Извод инверзне функције

У математици, инверз функције је функција која, на неки начин, "поништава" ефекат функције (види инверзна функција за формалну и детаљнију дефиницију). Инверзна функција функције се означава као . Изрази y = f(x) и x = f −1(y) су једнаки.

Правило:


Пример за произвољно :

Изводи ове две функције, под претпоставком да постоје, су реципрочни:

Ово је директна последица правила извода сложене функције, пошто је, по Лајбницовим ознакама:

а извод од по је 1.

Ако експлицитно запишемо зависност на и уврстимо тачку диференцијације користећи Лагранжову нотацију, формула за извод инверзне функције постаје:

Геометријски, функција и њен инверз имају графике који су пресликане рефлексије у огледалу, по линији y = x. Ова рефлексија заправо претвара нагиб тангенте сваке тачке у њену реципрочну вредност.

Ако претпоставимо да за функцију постоји инверзна функција, и да је њен извод не-нулти, инверз је увек диференцијабилан у и има вредност као из формуле изнад.

Примери

уреди
  •   (за позитивне вредности  ) има инверзну функцију  .
 
 

Међутим, у тачки x = 0 наилазимо на проблем. График квадратног корена ту има асимптоту и постаје вертикалан (што одговара хоризонталној тангенти функције квадрантног корена).

  •   (за реалне вредности  ) има инверзну функцију   (за позитивне вредности  )
 
 

Изводи вишег реда

уреди

Идентитет изнад се добија коришћењем правила извода сложене функције по x, за формулу x = f −1(f(x)) . Овај процес се може наставити и за изводе вишег реда. Диференцијација овог идентита два пута, по x даје:

 

или ако заменимо први извод из формуле изнад:

 

Исто тако, за трећи извод добијамо:

 

или искоршавајући формулу за други извод:

 

Ове формуле су генерализоване као Фа ди Брунове формуле.

Ове формуле можемо да напишемо и преко Лајбницових ознака. Ако су f и g међусобно инверзне функције, онда

 

Пример

уреди
  •   има инверзну функцију  . Коришћењем формуле за други извод инверзне функције добијамо:
 

тако да је

 ,

што се слаже са директним израчунавањем.

Види још

уреди