Анализа више променљивих

Анализа више променљивих представља проширење математичке анализе једне променљиве на анализу више променљивих: функције које се диференцирају и интеграле имају више уместо једне променљиве.^[1]

Мултиваријабилни рачун се може сматрати елементарним делом напредног рачуна. За напредни рачун, погледајте рачун о Еуклидском простору.^[2]^[3]^[4] Посебан случај рачуна у тродимензионалном простору често се назива векторски рачун.^[5]^[6]

Типичне операције

Лимеси и непрекидност

Проучавање лимеса^[7]^[8] и непрекидних функција у више димензија даје многе резултате који нису интуитивно јасни, и не јављају се код функција једне променљиве. Постоје на пример скаларне функције две променљиве које имају тачке унутар свог домена које, када им се прилази дуж било које произвољне праве дају одређени лимес, а када им се прилази дуж параболе дају други лимес. Функција $f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}$ тежи нули дуж сваке праве кроз координатни почетак. Међутим, када се координатном почетку прилази дуж параболе y = x², лимес је 0,5. Пошто различите путање до исте тачке дају различите вредности за лимес, лимес не постоји.

Да непрекидност у сваком аргументу није довољна за мултиваријантну непрекидност може се видети из следећег примера.^[9] Конкретно, за функцију реалних вредности, са два реално-вредносна параметра, $f(x,y)$ , непрекидност $f$ у $x$ за фиксно $y$ и непрекидност $f$ у $y$ за фиксно $x$ не подразумева непрекидност $f$ .

Размотримо

f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if}}\quad 0\leq y<x\leq 1\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if}}\quad 0\leq x<y\leq 1\\1-x&{\text{if}}\quad 0<x=y\\0&{\text{на свим другим местима}}.\end{cases}}

Лако се може проверити да је ова функција нула по дефиницији на граници и изван четвороугаоника $(0,1)\times (0,1)$ . Осим тога, функције дефинисане за константно $x$ и $y$ и $0\leq a\leq 1$ са

g_{a}(x)=f(x,a)\quad

и

\quad h_{a}(y)=f(a,y)\quad

су непрекидне. Специфично,

g_{0}(x)=f(x,0)=h_{0}(0,y)=f(0,y)=0

за свако

x

и

y.

Међутим, низ $f\left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right)$ (за природно $n$ ) конвергира у $\lim _{n\to \infty }f\left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right)=1$ , и стога функција није непрекидна у $(0,0)$ . Приступањем координатном почетку из правца који није паралелан $x$ - и $y$ -оси одсуство непрекидности постаје уочљиво.

Парцијално диференцирање

Парцијални извод уопштава појам извода на више димензије. Парцијални извод функције више променљивих је извод у односу на једну променљиву када се све остале променљиве држе као константе.^[10]^[11]

Парцијални изводи се могу комбиновати на згодне начине који дају сложеније изразе извода. У векторској анализи, дел оператор ( $\nabla$ ) се користи да дефинише појмове градијента, дивергенције и ротора у терминима парцијалних извода. Матрица парцијалних извода, Јакобијева матрица се може користити за представљање извода функција између два простора произвољних димензија. Извод се стога може посматрати као линеарна трансформација која варира од тачке до тачке у домену функције.

Диференцијалне једначине које садрже парцијалне изводе се називају парцијалним диференцијалним једначинама. Ове једначине су у општем случају теже за решавање од обичних диференцијалних једначина, које садрже изводе само у односу на једну променљиву.

Вишеструко интеграљење

Вишеструки интеграл проширује појам интеграла на функције више променљивих.^[12] Двоструки и троструки интеграли могу да се користе за рачунање површина и запремина области у равни и простору. Фубинијева теорема гарантује да се вишеструки интеграл може израчунати као поновљени једноструки интеграл.^[1]^‍:367ff

Површински интеграл и линијски интеграл се користе за интеграљење на многострукостима као што су површи и кривакриве.

Основна теорема анализе у више димензија

У анализи једне променљиве, основна теорема анализе успоставља везу између извода и интеграла. Веза између извода и интеграла у анализи више променљивих је дата преко чувених теорема о интегралима векторске анализе:^[1]^‍:543ff

У напреднијем проучавању анализе више променљивих се види да су ове четири теореме спедијални случајеви општије теореме, уопштене Стоксове теореме, која се примењује за интеграцију диференцијалних форми над многострукостима.^[13]

Примене

Технике анализе више променљивих се користе у проучавању многих објеката који су од значаја за физички свет. На пример,

	домен/ранг	применљиве технике
Криве	$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$	Дужина криве, линијски интеграли и курватуре.
Површи	$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}$	Површине површи, површински интеграли, флукс кроз површи и курватуре.
Поља скалара	$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$	Максимуми и минимуми, Лагранжови мултипликатори, изводи у правцу.
Векторска поља	$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$	Све операције векторске анализе укључујући градијент, дивергенцију, и ротор.

