Симпсоново правило

Симпсоново правило названо тако по Томасу Симпсону је метода из нумеричке анализе којом приближно израчунавамо одређен интеграл неке функције f(x), тј. интересује нас апроксимација $\int _{a}^{b}f(x)dx$.

Функцију f(x) (плава) апроксимирамо уз помоћ квадратне функције P(x) (црвена).

Идеја

Симпсонова формула (или правило) је у ствари део Њутн-Коутс формула. Функцију прво апроксимирамо уз помоћ Лагранжових полинома другог степена, а после уместо да израчунамо интеграл функције $f(x)$, израчунавамо интеграл добијеног полинома:

$f(x)\approx P(x)=\sum _{i=0}^{n=2}l_{i}(x)\cdot f(x_{i})$, притом

$l_{i}(x)=\prod _{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}$

Означимо почетну тачку интеграла $a=x_{0}$, крајњу $b=x_{2}$, а тачку у средини $m=x_{1}$ (обратити пажњу на скицу са стране) и добићемо:

$P(x)=f(a){\frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}\approx f(x)$

Овом приликом није приказано како се долази до коначне формуле; рачун није тежак и састоји се од примене једноставних правила за интеграле (на пример, примена интеграла на суму):

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}P(x)\,dx={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]$

Када се жели апроксимирати интеграл у интервалу од $a$ до $b$ тада ће за то бити неопходне три тачке дате функције.

Грешка у датом интервалу је:

$E_{S}=-{\frac {(b-a)^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi )$, где је $\xi \in [a,b]$.

Уколико желимо да нађемо највећу могућу грешку односно њену границу, довољно је максимирати четврти извод функције за $\xi$:

$\left|E_{S}\right|\leq {\frac {(b-a)^{5}}{90}}\left|\max _{a\leq \xi \leq b}f^{(4)}(\xi )\right|$

Обзиром да грешка зависи од размака између тачака којима се врши апроксимација, а ако се означи тај размак са $h={\frac {b-a}{2}}$, може се рећи, користећи се O-нотацијом да се грешка налази $E_{S}={\mathcal {O}}(h^{5})$.

Сложено Симпсоново правило

Уколико смо незадовољни апроксимацијом, један од начина за побољшање је да интервал поделимо на више делова (мањих интервала) те да на сваком појединачно применимо Симпсоново правило и на крају их саберемо.

Означимо број тачака са $n$, а размак између њих са $h={\frac {b-a}{n}}$ и добићемо:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+2\sum _{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_{n}){\bigg ]}$,

што такође можемо написати као

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+...+4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\bigg ]}$

или као производ вектора ($f=(f(x_{0}),f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})$ ):

$f\cdot (1,4,2,4,2,\dots ,2,4,1)^{T}$.

Грешка за сложено Симпсоново правило је:

$E_{S}=-{\frac {h^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi )$, $\xi \in [a,b]$

или када желимо да јој нађемо границу:

$\left|E_{S}\right|\leq {\frac {h^{4}}{180}}(b-a)\left|\max _{a\leq \xi \leq b}f^{(4)}(\xi )\right|$

Такође, као што видимо, формулу за Симпсоново правило можемо извести и из комбинације трапезоидног правила и правила правоугаоника ($Q_{S}(f)$ означава апроксимацију интеграла функције $f$ између датих $a$ и $b$, $Q_{T}(f)$ то исто за трапезоидно правило, а $Q_{R}(f)$ за правило правоугаоника):

$Q(f)={1 \over 3}(Q_{S}(f)+2Q_{T}(f))$

Адаптивно Симпсоново правило

У пракси се понекад сусрећемо са ситуацијама када је нека функција у одређеним областима „досадна“ и чије интеграле можемо да израчунамо врло лако са мало тачака (када је функција релативно „испеглана"), док је у одређеним областима врло променљива и ту нам за добру апроксимацију треба много више тачака.

Да бисмо то постигли, користићемо се тактиком "подели па владај":

1. Израчунај средишну тачку датог интервала $[a,b]$: $m={\frac {b-a}{2}}$
2. Израчунај апроксимацију интеграла за $[a,b]$ користећи се Симпсоновим правилом (назовимо је $S_{[a,b]}$
3. Израчунај апроксимације за подељен интервал (означимо је $S_{[a,m]}$ и $S_{[m,b]}$) уз помоћ обичног Симпсоновог правила.
4. Уколико смо задовољни разликом $S_{[a,b]}-(S_{[a,m]}+S_{[m,b]})$, резултат је $S_{[a,m]}+S_{[m,b]}$.
5. Уколико нисмо, наставимо даље рекурзивно примењујући адаптивно Симпсоново правило на интервале $[a,m]$ и $[m,b]$, а резултат је њихова сума.

Грешка адаптивног Симпсоновог правила

Обележимо резултат адаптивног Симпсоновог правила примењеног на интервалу $[a,b]\,$ за функцију $f\,$ са $S(a,b)\,$, a размак између двеју тачака са $h={\frac {b-a}{2}}\,$ онда важи:

За $h\,$: $\int _{a}^{b}f(x)dx=S(a,b)-{\frac {h^{5}}{90}}\cdot f^{(4)}(\xi )-{\mathcal {O}}(h^{7})$

За ${\frac {h}{2}}$: $\int _{a}^{b}f(x)dx=S\left(a,{\frac {a+b}{2}}\right)+S\left({\frac {a+b}{2}},b\right)-\underbrace {2\cdot {\frac {(h/2)^{5}}{90}}} _{-{\frac {1}{16}}{\frac {h^{5}}{90}}}\cdot f^{(4)}({\tilde {\xi }})-{\mathcal {O}}(h^{7})$

Из тога даље закључујемо, под претпоставком $f^{(4)}(\xi )=f^{(4)}({\tilde {\xi }})$:

$S\left(a,{\frac {a+b}{2}}\right)+S\left({\frac {a+b}{2}},b\right)-{\frac {1}{16}}\left({\frac {h^{5}}{90}}\right)f^{(4)}(\xi )\approx S(a,b)-{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi )$

$\Rightarrow {\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi )\approx {\frac {16}{15}}\left(S(a,b)-S\left(a,{\frac {a+b}{2}}\right)-S\left({\frac {a+b}{2}},b\right)\right)$

Тако можемо даље доћи до (разумно) приближне вредности грешке:

$\left|\int _{a}^{b}f(x)dx-S\left(a,{\frac {a+b}{2}}\right)-S\left({\frac {a+b}{2}},b\right)\right|\approx {\frac {1}{15}}\left|S(a,b)-S\left(a,{\frac {a+b}{2}}\right)-S\left({\frac {a+b}{2}},b\right)\right|$

Ова приближна грешка је врло згодна као критеријум за крај рекурзије.

Спољашње везе

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Simpson formula”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Weisstein, Eric W. „Simpson's Rule”. MathWorld. 
• Application of Simpson's Rule — Earthwork Excavation (Note: The formula described in this page is correct but there are errors in the calculation which should give a result of 569m3 and not 623m3 as stated)
• Simpson's 1/3rd rule of integration — Notes, PPT, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple at Numerical Methods for STEM undergraduate
• A detailed description of a computer implementation is described by Dorai Sitaram in Teach Yourself Scheme in Fixnum Days, Appendix C