Analiza više promenljivih

Analiza više promenljivih predstavlja proširenje matematičke analize jedne promenljive na analizu više promenljivih: funkcije koje se diferenciraju i integrale imaju više umesto jedne promenljive.^[1]

Multivarijabilni račun se može smatrati elementarnim delom naprednog računa. Za napredni račun, pogledajte račun o Euklidskom prostoru.^[2]^[3]^[4] Poseban slučaj računa u trodimenzionalnom prostoru često se naziva vektorski račun.^[5]^[6]

Tipične operacije

Limesi i neprekidnost

Proučavanje limesa^[7]^[8] i neprekidnih funkcija u više dimenzija daje mnoge rezultate koji nisu intuitivno jasni, i ne javljaju se kod funkcija jedne promenljive. Postoje na primer skalarne funkcije dve promenljive koje imaju tačke unutar svog domena koje, kada im se prilazi duž bilo koje proizvoljne prave daju određeni limes, a kada im se prilazi duž parabole daju drugi limes. Funkcija $f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}$ teži nuli duž svake prave kroz koordinatni početak. Međutim, kada se koordinatnom početku prilazi duž parabole y = x², limes je 0,5. Pošto različite putanje do iste tačke daju različite vrednosti za limes, limes ne postoji.

Da neprekidnost u svakom argumentu nije dovoljna za multivarijantnu neprekidnost može se videti iz sledećeg primera.^[9] Konkretno, za funkciju realnih vrednosti, sa dva realno-vrednosna parametra, $f(x,y)$ , neprekidnost $f$ u $x$ za fiksno $y$ i neprekidnost $f$ u $y$ za fiksno $x$ ne podrazumeva neprekidnost $f$ .

Razmotrimo

f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if}}\quad 0\leq y<x\leq 1\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if}}\quad 0\leq x<y\leq 1\\1-x&{\text{if}}\quad 0<x=y\\0&{\text{на свим другим местима}}.\end{cases}}

Lako se može proveriti da je ova funkcija nula po definiciji na granici i izvan četvorougaonika $(0,1)\times (0,1)$ . Osim toga, funkcije definisane za konstantno $x$ i $y$ i $0\leq a\leq 1$ sa

g_{a}(x)=f(x,a)\quad

i

\quad h_{a}(y)=f(a,y)\quad

su neprekidne. Specifično,

g_{0}(x)=f(x,0)=h_{0}(0,y)=f(0,y)=0

za svako

x

i

y.

Međutim, niz $f\left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right)$ (za prirodno $n$ ) konvergira u $\lim _{n\to \infty }f\left({\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right)=1$ , i stoga funkcija nije neprekidna u $(0,0)$ . Pristupanjem koordinatnom početku iz pravca koji nije paralelan $x$ - i $y$ -osi odsustvo neprekidnosti postaje uočljivo.

Parcijalno diferenciranje

Parcijalni izvod uopštava pojam izvoda na više dimenzije. Parcijalni izvod funkcije više promenljivih je izvod u odnosu na jednu promenljivu kada se sve ostale promenljive drže kao konstante.^[10]^[11]

Parcijalni izvodi se mogu kombinovati na zgodne načine koji daju složenije izraze izvoda. U vektorskoj analizi, del operator ( $\nabla$ ) se koristi da definiše pojmove gradijenta, divergencije i rotora u terminima parcijalnih izvoda. Matrica parcijalnih izvoda, Jakobijeva matrica se može koristiti za predstavljanje izvoda funkcija između dva prostora proizvoljnih dimenzija. Izvod se stoga može posmatrati kao linearna transformacija koja varira od tačke do tačke u domenu funkcije.

Diferencijalne jednačine koje sadrže parcijalne izvode se nazivaju parcijalnim diferencijalnim jednačinama. Ove jednačine su u opštem slučaju teže za rešavanje od običnih diferencijalnih jednačina, koje sadrže izvode samo u odnosu na jednu promenljivu.

Višestruko integraljenje

Višestruki integral proširuje pojam integrala na funkcije više promenljivih.^[12] Dvostruki i trostruki integrali mogu da se koriste za računanje površina i zapremina oblasti u ravni i prostoru. Fubinijeva teorema garantuje da se višestruki integral može izračunati kao ponovljeni jednostruki integral.^[1]^‍:367ff

Površinski integral i linijski integral se koriste za integraljenje na mnogostrukostima kao što su površi i krivakrive.