Анализа више променљивих се може применити за анализирање детерминистичких система који имају вишеструке степене слободе. Функције са независним променљивима које одговарају сваком од степена слободе се често користе за моделовање ових система, а анализа више променљивих даје апаратуру за карактеризовање динамике система.

Анализа више променљивих се користи у многим областима природних и друштвених наука за моделовање и проучавање система у више димензија, који испољавају детерминистичко понашање. Недетерминистички, стохастички системи се проучавају помоћу других грана математике, попут стохастичке анализе.^[14]^[15]

Референце

^ ^а ^б ^в Courant, Richard; John, Fritz (1999). Introduction to Calculus and Analysis Volume II/2. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-66570-0.
^ do Carmo, Manfredo P. (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-212589-5
^ Edwards, Charles Henry (1994) [1973], Advanced Calculus of Several Variables, Mineola, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-68336-2
^ Folland, Gerald, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd изд.)
^ Galbis, Antonio; Maestre, Manuel (2012). Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. стр. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.
^ Marsden, J. E. (1976). Vector Calculus. W. H. Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-0462-1.
^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th изд.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.
^ Aggarwal, M.L. (2021). „13. Limits and Derivatives”. Understanding ISC Mathematics Class XI. II. Industrial Area, Trilokpur Road, Kala Amb-173030, Distt. Simour (H.P.): Arya Publications (Avichal Publishing Company). стр. A-719. ISBN 978-81-7855-743-4.
^ Courant & John 1999, стр. 17–19
^ Miller, Jeff (n.d). „Earliest Uses of Symbols of Calculus”. Ур.: O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. Приступљено 2023-06-15.
^ Spivak, M. (1965). Calculus on Manifolds. New York: W. A. Benjamin. стр. 44. ISBN 9780805390216.
^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th изд.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.
^ Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds. New York: W. A. Benjamin, Inc. ISBN 9780805390216.
^ Fima C Klebaner, 2012, Introduction to Stochastic Calculus with Application (3rd Edition). World Scientific Publishing, ISBN 9781848168312
^ Szabados, T. S.; Székely, B. Z. (2008). „Stochastic Integration Based on Simple, Symmetric Random Walks”. Journal of Theoretical Probability. 22: 203—219. S2CID 14452279. arXiv:0712.3908  . doi:10.1007/s10959-007-0140-8.

