Zapremina

Za druge upotrebe, pogledajte Zapremina (višeznačna odrednica).

Zapremina (lat. volumen — „zavoj, svitak”), oznaka $V$, je veličina koja opisuje količinu prostora koje zauzima neko telo. Zapremina veličina definisana kao broj jedinica prostora koji obuhvata neko telo. U Fizici se koristi zapremina kao pokazatelj koliko se neko telo širi u prostoru tj. koliko zauzima mesta u prostoru. SI-Jedinica je kubni metar m³. Za izračunavanje koristi se trodimenzionalni koncept prostora, a zapremina se izražava u kubnim jedinicama dužine. Za jedinicu mere zapremine uzima se kocka čija stranica ima jediničnu dužinu (1 cm, 1 dm, 1 m i slično), te se on meri u kubnim jedinicama (cm³, dm³, m³ i slično), a često se izražava i litrama. Jedinica je zapremina u SI-ju kubni metar, oznaka m³, definisana zapremina kocke kojoj su strane duge po jedan metar. Postoje i stare merne jedinice koje se još danas rabe, na primer galon. Zapreminu imaju stoga samo trodimenzionalna tela, dok likovi u jednoj dimenziji (na primer linije) i dvema dimenzijama (na primer kvadrat) nemaju zapreminu, to jest ona im je jednaka nuli. Matematički se zapremina definiše pomoću integralnog računa, aproksimirajući telo kao zbir zapremina velikog broja vrlo malih kocaka.

Zapremina
Merni sud se može koristiti za merenje zapremine tečnosti. Ova čaša meri zapreminu u jedinicama čaša, tečnim uncama i mililitrima.
Uobičajeni simboli	V
SI jedinica	Kubni metar [m3]
Druge jedinice	Litar, unca fluida, galon, kvart, pinta, kašika, dram fluida, in3, yd3, barel
U SI baznim jedinicama	1 m3
SI dimenzija	L3

Najprostiji primer izračunavanja zapremine je za pravilna geometrijska tela kao što su: kocka, kvadar, lopta, piramida i kupa. Kocka sa dužinom stranica a ima zapreminu:$V=a\cdot a\cdot a=a^{3}$

Druge SI jedinice za zapreminu

Jedinica za volumen (zapreminu) je kubni metar (m³) mada se pored ove jedinice mogu koristiti i manje jedinice (dm³, cm³, mm³).

1 m³ = 1000 dm³

1 dm³ = 1000 cm³

1 cm³ = 1000 mm³

Pored navedenih jedinica takođe su često u upotrebi i sledeće jedinice:

1 l (ili L) = 1 dm³

1 ml = 1 cm³

Obrasci za zapreminu

Geometrijsko tijelo	Jednačina za zapreminu	Varijabla ili promenljiva
Kocka	$a^{3}\;$	a = dužina bilo koje stranice
Valjak	$r^{2}\cdot \pi \cdot h\;$	r = poluprečnik osnove ili baze, h = visina
Prizma	$B\cdot h$	B = površina osnovice, h = visina
Kvadar	$l\cdot w\cdot h$	l = dužina, w = širina, h = visina
Trostrana prizma	${\frac {1}{2}}\cdot b\cdot h\cdot l$	b = osnovna dužina trouglaa, h = visina trougla, l = dužina prizme ili udaljenost između osnovica trougla
Kugla	${\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot r^{3}$	r = poluprečnik kugle
Elipsoid	${\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot a\cdot b\cdot c$	a, b, c = poluosa elipsoida
Torus	$(\pi \cdot r^{2})(2\cdot \pi \cdot R)=2\cdot \pi ^{2}\cdot R\cdot r^{2}$	r = manji poluprečnik (poluprečnik cevi), R = glavni poluprečnik (udaljenost od središta cevi do središta torusa)
Piramida	${\frac {1}{3}}\cdot B\cdot h$	B = površina osnovice, h = visina piramide
Četverostrana piramida	${\frac {1}{3}}s^{2}h\;$	s = dužina osnovice, h = visina
Pravougaona piramida	${\frac {1}{3}}\cdot l\cdot w\cdot h$	l = dužina, w = širina, h = visina
Kupa	${\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot h$	r = poluprečnik kružne osnovice, h = visina kupe
Tetraedar	${{\sqrt {2}} \over 12}\cdot a^{3}\,$	dužina jednakostraničnog trougla $a$
Paralelepiped	$a\cdot b\cdot c\cdot {\sqrt {K}}$ ${\begin{aligned}K=&1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )\\&-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\end{aligned}}$	a, b, i c su dužine paralelepipeda, a α, β, i γ su unutrašnji uglovi između stranica
Bilo koje geometrijsko telo (potreban integralni račun)	$\int _{a}^{b}A(h)\,\mathrm {d} h$	h = bilo koja visina tela, A(h) = površina poprečnog prereza okomitog na h, zadana kao funkcija položaja uzduž h. Ovo vredi za bilo koji oblik.
Bilo koji rotirajući geometrijski lik (potreban integralni račun)	$\pi \int _{a}^{b}\left({\left[R_{O}(x)\right]}^{2}-{\left[R_{I}(x)\right]}^{2}\right)\mathrm {d} x$	$R_{O}$ i $R_{I}$ su funkcije koje prikazuju spoljašnji i unutrašnji poluprečnik funkcije.

