисати низ који конвергира том броју узимајући децималне апроксимације. На пример, низ $0,3,0,33,0,333,0,3333,\dots$, конвергира $1/3.$ Треба имати на уму да је децимална репрезентација $0.3333...$ граница претходног низа, дефинисана помоћу $$0.3333...:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {3}{10^{k}}}$$
• Проналажење границе низа није увек очигледно. Два примера су $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}$ (чија је граница број е) и аритметичко-геометријска средина. Сендвич теорема је често корисна у успостављању таквих граница.

Формална дефиниција

Вредност $x$ се назива лимит низа $(x_{n})$ ако важи следећи услов:

• За сваки реалан број $\varepsilon >0,$ постоји природан број $N$ такав да је за сваки природан број $n\geq N,$ постоји $|x_{n}-x|<\varepsilon .$

Другим речима, за сваку меру блискости $\varepsilon ,$ услови секвенце су на крају толико близу границе. За секвенцу $(x_{n})$ се каже да конвергира или тежи лимиту $x,$ написано $x_{n}\to x$ или $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x.$

Симболично, ово је: $$\forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n}-x|<\varepsilon \right)\right)\right).$$

Ако низ $(x_{n})$ конвергира до неке границе $x,$ онда је конвергентан и $x$ је једини лимит; иначе $(x_{n})$ је дивергентан. Низ који има нулу као границу се понекад назива нултим низом.

Илустрација

• 
  Пример низа који конвергира до границе $a.$
• 
  Без обзира које $\varepsilon >0$ се узмве, постоји индекс $N_{0},$ такав да низ у потпуности лежи унутар епсилон цеви $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).$
• 
  Такође постоји за мањи индекс $\varepsilon _{1}>0$ индекса $N_{1},$ тако да је низ након њега унутар епсилон цеви $(a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1}).$
• 
  За свако $\varepsilon >0$ постоји само коначно много чланова низа изван епсилон цеви.

Особине (реални бројеви)

Границе низова се добро понашају у односу на уобичајене аритметичке операције. Ако $a_{n}\to a$ и $b_{n}\to b,$ онда $a_{n}+b_{n}\to a+b,$ $a_{n}\cdot b_{n}\to ab$ и, ако ни b ни било које $b_{n}$ није нула, ${\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to {\frac {a}{b}}.$

За било коју континуирану функцију f, ако је $x_{n}\to x$ онда је $f(x_{n})\to f(x).$ Заправо, свака функција f са реалном вредношћу је континуирана ако и само ако чува границе низова (иако то није нужно тачно када се користе општији појмови континуитета).

Нека друга важна својства граница реалних низова укључују следеће (под условом да у свакој једначини испод границе са десне стране постоје).

• Граница секвенце је јединствена.
• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}$
• $\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}$
• $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=(\lim _{n\to \infty }a_{n})\cdot (\lim _{n\to \infty }b_{n})$
• $\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}$ provided $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$
• $\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left[\lim _{n\to \infty }a_{n}\right]^{p}$
• Ако је $a_{n}\leq b_{n}$ за свако $n$ веће од неког $N,$ онда је $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}.$
• (Сендвич теорема) Ако је $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ за свако $n>N,$ и $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L,$ онда је $\lim _{n\to \infty }c_{n}=L.$
• Ако је низ ограничен и монотон, онда је конвергентан.
• Низ је конвергентан ако и само ако је сваки подниз конвергентан.
• Ако сваки подниз низа има свој подниз који конвергира у исту тачку, онда оригинални низ конвергира у ту тачку.

Ова својства се у великој мери користе за доказивање ограничења, без потребе да се директно користи гломазна формална дефиниција. На пример, једном када се докаже да је $1/n\to 0,$ постаје лако показати - користећи својства изнад - да је ${\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}$ (претпостављајући да $b\neq 0$).

Бесконачни лимити

Каже се да низ $(x_{n})$ тежи бесконачности, написано $x_{n}\to \infty$ или $\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ,$ ако за свако K постоји N такво да за свако $n\geq N,$ $x_{n}>K$; то јест, чланови низа су на крају већи од било ког фиксног K.

Слично, $x_{n}\to -\infty$ ако за свако K постоји N такво да је за свако $n\geq N,$ $x_{n}<K.$ Ако низ тежи бесконачности или минус бесконачности, онда је дивергентан. Међутим, дивергентни низ не мора тежити плус или минус бесконачности, а низ $x_{n}=(-1)^{n}$ даје један такав пример.

Види још

• Гранична вредност функције
• Низови
• Конвергентност

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.
• Courant, Richard (1961). "Differential and Integral Calculus Volume I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
• Frank Morley and James Harkness (1893). A treatise on the theory of functions. New York: Macmillan. 
• Kirk, G. S., J. E. Raven, M. Schofield (1984) The Presocratic Philosophers: A Critical History with a Selection of Texts, 2nd ed. Cambridge University Press. ISBN 0-521-27455-9.
• Huggett, Nick (2010). „Zeno's Paradoxes”. Stanford Encyclopedia of Philosophy. Приступљено 2011-03-07. 
• Plato (1926) Plato: Cratylus. Parmenides. Greater Hippias. Lesser Hippias, H. N. Fowler (Translator), Loeb Classical Library. ISBN 0-674-99185-0.
• Sainsbury, R.M. (2003) Paradoxes, 2nd ed. Cambridge University Press. ISBN 0-521-48347-6.
• Skyrms, Brian (1983). „Zeno's Paradox of Measure”. Ур.: Cohen, R. S.; Laudan, L. Physics, Philosphy, and Psychoanalysis. Dordrecht: Reidel. стр. 223—254. ISBN 90-277-1533-5. 
• Palmer, John (2008). „Zeno of Elea”. Stanford Encyclopedia of Philosophy. 
• Grime, James. „Zeno's Paradox”. Numberphile. Brady Haran. Архивирано из оригинала 2018-10-03. г. Приступљено 2013-04-13. 
• Paul A. Fishwick, ур. (1. 6. 2007). „15.6 "Pathological Behavior Classes" in chapter 15 "Hybrid Dynamic Systems: Modeling and Execution" by Pieter J. Mosterman, The Mathworks, Inc.”. Handbook of dynamic system modeling. Chapman & Hall/CRC Computer and Information Science (hardcover изд.). Boca Raton, Florida, USA: CRC Press. стр. 15—22 to 15—23. ISBN 978-1-58488-565-8. Приступљено 2010-03-05. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Lamport, Leslie (2002). Specifying Systems (PDF). Microsoft Research. Addison-Wesley. стр. 128. ISBN 0-321-14306-X. Приступљено 2010-03-06. 
• Zhang, Jun; Johansson, Karl; Lygeros, John; Sastry, Shankar (2001). „Zeno hybrid systems” (PDF). International Journal for Robust and Nonlinear Control. 11 (5): 435. S2CID 2057416. doi:10.1002/rnc.592. Архивирано из оригинала (PDF) 11. 8. 2011. г. Приступљено 2010-02-28. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Franck, Cassez; Henzinger, Thomas; Raskin, Jean-Francois (2002). „A Comparison of Control Problems for Timed and Hybrid Systems”. Архивирано из оригинала 28. 5. 2008. г. Приступљено 2010-03-02. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Carroll, Lewis (1895-04-01). „What the Tortoise Said to Achilles”. Mind (на језику: енглески). IV (14): 278—280. ISSN 0026-4423. doi:10.1093/mind/IV.14.278. 

Спољашње везе

• A history of the calculus, including limits