Литература

Cartan, Henri (1971), Calcul Differentiel (на језику: француски), Hermann, ISBN 9780395120330
Hirsch, Morris (1994), Differential Topology (2nd изд.), Springer-Verlag
Hörmander, Lars (2015), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I: Distribution Theory and Fourier Analysis, Classics in Mathematics (2nd изд.), Springer, ISBN 9783642614972
Loomis, Lynn Harold; Sternberg, Shlomo (1968), Advanced Calculus, Addison-Wesley (revised 1990, Jones and Bartlett; reprinted 2014, World Scientific) [this text in particular discusses density]
O'Neill, Barrett (2006), Elementary Differential Geometry (revised 2nd изд.), Amsterdam: Elsevier/Academic Press, ISBN 0-12-088735-5
Rudin, Walter (1976) [1953], Principles of Mathematical Analysis (3rd изд.), New York: McGraw Hill, стр. 204—299, ISBN 978-0-07-054235-8
Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. San Francisco: Benjamin Cummings. ISBN 0-8053-9021-9.
Caparrini, Sandro (2002). „The Discovery of the Vector Representation of Moments and Angular Velocity”. Archive for History of Exact Sciences. 56 (2): 151—181. S2CID 120800550. doi:10.1007/s004070200001.
Crowe, Michael J. (1967). A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System (reprint изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-67910-5.
Schey, H. M. (2005). Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus. W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-92516-6.
Barry Spain (1965) Vector Analysis, 2nd edition, link from Internet Archive.
Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
Adams, Robert A. (2003). Calculus: A Complete Course (5th изд.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-79131-0.
Jain, R. K.; Iyengar, S. R. K. (2009). Advanced Engineering Mathematics (3rd изд.). Narosa Publishing House. ISBN 978-81-7319-730-7.
Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2nd изд.), Menlo Park: Addison-Wesley, LCCN 72011473
Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2 изд.), Addison–Wesley, ISBN 0-201-00288-4
Bartle, Robert (1967), The elements of real analysis, Wiley
Courant, Richard (1924), Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Springer Verlag
Hardy, G.H. (1921), A course in pure mathematics, Cambridge University Press
Hubbard, John H. (2015), Vector calculus, linear algebra, and differential forms: A unified approach (Fifth изд.), Matrix Editions
Page, Warren; Hersh, Reuben; Selden, Annie; et al., ур. (2002), „Media Highlights”, The College Mathematics, 33 (2): 147—154, JSTOR 2687124 .
Rudin, Walter (1964), Principles of mathematical analysis, McGraw-Hill
Sutherland, W. A. (1975), Introduction to Metric and Topological Spaces, Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-19-853161-3
Sherbert, Robert (2000), Introduction to real analysis, Wiley
Whittaker; Watson (1904), A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press
Felscher, Walter (2000), „Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta”, American Mathematical Monthly, 107 (9): 844—862, JSTOR 2695743, doi:10.2307/2695743
Grabiner, Judith V. (1983), „Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus”, American Mathematical Monthly, 90 (3): 185—194, JSTOR 2975545, doi:10.2307/2975545 , collected in Who Gave You the Epsilon? Архивирано на сајту Wayback Machine (4. октобар 2012), ISBN 978-0-88385-569-0
Sinkevich, G. I. (2017). „Historia epsylontyki”. Antiquitates Mathematicae. Cornell University. 10. arXiv:1502.06942  . doi:10.14708/am.v10i0.805.
Burton, David M. (1997), The History of Mathematics: An introduction (Third изд.), New York: McGraw–Hill, стр. 558—559, ISBN 978-0-07-009465-9
Miller, Jeff (1. 12. 2004), Earliest Uses of Symbols of Calculus, Приступљено 2008-12-18
Weisstein, Eric W. „Epsilon-Delta Definition”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-18.
Weisstein, Eric W. „Limit”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-18.

Спољашње везе

UC Berkeley video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2009, Professor Edward Frenkel
MIT video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2007
Multivariable Calculus: A free online textbook by George Cain and James Herod
Multivariable Calculus Online: A free online textbook by Jeff Knisley
Multivariable Calculus – A Very Quick Review Архивирано на сајту Wayback Machine (24. март 2012), Prof Blair Perot, University of Massachusetts Amherst
The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 2: Differential Calculus of Vector Fields
A survey of the improper use of ∇ in vector analysis (1994) Tai, Chen-To
Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of Willard Gibbs) by Edwin Bidwell Wilson, published 1902.

[CourantJohn1999-1] а ^б ^в Courant, Richard; John, Fritz (1999). Introduction to Calculus and Analysis Volume II/2. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-66570-0.

[2] Carmo, Manfredo P. (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-212589-5

[3] Edwards, Charles Henry (1994) [1973], Advanced Calculus of Several Variables, Mineola, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-68336-2

[4] Folland, Gerald, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd изд.)

[Galbis-2012-p12-5] Galbis, Antonio; Maestre, Manuel (2012). Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. стр. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.

[6] Marsden, J. E. (1976). Vector Calculus. W. H. Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-0462-1.

[7] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th изд.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.

[8] Aggarwal, M.L. (2021). „13. Limits and Derivatives”. Understanding ISC Mathematics Class XI. II. Industrial Area, Trilokpur Road, Kala Amb-173030, Distt. Simour (H.P.): Arya Publications (Avichal Publishing Company). стр. A-719. ISBN 978-81-7855-743-4.

[9] Courant & John 1999, стр. 17–19

[miller_earliest-10] Miller, Jeff (n.d). „Earliest Uses of Symbols of Calculus”. Ур.: O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. Приступљено 2023-06-15.

[11] Spivak, M. (1965). Calculus on Manifolds. New York: W. A. Benjamin. стр. 44. ISBN 9780805390216.

[Stewart-12] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th изд.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.

[13] Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds. New York: W. A. Benjamin, Inc. ISBN 9780805390216.

[14] Fima C Klebaner, 2012, Introduction to Stochastic Calculus with Application (3rd Edition). World Scientific Publishing, ISBN 9781848168312

[15] Szabados, T. S.; Székely, B. Z. (2008). „Stochastic Integration Based on Simple, Symmetric Random Walks”. Journal of Theoretical Probability. 22: 203—219. S2CID 14452279. arXiv:0712.3908  . doi:10.1007/s10959-007-0140-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]