Osnovna teorema analize u više dimenzija

U analizi jedne promenljive, osnovna teorema analize uspostavlja vezu između izvoda i integrala. Veza između izvoda i integrala u analizi više promenljivih je data preko čuvenih teorema o integralima vektorske analize:^[1]^‍:543ff

U naprednijem proučavanju analize više promenljivih se vidi da su ove četiri teoreme spedijalni slučajevi opštije teoreme, uopštene Stoksove teoreme, koja se primenjuje za integraciju diferencijalnih formi nad mnogostrukostima.^[13]

Primene

Tehnike analize više promenljivih se koriste u proučavanju mnogih objekata koji su od značaja za fizički svet. Na primer,

	domen/rang	primenljive tehnike
Krive	$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$	Dužina krive, linijski integrali i kurvature.
Površi	$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}$	Površine površi, površinski integrali, fluks kroz površi i kurvature.
Polja skalara	$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$	Maksimumi i minimumi, Lagranžovi multiplikatori, izvodi u pravcu.
Vektorska polja	$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$	Sve operacije vektorske analize uključujući gradijent, divergenciju, i rotor.

Analiza više promenljivih se može primeniti za analiziranje determinističkih sistema koji imaju višestruke stepene slobode. Funkcije sa nezavisnim promenljivima koje odgovaraju svakom od stepena slobode se često koriste za modelovanje ovih sistema, a analiza više promenljivih daje aparaturu za karakterizovanje dinamike sistema.

Analiza više promenljivih se koristi u mnogim oblastima prirodnih i društvenih nauka za modelovanje i proučavanje sistema u više dimenzija, koji ispoljavaju determinističko ponašanje. Nedeterministički, stohastički sistemi se proučavaju pomoću drugih grana matematike, poput stohastičke analize.^[14]^[15]

Reference

^ ^a ^b ^v Courant, Richard; John, Fritz (1999). Introduction to Calculus and Analysis Volume II/2. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-66570-0.
^ do Carmo, Manfredo P. (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-212589-5
^ Edwards, Charles Henry (1994) [1973], Advanced Calculus of Several Variables, Mineola, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-68336-2
^ Folland, Gerald, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd izd.)
^ Galbis, Antonio; Maestre, Manuel (2012). Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. str. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.
^ Marsden, J. E. (1976). Vector Calculus. W. H. Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-0462-1.
^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th izd.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.
^ Aggarwal, M.L. (2021). „13. Limits and Derivatives”. Understanding ISC Mathematics Class XI. II. Industrial Area, Trilokpur Road, Kala Amb-173030, Distt. Simour (H.P.): Arya Publications (Avichal Publishing Company). str. A-719. ISBN 978-81-7855-743-4.
^ Courant & John 1999, str. 17–19
^ Miller, Jeff (n.d). „Earliest Uses of Symbols of Calculus”. Ur.: O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. Pristupljeno 2023-06-15.
^ Spivak, M. (1965). Calculus on Manifolds. New York: W. A. Benjamin. str. 44. ISBN 9780805390216.
^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th izd.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.
^ Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds. New York: W. A. Benjamin, Inc. ISBN 9780805390216.
^ Fima C Klebaner, 2012, Introduction to Stochastic Calculus with Application (3rd Edition). World Scientific Publishing, ISBN 9781848168312
^ Szabados, T. S.; Székely, B. Z. (2008). „Stochastic Integration Based on Simple, Symmetric Random Walks”. Journal of Theoretical Probability. 22: 203—219. S2CID 14452279. arXiv:0712.3908  . doi:10.1007/s10959-007-0140-8.