Zapremina kupe, kugle i valjka jednakog poluprečnika i visine

Zapremina kupe, kugle i valjka jednakog poluprečnika r i visine h.

Može se dokazati da se zapremine kupe, kugle i valjka jednakog poluprečnika i visine odnose kao 1 : 2 : 3. Neka poluprečnik geometrijskih tela bude r i visina h (za kuglu visina h jednaka je 2r), onda je zapremina kupe:

${\tfrac {1}{3}}\pi r^{2}h={\tfrac {1}{3}}\pi r^{2}(2r)=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 1,$

zapremina kugle:

${\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 2,$

i zapremina valjka:

$\pi r^{2}h=\pi r^{2}(2r)=({\tfrac {2}{3}}\pi r^{3})\times 3.$

Otkriće odnosa zapremina 2 : 3 za zapremine kugle i valjka se pripisuje Arhimedu.

Zapremina u diferencijalnoj geometriji

U diferencijalnoj geometriji, grani matematike, zapreminski oblik na diferencijabilnoj mnogostrukosti je diferencijalna forma najvišeg stepena (tj. čiji je stepen jednak dimenziji mnogostrukosti) koja nigde nije jednaka nuli. Mnogostrukost ima zapreminsku formu ako i samo ako je orijentabilna. Orijentabilna mnogostrukost ima beskonačno mnogo zapreminskih formi, jer množenjem zapreminske forme nenestajućom funkcijom dobija se druga zapreminska forma. Na neorijentabilnim mnogostrukostima može se umesto toga definisati slabiji pojam gustine. Integrisanjem zapreminske forme dobija se zapremina mnogostrukosti prema tom obliku.

Orijentisana pseudo-Rimanova mnogostrukost ima prirodnu zapreminsku formu. U lokalnim koordinatama može se izraziti kao

$\omega ={\sqrt {|g|}}\,dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n},$

gde su $dx^{i}$ 1-forme koje formiraju pozitivno orijentisanu bazu za kotangentni svežanj mnogostrukosti, i $g$ je determinanta matrične reprezentacije metričkog tenzora na mnogostrukosti u pogledu iste osnove.

Zapremina u termodinamici

U termodinamici, zapremina sistema je važan ekstenzivni parametar za opisivanje njegovog termodinamičkog stanja. Specifična zapremina, intenzivno svojstvo, je zapremina sistema po jedinici mase. Zapremina je funkcija stanja i zavisna je od drugih termodinamičkih svojstava kao što su pritisak i temperatura. Na primer, zapremina je povezana sa pritiskom i temperaturom idealnog gasa po zakonu o idealnom gasu.

Angloameričke merne jedinice za zapreminu

Jedan američki galon (US galon) je vrednosti oko 3,785 litara.

