Аркус тангенс

Аркус тангенс је функција инверзна функцији тангенса на интервалу њеног домена (-π/2,π/2). Користи се за одређивање величине угла када је позната вредност његовог тангенса. Може се дефинисати следећом формулом:

Аркус тангенс
Основне особине
Парност	непарна
Домен	(-∞,∞)
Кодомен	(-π/2,π/2)
Специфичне вредности
Нуле	0
Вредност у +∞	π/2
Вредност у -∞	-π/2
Специфичне особине
Асимптоте	y = ± π/2
Превоји	(0,0)
Улазак у нулу под углом	π/4

$\operatorname {arctg} \;x=\tan ^{-1}x={\frac {i}{2}}\left(\log(1-ix)-\log(ix+1)\right)$

Формуле

Следе неке од формула које се везују за аркус тангенс:

$\operatorname {arctg} \;x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcctg} \;x$ (правило комплементних углова)

$\operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} \;x\!$ (непарност ф-је)

$\operatorname {arctg} \;{\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} \;x=\operatorname {arcctg} \;x,\$ $x>0$

$\operatorname {arctg} \;{\frac {1}{x}}=-{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} \;x=-\pi +\operatorname {arcctg} \;x,\$ $x<0$

Преко формуле за половину угла се добија и:

$\operatorname {arctg} \;x=2\operatorname {arctg} \;{\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

Извод:

${\frac {d}{dx}}\operatorname {arctg} \;x{}={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Представљање у форми интеграла:

$\operatorname {arctg} \;x{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx$

Представљање у форми бесконачне суме:

${\begin{aligned}\operatorname {arctg} x&{}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |x|\leq 1\qquad x\neq i,-i\end{aligned}}$

Спољашње везе

• Функција arctg на wolfram.com

Тригонометријске и хиперболичне функције

Синус Косинус Тангенс Котангенс Секанс Косеканс Функција sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x) sec(x) cosec(x) Инверзна arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) arcsec(x) arccosec(x) Хиперболична sinh(x) cosh(x) tgh(x) ctgh(x) sech(x) cosech(x) Инв. хиперболична arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)