Izvod inverzne funkcije
U matematici, inverz funkcije je funkcija koja, na neki način, "poništava" efekat funkcije (vidi inverzna funkcija za formalnu i detaljniju definiciju). Inverzna funkcija funkcije se označava kao . Izrazi y = f(x) i x = f −1(y) su jednaki.
Izvodi ove dve funkcije, pod pretpostavkom da postoje, su recipročni:
Ovo je direktna posledica pravila izvoda složene funkcije, pošto je, po Lajbnicovim oznakama:
a izvod od po je 1.
Ako eksplicitno zapišemo zavisnost na i uvrstimo tačku diferencijacije koristeći Lagranžovu notaciju, formula za izvod inverzne funkcije postaje:
Geometrijski, funkcija i njen inverz imaju grafike koji su preslikane refleksije u ogledalu, po liniji y = x. Ova refleksija zapravo pretvara nagib tangente svake tačke u njenu recipročnu vrednost.
Ako pretpostavimo da za funkciju postoji inverzna funkcija, i da je njen izvod ne-nulti, inverz je uvek diferencijabilan u i ima vrednost kao iz formule iznad.
Primeri
uredi- (za pozitivne vrednosti ) ima inverznu funkciju .
Međutim, u tački x = 0 nailazimo na problem. Grafik kvadratnog korena tu ima asimptotu i postaje vertikalan (što odgovara horizontalnoj tangenti funkcije kvadrantnog korena).
- (za realne vrednosti ) ima inverznu funkciju (za pozitivne vrednosti )
Izvodi višeg reda
urediIdentitet iznad se dobija korišćenjem pravila izvoda složene funkcije po x, za formulu x = f −1(f(x)) . Ovaj proces se može nastaviti i za izvode višeg reda. Diferencijacija ovog identita dva puta, po x daje:
ili ako zamenimo prvi izvod iz formule iznad:
Isto tako, za treći izvod dobijamo:
ili iskoršavajući formulu za drugi izvod:
Ove formule su generalizovane kao Fa di Brunove formule.
Ove formule možemo da napišemo i preko Lajbnicovih oznaka. Ako su f i g međusobno inverzne funkcije, onda
Primer
uredi- ima inverznu funkciju . Korišćenjem formule za drugi izvod inverzne funkcije dobijamo:
tako da je
- ,
što se slaže sa direktnim izračunavanjem.