Векторска анализа

Векторска анализа је грана математике која проучава диференцијални и интегрални рачун над векторским пољима, primarily in 3-dimensional Euclidean space $\mathbb {R} ^{3}.$ The term "vector calculus" is sometimes used as a synonym for the broader subject of multivariable calculus, which spans vector calculus as well as partial differentiation and multiple integration.

Највећу примену у математици налази у диференцијалној геометрији и парцијалним диференцијалним једначинама, а од осталих грана науке, највише се користи у физици, посебно у електродинамици, механици флуида, гравитацији и сл.

Основни објекти

Скаларна поља

Главни чланак: Скаларна поља

Скаларно поље придружује скаларну вредност свакој тачки у простору. Скалар је математички број који представља физичку величину. Примери скаларних поља у апликацијама укључују дистрибуцију температуре у простору, расподелу притиска у флуиду и квантна поља са спином нула (позната као скаларни бозони), као што је Хигсово поље. Ова поља су предмет теорије скаларног поља.

Векторска поља

Главни чланак: Векторско поље

Векторско поље је додељивање вектора свакој тачки у простору. Векторско поље у равни, на пример, може се визуализовати као колекција стрелица са датом величином и смером, свака везана за тачку у равни. Векторска поља се често користе за моделовање, на пример, брзине и правца флуида који се креће кроз простор, или јачине и смера неке силе, као што је магнетна или гравитациона сила, како се мења од тачке до тачке. Ово се може користити, на пример, за израчунавање рада обављеног дуж линије.

Вектори и псеувектори

У напреднијим третманима, даље се разликују псеудовекторска поља и псеудоскаларна поља, која су идентична векторским пољима и скаларним пољима, осим што мењају предзнак под мапом која мења оријентацију: на пример, ротор векторског поља је псеудовекторско поље, а ако се одражава векторско поље, ротор је усмерен у супротном смеру. Ова разлика је разјашњена и разрађена у геометријској алгебри, као што је описано у наставку.

Векторска алгебра

Алгебарске (недиференцијалне) операције у векторском рачуну називају се векторском алгебром, дефинишу се за векторски простор и затим се глобално примењују на векторско поље. Основне алгебарске операције се састоје од:

Нотације у векторском рачуну

Операција	Нотација	Опис
Сабирање вектора	$\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}$	Сабирање два вектора, дајући вектор.
Множење вектора	$a\mathbf {v}$	Множење скалара и вектора, дајући вектор.
Скаларни производ вектора	$\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}$	Множење два вектора, дајући скалар.
Векторски производ	$\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}$	Множењем два вектора у $\mathbb {R} ^{3}$ добија се (псеудо)вектор.

Такође се често користе два трострука производа:

Троструки производи векторског рачуна

Операција	Нотација	Опис
Скаларни троструки производ	$\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	Скаларни производ векторског производа два вектора.
Векторски троструки производ	$\mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	Векторски производ векторског производа два вектора.

Оператори и теореме

Главни чланак: Идентитети векторског рачуна

Диференцијални оператори

Главни чланци: Градијент, Дивергенција, Ротор (математика) и Лапласов оператор

Векторски рачун проучава различите диференцијалне операторе дефинисане на скаларним или векторским пољима, који се обично изражавају у виду del оператора ($\nabla$), такође познатог као „набла”. Три основна векторска оператора су:

Диференцијални оператори у векторском рачуну

Операција	Нотација	Опис	Нотација аналогија	Домен/опсег
Градијент	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	Мери брзину и смер промене у скаларном пољу.	Скаларно множење	Пресликава скаларна поља у векторска поља.
Дивергенција	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$	Мери скалар извора или понора у датој тачки у векторском пољу.	Скаларни производ вектора	Пресликава векторска поља у скаларна поља.
Ротор	$\operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$	Мери тенденцију ротације око тачке у векторском пољу у $\mathbb {R} ^{3}$.	Векторски производ	Пресликава векторска поља у (псеудо)векторска поља.
f означава скаларно поље и F означава векторско поље

Такође се често користе два Лапласова оператора:

Лапласови оператори у векторском рачуну

Операција	Нотација	Опис	Домен/опсег
Лапласијан	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	Мери разлику између вредности скаларног поља са његовим просеком на инфинитезималним куглама.	Мапе између скаларних поља.
Векторски Лапласијан	$\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )$	Мери разлику између вредности векторског поља са његовим просеком на инфинитезималним куглама.	Мапе између векторских поља.
f означава скаларно поље и F означава векторско поље

Квантитет који се назива Јакобијанска матрица је користан за проучавање функција када су домен и опсег функције мултиваријабилни, као што је промена променљивих током интеграције.

