Извод инверзне функције

У математици, инверз функције $y=f(x)$ је функција која, на неки начин, "поништава" ефекат функције $f$ (види инверзна функција за формалну и детаљнију дефиницију). Инверзна функција функције $f$ се означава као $f^{-1}$. Изрази y = f(x) и x = f ⁻¹(y) су једнаки.

Правило:
${\color {CornflowerBlue}{f'}}(x)={\frac {1}{{\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x))}}$

Пример за произвољно $x_{0}\approx 5.8$:
${\color {CornflowerBlue}{f'}}(x_{0})={\frac {1}{4}}$
${\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x_{0}))=4~$

Изводи ове две функције, под претпоставком да постоје, су реципрочни:

${\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.$

Ово је директна последица правила извода сложене функције, пошто је, по Лајбницовим ознакама:

${\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}$

а извод од $x$ по $x$ је 1.

Ако експлицитно запишемо зависност $y$ на $x$ и уврстимо тачку диференцијације користећи Лагранжову нотацију, формула за извод инверзне функције постаје:

$\left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}}$

Геометријски, функција и њен инверз имају графике који су пресликане рефлексије у огледалу, по линији y = x. Ова рефлексија заправо претвара нагиб тангенте сваке тачке у њену реципрочну вредност.

Ако претпоставимо да за функцију $f$ постоји инверзна функција, и да је њен извод не-нулти, инверз је увек диференцијабилан у $x$ и има вредност као из формуле изнад.

Примери

• $\,y=x^{2}$ (за позитивне вредности $x$) има инверзну функцију $x={\sqrt {y}}$.

${\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}$

${\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.$

Међутим, у тачки x = 0 наилазимо на проблем. График квадратног корена ту има асимптоту и постаје вертикалан (што одговара хоризонталној тангенти функције квадрантног корена).

• $\,y=e^{x}$ (за реалне вредности $x$) има инверзну функцију $\,x=\ln {y}$ (за позитивне вредности $y$)

${\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}$

${\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot {\frac {1}{y}}={\frac {e^{x}}{e^{x}}}=1$

Изводи вишег реда

Идентитет изнад се добија коришћењем правила извода сложене функције по x, за формулу x = f ⁻¹(f(x)) . Овај процес се може наставити и за изводе вишег реда. Диференцијација овог идентита два пута, по x даје:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0$

или ако заменимо први извод из формуле изнад:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}.$

Исто тако, за трећи извод добијамо:

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}$

или искоршавајући формулу за други извод:

${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}$

Ове формуле су генерализоване као Фа ди Брунове формуле.

Ове формуле можемо да напишемо и преко Лајбницових ознака. Ако су f и g међусобно инверзне функције, онда

$g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}$

Пример

• $\,y=e^{x}$ има инверзну функцију $\,x=\ln y$. Коришћењем формуле за други извод инверзне функције добијамо:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};$

тако да је

${\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}$,

што се слаже са директним израчунавањем.

Види још

• Математичка анализа
• Инверзна функција
• Извод сложене функције