Uređeni par

Uređeni par predstavlja par elemenata bilo kojeg skupa, u kojem je bitan raspored, tj. u kome se razlikuju prvi i drugi element. Prvi element nazivamo „prvom koordinatom“, a drugi „drugom koordinatom“. Uobičajena notacija za uređeni par sa prvom koordinatom $a$ i drugom koordinatom $b$ je $(a,b)$.

Matematička definicija

U matematici, u teoriji skupova, uređeni par elemenata $a$ i $b$ predstavlja skup $\{\{a\},\{a,b\}\}$ (definiciju je predložio poljski matematičar Kuratowski).

Osobine

Neka su $(a_{1},b_{1})$ i $(a_{2},b_{2})$ dva uređena para. Ova dva uređena para su jednaka ako i samo ako je:

$a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}$

Dekartov proizvod

Na osnovu definicije uređenog para se definiše i Dekartov proizvod skupova, na sljedeći način:

$AxB=\{(a,b)|a\in A\land b\in B\}$

Sa ovakvom definicijom, potrebno je odrediti koji skupovi mogu biti Dekartovi proizvodi odgovarajućih skupova. Naime, ako $a\in A$, onda skup koji sadrži $a$ je podskup od skupa $A$, tj. $\{a\}\subseteq A$, pa pripada skupu svih podskupova od $A$, tj. $\{a\}\in {\mathcal {P}}(A)$, a ovaj je podskup od ${\mathcal {P}}(A\cup B)$.

Na sličan način, ako $a$ i $b$ pripadaju redom $A$ i $B$, onda skup od $a$ i $b$ pripada uniji skupova $A$ i $B$, tj. $\{a,b\}\subseteq A\cup B$, odakle ponovo slijedi da $\{a,b\}\in {\mathcal {P}}(A\cup B)$.

Dakle, ako i skup $\{a\}$ i skup $\{a,b\}$ pripadaju skupu svih podskupova unije $A$ i $B$, tj. ako ${a},{a,b}\in {\mathcal {P}}(A\cup B)$, onda i skup koji njih sadrži, $\{\{a\},\{a,b\}\}$ pripada ${\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))$, pa definicija Dekartovog proizvoda na osnovu uređenih parova glasi:

$AxB=\{x\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A\cup B))|\exists a\exists b(a\in A\land b\in B\land x=(a,b))\}$

Uređena n-torka

Po definiciji, uređena trojka $(a,b,c)$ je isto što i uređeni par $((a,b),c)$. Na isti način se definiše i uređena četvorka ($(a,b,c,d)=((a,b,c),d))=(((a,b),c),d)$) itd.

Označavanje

Označavanje sa otvorenim zagradama, npr. $(a,b)$, može da stvori zabunu, jer se ista notacija koristi za otvoreni interval na realnoj brojevnoj pravoj. Alternativna notacija koja se kod nas retko koristi je $\langle a,b\rangle$.