Теореми интеграла

Три основна векторска оператора имају одговарајуће теореме које генерализују основну теорему рачуна на више димензије:

Интегралне теореме векторског рачуна

Теорема	Исказ	Опис
Теорема градијента	$\int _{L\subset \mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} \ =\ \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\ \ {\text{ for }}\ \ L=L[p\to q]$	Криволинијски интеграл градијента скаларног поља дуж криве L једнак је промени скаларног поља између крајњих тачака p и q криве.
Теорема дивергенције	$\underbrace {\int \!\cdots \!\int _{V\subset \mathbb {R} ^{n}}} _{n}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV\ =\ \underbrace {\oint \!\cdots \!\oint _{\partial V}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S}$	Интеграл дивергенције векторског поља над n-димензионалним чврстим телом V једнак је флуксу векторског поља кроз (n−1)-димензионалну затворену граничну површину тела.
Теорема ротоара (Келвин–Стоукс)	$\iint _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {\Sigma } \ =\ \oint _{\!\!\!\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$	Интеграл кривуље векторског поља преко површине Σ у $\mathbb {R} ^{3}$ једнак је кружењу векторског поља око затворене криве која ограничава површину.
$\varphi$ означава скаларно поље и F означава векторско поље

У две димензије, теореме о дивергенцији и увијању своде се на Гринову теорему:

Гринова теорема векторског рачуна

Теорема	Исказ	Опис
Гринова теорема	$\iint _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA\ =\ \oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)$	Интеграл дивергенције (или завоја) векторског поља преко неког региона A у $\mathbb {R} ^{2}$ једнак је флуксу (или циркулацији) векторског поља преко затворене криве која ограничава регион.
За дивергенцију, F = (M, −L). За ротор, F = (L, M, 0). L и M су функције од (x, y).

Литература

• Sandro Caparrini (2002) "The discovery of the vector representation of moments and angular velocity", Archive for History of Exact Sciences 56:151–81.
• Crowe, Michael J. (1967). A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System. Dover Publications; Reprint edition. ISBN 978-0-486-67910-5. 
• J.E. Marsden (1976). Vector Calculus. W. H. Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-0462-1. 
• H. M. Schey (2005). Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus. W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-92516-6. 
• Barry Spain (1965) Vector Analysis, 2nd edition, link from Internet Archive.
• Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
• Wilson, Edwin Bidwell; Gibbs, Josiah Willard (1901). Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics & Physics: Founded Upon the Lectures of J. W. Gibbs. Scribner. 
• Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. (1984). Calculus III. Berlin: Springer-Verlag. стр. 775. ISBN 0-387-90985-0. 
• Strang, Gilbert (1991). Calculus. Wellesley College. стр. 94. ISBN 0-9614088-2-0. 
• Bock, David; Hockett, Shirley O. (2005). How to Prepare for the AP Calculus. Hauppauge, NY: Barrons Educational Series. стр. 118. ISBN 0-7641-2382-3. 
• Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83378-7. 
• Gill, P. E.; Murray, W.; Wright, M. H. (1982). Practical Optimization. London: Academic Press. ISBN 0-12-283952-8. 
• Lee, Jon (2004). A First Course in Combinatorial Optimization. Cambridge University Press. ISBN 0-521-01012-8. 
• Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006). Numerical Optimization (2nd изд.). Berlin: Springer. ISBN 0-387-30303-0. 
• Snyman, J. A.; Wilke, D. N. (2018). Practical Mathematical Optimization : Basic Optimization Theory and Gradient-Based Algorithms (2nd изд.). Berlin: Springer. ISBN 978-3-319-77585-2. 
• Martins, Joaquim R. R. A.; Ning, Andrew (2021-10-01). Engineering Design Optimization (на језику: енглески). Cambridge University Press. ISBN 978-1108833417. 
• Du, D. Z.; Pardalos, P. M.; Wu, W. (2008). „History of Optimization”. Ур.: Floudas, C.; Pardalos, P. Encyclopedia of Optimization. Boston: Springer. стр. 1538—1542. 
• Battiti, Roberto; Mauro Brunato; Franco Mascia (2008). Reactive Search and Intelligent Optimization. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-09623-0. Архивирано из оригинала 2012-03-16. г. 
• Vereshchagin, A.F. (1989). „Modelling and control of motion of manipulation robots”. Soviet Journal of Computer and Systems Sciences. 27 (5): 29—38. 
• Haggag, S.; Desokey, F.; Ramadan, M. (2017). „A cosmological inflationary model using optimal control”. Gravitation and Cosmology. 23 (3): 236—239. Bibcode:2017GrCo...23..236H. ISSN 1995-0721. S2CID 125980981. doi:10.1134/S0202289317030069. 
• Dorfman, Robert (1969). „An Economic Interpretation of Optimal Control Theory”. American Economic Review. 59 (5): 817—831. JSTOR 1810679. 
• Sargent, Thomas J. (1987). „Search”. Dynamic Macroeconomic Theory. Harvard University Press. стр. 57—91. ISBN 9780674043084. 
• Rotemberg, Julio; Woodford, Michael (1997). „An Optimization-based Econometric Framework for the Evaluation of Monetary Policy” (PDF). NBER Macroeconomics Annual. 12: 297—346. JSTOR 3585236. doi:10.2307/3585236 . 

Спољашње везе

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Vector analysis”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Vector algebra”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Vector Calculus Video Lectures
• A survey of the improper use of ∇ in vector analysis
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Vector Analysis