Simpsonovo pravilo nazvano tako po Tomasu Simpsonu je metoda iz numeričke analize kojom približno izračunavamo određen integral neke funkcije f(x), tj. interesuje nas aproksimacija .
Simpsonova formula (ili pravilo) je u stvari deo Njutn-Kouts formula. Funkciju prvo aproksimiramo uz pomoć Lagranžovih polinoma drugog stepena, a posle umesto da izračunamo integral funkcije , izračunavamo integral dobijenog polinoma:
, pritom
Označimo početnu tačku integrala , krajnju , a tačku u sredini (obratiti pažnju na skicu sa strane) i dobićemo:
Ovom prilikom nije prikazano kako se dolazi do konačne formule; račun nije težak i sastoji se od primene jednostavnih pravila za integrale (na primer, primena integrala na sumu):
Kada se želi aproksimirati integral u intervalu od do tada će za to biti neophodne tri tačke date funkcije.
Greška u datom intervalu je:
, gde je .
Ukoliko želimo da nađemo najveću moguću grešku odnosno njenu granicu, dovoljno je maksimirati četvrti izvod funkcije za :
Obzirom da greška zavisi od razmaka između tačaka kojima se vrši aproksimacija, a ako se označi taj razmak sa , može se reći, koristeći se O-notacijom da se greška nalazi .
Ukoliko smo nezadovoljni aproksimacijom, jedan od načina za poboljšanje je da interval podelimo na više delova (manjih intervala) te da na svakom pojedinačno primenimo Simpsonovo pravilo i na kraju ih saberemo.
Označimo broj tačaka sa , a razmak između njih sa i dobićemo:
,
što takođe možemo napisati kao
ili kao proizvod vektora ( ):
.
Greška za složeno Simpsonovo pravilo je:
,
ili kada želimo da joj nađemo granicu:
Takođe, kao što vidimo, formulu za Simpsonovo pravilo možemo izvesti i iz kombinacije trapezoidnog pravila i pravila pravougaonika ( označava aproksimaciju integrala funkcije između datih i , to isto za trapezoidno pravilo, a za pravilo pravougaonika):
U praksi se ponekad susrećemo sa situacijama kada je neka funkcija u određenim oblastima „dosadna“ i čije integrale možemo da izračunamo vrlo lako sa malo tačaka (kada je funkcija relativno „ispeglana"), dok je u određenim oblastima vrlo promenljiva i tu nam za dobru aproksimaciju treba mnogo više tačaka.
Da bismo to postigli, koristićemo se taktikom "podeli pa vladaj":
Izračunaj središnu tačku datog intervala :
Izračunaj aproksimaciju integrala za koristeći se Simpsonovim pravilom (nazovimo je
Izračunaj aproksimacije za podeljen interval (označimo je i ) uz pomoć običnog Simpsonovog pravila.
Ukoliko smo zadovoljni razlikom , rezultat je .
Ukoliko nismo, nastavimo dalje rekurzivno primenjujući adaptivno Simpsonovo pravilo na intervale i , a rezultat je njihova suma.