Literatura

Cartan, Henri (1971), Calcul Differentiel (na jeziku: francuski), Hermann, ISBN 9780395120330
Hirsch, Morris (1994), Differential Topology (2nd izd.), Springer-Verlag
Hörmander, Lars (2015), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I: Distribution Theory and Fourier Analysis, Classics in Mathematics (2nd izd.), Springer, ISBN 9783642614972
Loomis, Lynn Harold; Sternberg, Shlomo (1968), Advanced Calculus, Addison-Wesley (revised 1990, Jones and Bartlett; reprinted 2014, World Scientific) [this text in particular discusses density]
O'Neill, Barrett (2006), Elementary Differential Geometry (revised 2nd izd.), Amsterdam: Elsevier/Academic Press, ISBN 0-12-088735-5
Rudin, Walter (1976) [1953], Principles of Mathematical Analysis (3rd izd.), New York: McGraw Hill, str. 204—299, ISBN 978-0-07-054235-8
Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus. San Francisco: Benjamin Cummings. ISBN 0-8053-9021-9.
Caparrini, Sandro (2002). „The Discovery of the Vector Representation of Moments and Angular Velocity”. Archive for History of Exact Sciences. 56 (2): 151—181. S2CID 120800550. doi:10.1007/s004070200001.
Crowe, Michael J. (1967). A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System (reprint izd.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-67910-5.
Schey, H. M. (2005). Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus. W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-92516-6.
Barry Spain (1965) Vector Analysis, 2nd edition, link from Internet Archive.
Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
Adams, Robert A. (2003). Calculus: A Complete Course (5th izd.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-79131-0.
Jain, R. K.; Iyengar, S. R. K. (2009). Advanced Engineering Mathematics (3rd izd.). Narosa Publishing House. ISBN 978-81-7319-730-7.
Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2nd izd.), Menlo Park: Addison-Wesley, LCCN 72011473
Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2 izd.), Addison–Wesley, ISBN 0-201-00288-4
Bartle, Robert (1967), The elements of real analysis, Wiley
Courant, Richard (1924), Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, Springer Verlag
Hardy, G.H. (1921), A course in pure mathematics, Cambridge University Press
Hubbard, John H. (2015), Vector calculus, linear algebra, and differential forms: A unified approach (Fifth izd.), Matrix Editions
Page, Warren; Hersh, Reuben; Selden, Annie; et al., ur. (2002), „Media Highlights”, The College Mathematics, 33 (2): 147—154, JSTOR 2687124 .
Rudin, Walter (1964), Principles of mathematical analysis, McGraw-Hill
Sutherland, W. A. (1975), Introduction to Metric and Topological Spaces, Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-19-853161-3
Sherbert, Robert (2000), Introduction to real analysis, Wiley
Whittaker; Watson (1904), A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press
Felscher, Walter (2000), „Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta”, American Mathematical Monthly, 107 (9): 844—862, JSTOR 2695743, doi:10.2307/2695743
Grabiner, Judith V. (1983), „Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus”, American Mathematical Monthly, 90 (3): 185—194, JSTOR 2975545, doi:10.2307/2975545 , collected in Who Gave You the Epsilon? Arhivirano na sajtu Wayback Machine (4. октобар 2012), ISBN 978-0-88385-569-0
Sinkevich, G. I. (2017). „Historia epsylontyki”. Antiquitates Mathematicae. Cornell University. 10. arXiv:1502.06942  . doi:10.14708/am.v10i0.805.
Burton, David M. (1997), The History of Mathematics: An introduction (Third izd.), New York: McGraw–Hill, str. 558—559, ISBN 978-0-07-009465-9
Miller, Jeff (1. 12. 2004), Earliest Uses of Symbols of Calculus, Pristupljeno 2008-12-18 CS1 održavanje: Format datuma (veza)
Weisstein, Eric W. „Epsilon-Delta Definition”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-18.
Weisstein, Eric W. „Limit”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-18.

Spoljašnje veze

UC Berkeley video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2009, Professor Edward Frenkel
MIT video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2007
Multivariable Calculus: A free online textbook by George Cain and James Herod
Multivariable Calculus Online: A free online textbook by Jeff Knisley
Multivariable Calculus – A Very Quick Review Архивирано на сајту Wayback Machine (24. март 2012), Prof Blair Perot, University of Massachusetts Amherst
The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 2: Differential Calculus of Vector Fields
A survey of the improper use of ∇ in vector analysis (1994) Tai, Chen-To
Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of Willard Gibbs) by Edwin Bidwell Wilson, published 1902.

[CourantJohn1999-1] v Courant, Richard; John, Fritz (1999). Introduction to Calculus and Analysis Volume II/2. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-66570-0.

[2] Carmo, Manfredo P. (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-212589-5

[3] Edwards, Charles Henry (1994) [1973], Advanced Calculus of Several Variables, Mineola, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-68336-2

[4] Folland, Gerald, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd izd.)

[Galbis-2012-p12-5] Galbis, Antonio; Maestre, Manuel (2012). Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. str. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.

[6] Marsden, J. E. (1976). Vector Calculus. W. H. Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-0462-1.

[7] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th izd.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.

[8] Aggarwal, M.L. (2021). „13. Limits and Derivatives”. Understanding ISC Mathematics Class XI. II. Industrial Area, Trilokpur Road, Kala Amb-173030, Distt. Simour (H.P.): Arya Publications (Avichal Publishing Company). str. A-719. ISBN 978-81-7855-743-4.

[9] Courant & John 1999, str. 17–19

[miller_earliest-10] Miller, Jeff (n.d). „Earliest Uses of Symbols of Calculus”. Ur.: O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. Pristupljeno 2023-06-15.

[11] Spivak, M. (1965). Calculus on Manifolds. New York: W. A. Benjamin. str. 44. ISBN 9780805390216.

[Stewart-12] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th izd.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.

[13] Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds. New York: W. A. Benjamin, Inc. ISBN 9780805390216.

[14] Fima C Klebaner, 2012, Introduction to Stochastic Calculus with Application (3rd Edition). World Scientific Publishing, ISBN 9781848168312

[15] Szabados, T. S.; Székely, B. Z. (2008). „Stochastic Integration Based on Simple, Symmetric Random Walks”. Journal of Theoretical Probability. 22: 203—219. S2CID 14452279. arXiv:0712.3908  . doi:10.1007/s10959-007-0140-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]