Околина (математика)

У топологији и сродним математичким областима, околина је један од основних појмова у тополошком простору. Интуитивно говорећи, околина тачке је скуп који садржи тачку у коме можемо да се померамо мало, а да не напустимо скуп.

Скуп $V$ у равни је околина тачке $p$ ако се мали диск око $p$ налази у $V.$

Правоугаоник није околина ниједног од својих углова.

Овај концепт је блиско повезан са концептима отворног скупа и унутрашњости.

Дефиниција

Нека је X тополошки простор, а p је тачка у X, околина тачке p је скуп V, који садржи отворен скуп U који садржи p,

$p\in U\subseteq V.$

Ваља имати у виду да околина V не мора и сама да буде отворен скуп. Ако је V отворен, онда се ради о отвореној околини. Неки аутори захтевају да околине буду отворене, па је важно да се води рачуна о конвенцијама које се користе.

Ако је S подксуп од X, околина од S је скуп V, који садржи отворен скуп U који садржи S. Следи да је скуп V околина скупа S, ако и само ако је околина свих тачака у S.

У метричком простору

Скуп $S$ у равни и униформна околина $V$ од $S.$

У метричком простору M = (X, d), скуп V је околина тачке p ако постоји отворена кугла са центром p и полупречником r,

$B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}$

која се садржи у V.

V се назива униформном околином скупа S ако постоји позитиван број r такав да за све елементе p из S,

$B_{r}(p)=\{x\in X\mid d(x,p)<r\}$

се налази у V.

За r>0, r-околина $S_{r}$ скупа S је скуп свих тачака у X које су на раздаљини мањој од r од S (или еквивалентно, $S_{r}$ је унија свих отворених кугли полупречника r са центром у тачки S).

Директна последица је да је r-околина униформна околина, и да је скуп униформна околина ако и само ако садржи r-околину за неку вредност r.

Примери

Ако је дат скуп реалних бројева, R са уобичајеном еуклидском метриком и подскуп V дефинисан као

$V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,{\frac {1}{n}}\right),$

тада је V околина за скуп N, природних бројева, али није униформна околина овог скупа.

Литература

• Kelley, John L. (1975). General topology. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387901256. 
• Bredon, Glen E. (1993). Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387979263. 
• Kaplansky, Irving (2001). Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. ISBN 0821826948.