Inverz (matematika)

U matematici, pojam inverznog elementa predstavlja uopštenje pojmova negacije, u odnosu na sabiranje, i recipročnosti, u odnosu na množenje. Intuitivno, inverz može da poništi efekat kombinacije nekog elementa sa drugim datim elementom.

Formalna definicija

Neka je $S$ skup sa binarnom operacijom $*$. Ako je $e$ neutralni element za $(S,*)$ i $a*b=e$, onda je $a$ levi inverz od $b$ a $b$ je desni inverz od $a$. Ako je element $x$ ujedno i levi i desni inverz od $y$, onda se $x$ naziva dvostranim inverzom, ili prosto inverzom, od $y$. Element koji ima dvostrani inverz u $S$ se naziva invertibilnim u $S$. Element koji ima inverz samo sa jedne strane je levo invertibilan, ili desno invertibilan.

Kao što je za $(S,*)$ moguće da ima više levih identiteta ili više desnih identiteta, moguće je da element ima više levih inverza ili više desnih inverza (ali treba imati u vidu da njihova gornja definicija koristi dvostrani identitet, $e$). Element može čak da ima više levih inverza i više desnih inverza.

Ako je operacija $*$ asocijativna, onda ako element ima i levi i desni inverz, oni su jednaki i jedinstveni. U ovom slučaju, skup (levo i desno) invertibilnih elemenata je grupa koja se naziva grupom jedinica od $S$, u oznaci $U(S)$ ili $S^{*}$.

Računanje

Svaki realan broj $x$ ima aditivni inverz (inverz u odnosu na sabiranje) jednak $-x$. Svaki realan broj različit od nule, $x$ ima multiplikativni inverz (inverz u odnosu na množenje) jednak ${\frac {1}{x}}$. Nula nema multiplikativni inverz.

Funkcija $g$ je levi (ili desni) inverz funkcije $f$ (za kompoziciju funkcija), ako i samo ako je $gof$ (ili $fog$) funkcija identiteta na domenu (ili kodomenu) funkcije $f$.

Kvadratna matrica $M$ sa elementima iz polja $K$ je invertibilna (u skupu svih kvadratnih matrica iste dimenzije, u odnosu na množenje matrica) ako i samo ako je njena determinanta različita od nule. Ako je determinanta matrice $M$ jednaka nuli, nemoguće je da ta matrica ima jednostrani inverz; stoga postojanje levog inverza implicira postojanje desnog (i obratno). Vidi invertibilna matrica za detaljniji opis.

Opštije, kvadratna matrica nad komutativnim prstenom $R$ je invertibilna ako i samo ako je enjna determinanta invertibilna u $R$.

Nekvadratne matrice punog ranga imaju jednostrane inverze:

• Za $A:m\times n\mid m>n$ postoji levi inverz: $\underbrace {(A^{T}A)^{-1}A^{T}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}$
• Za $A:m\times n\mid m<n$ postoji desni inverz: $A\underbrace {A^{T}(AA^{T})^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}$

Nijedna matrica koja nije punog ranga nema bilo kakav (ni jednostrani) inverz. Međutim, Mur-Penrouzov pseudoinverz postoji za sve matrice, i poklapa se sa levim ili desnim (ili dvostranim) inverzom ako on postoji.

Primer

$A:2\times 3={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}$
Dakle, kako je $m<n$, postoji desni inverz. $A_{desni}^{-1}=A^{T}(AA^{T})^{-1}$
$AA^{T}={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}$
$(AA^{T})^{-1}={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}$

$A^{T}(AA^{T})^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}={\frac {1}{18}}{\begin{bmatrix}-17&8\\-2&2\\13&-4\end{bmatrix}}=A_{desni}^{-1}$

Levi inverz ne postoji, jer $A^{T}A={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}17&22&27\\22&29&36\\27&36&45\end{bmatrix}}$, što je singularna matrica, koja ne može da se invertuje.