Инверзне хиперболичне функције

Инверзне хиперболичне функције су инверзи хиперболичних функција: sh x - синус хиперболични, ch x - косинус хиперболични, th x - тангенс хиперболични, cth - котангенс хиперболични. Називају се и ареа-фунције по латинској речи area - површина, јер представљају површину криволинијског троугла између темена хиперболе и исходишта координатног система (в. хиперболичне функције).

Funkcija artanh.

ареа-синус $\operatorname {arsh} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}}),\;-\infty <x<\infty ,$

ареа-косинус $\operatorname {arch} x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}),\;1<x<\infty ,$

ареа-тангенс $\operatorname {arth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}},\;-1<x<1,$

ареа-котангенс $\operatorname {arcth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}},\;x\in (-\infty ,-1)\cup (1,\infty ).$

Англосаксонске ознаке за хиперболични синус, косинус, тангенс и котангенс су: sinh, cosh, tanh, coth па се одговарајуће инверзне функције означавају arsinh, arcosh, artanh, arcoth. Због аналогија са тригонометријом, исте функције се понекад називају и аркус-функције, са суфиксом хиперболичне да би се разликовале од тригонометријских функција. Отуда скраћенице: arcsinh, arccosh, arctanh, arccoth. Ми их тада читамо аркус синус хиперболични, итд. Такође, инверзне функције означавају се уопште са индексом "-1", тако да имамо и следеће скраћенице: sinh^-1, cosh^-1, tanh^-1, coth^-1. Читали би их: синус хиперболични на минус прву, итд.

Изводи инверзиних хиперболичних функција су:

$(\operatorname {arsh} x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},$

$(\operatorname {arch} x)'={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},$

$(\operatorname {arth} x)'={\frac {1}{1-x^{2}}},$

$(\operatorname {arcth} x)'=-{\frac {1}{x^{2}-1}}.$

Инверзне хиперболичне функције се често јављају при интеграљењу рационалних функција и квадратних ирационалности.

У комплексној равни ове функције су вишезначне. Када се у њиховим формулама узму главне вредности логаритама добијају се једнозначне гране, тзв. главне вредности, које се пишу arsh z, arch z, arth z. Инверзне хиперболичне функције су везане с главним вредностима инверзних тригонометријских функција формулама:

$\operatorname {arsh} z={\frac {1}{i}}\arcsin iz,$

$\operatorname {arch} z=i\arccos z,$

$\operatorname {arth} z={\frac {1}{i}}\operatorname {arctg} iz,$

$\operatorname {arcth} z=i\operatorname {arctg} iz,\;i^{2}=-1.$

Види још

• Списак интеграла инверзних хиперболичних функција

Литература

• Gullberg, Jan (1997). Mathematics: From the Birth of Numbers. W.W. Norton. ISBN 978-0-393-04002-9. 
• Bronshtein, I.N.; Mühlig, Heiner; Musiol, Gerhard (2007). Handbook of Mathematics. Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-72121-5. 

Спољашње везе

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Inverse hyperbolic functions”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Inverse hyperbolic functions at MathWorld

Тригонометријске и хиперболичне функције

Синус Косинус Тангенс Котангенс Секанс Косеканс Функција sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x) sec(x) cosec(x) Инверзна arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) arcsec(x) arccosec(x) Хиперболична sinh(x) cosh(x) tgh(x) ctgh(x) sech(x) cosech(x) Инв. хиперболична arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)