Angloameričke jedinice su skup vrlo raznolikih pojedinačnih mernih jedinica ili jedinica nekoherentnih sistema, nastalih u zemljama engleskoga govornoga područja; tradicijom su se zadržale do danas, a zbog velikoga političkog i ekonomskog uticaja još se koriste u međunarodnoj trgovini i razmeni informacija. Razlikuju se dve grupe angloameričkih jedinica:

• engleske jedinice ili imperijalni sistem mera (takozvane UK jedinice) koje se upotrebljavaju u Ujedinjenome Kraljevstvu, odakle su se proširile po bivšim britanskim kolonijama, te
• američke jedinice ili američki sistem mera (takozvane US jedinice), koje se upotrebljavaju u SAD.

Angloameričke jedinice se po mnogim osobitostima razlikuju od takozvanih metarskih mernih jedinica (međunarodni sistem mernih jedinica): veće i manje jedinice formiraju se na različite načine (kadšto s razmerom 12; na primer inč ili palac), međusobno su neskladne te je za preračunavanja potrebno upotrebljavati mnoge pretvorbene parametre ili faktore, jedinice jednakih naziva imaju u raznim zemljama i za različite potrebe različite vrednosti (na primer barel), i obratno, jedinice jednakih vrednosti imaju u različitim zemljama različite nazive (na primer cental). UK jedinice oslanjale su se na vlastite etalone (tek su od 1963. oslonjene na metarske jedinice), a US jedinice nisu nikada bile sistemski ozakonjene. U svim se tim zemljama angloameričke jedinice postupno zamjenjuju SI jedinicama. Osnovne jedinice tih sistema jesu za dužinu stopa, za vreme sekunda i za masu funta.

Američke i britanske merne jedinice za zapreminu uključuju: kubni palac (cu in), kubnu stopu (cu ft), kubni jard (cu yd), kubna milja (cu mi), čajna kašika, kašika, unca tečnosti (fl oz), dram tečni (fl dr), gil (gi), pinta tekuća (pt), četvrtina (quart) tekuća (qt), galon (gal), minum (min), barel (bbl), pek (pk), bušel (bu).

Galon

Galon (engl. gallon < severnofranc. galon, starofranc. jalon, moguće od kelt.; oznaka gal) je angloamerička merna jedinica zapremine, koja se koristi za izražavanje zapremine tečnosti. Razlikuju se engleski galon (UK galon), vrednosti oko 4,546 litara, i američki galon (US galon), vrednosti oko 3,785 litara. Od UK galona izvode se veće i manje jedinice, a od US galona samo manje jedinice.

Barel

Barel (engl. barrel < starofranc. baril: bačvica < narodni lat. barriculus; oznaka bbl) je naziv mnogih angloameričkih mernih jedinica zapremina ili mase, različitih vrednosti, zavisno od države, robe i nameene. Zapreminski bareli iznose od 31 do 42 galona (oko 117 do 159 litara), a vrednost je masenih vrlo različita, na primer barel soli 127 kg, barel brašna 88,9 kg, barel maslaca 101,6 kg. U međunarodnoj trgovini naftom i derivatima koristi se naftni barel (engl. petroleum barrel), vrednosti 42 US galona, to jest približno 159 litara.

Pinta

Pinta (franc. pinte) je stara merna jedinica zapremine. U prošlosti je bilo mnogo različitih pinti, npr upotrebljavala starohrvatska ili zagrebačka pinta, kojoj je do 1733. vrednost bila oko 3,124 litre, posle oko 3,332 litre, madžarska pinta, vrednosti oko 1,666 litre, i bečka pinta (merača, bokal, bečka oka), kojoj je od 1761. do uvođenja Metarskoga sistema vrednost bila oko 1,415 litre. Pinta tekuća (pt) u američkom sustavu mjera iznosi 473,176 5 ml, a u imperijalnom sustavu mjera oko 568,2 ml.

Bušel

Bušel (engl. bushel; oznaka bu) je angloamerička jedinica zapremine suvih materija, vrednosti britanski bu = 8 galona = 36,368 72 litre, američki bu = 2150,42 in³ = 35,239 070 160 88 litre.

Dram

Dram (grč. δραχμή: pregršt novca; oznaka dr) naziv je za dve nezavisne zastarele merne jedinica mase. Turski dram (tur. dirhem) naziv je za stotinku turske litre (četvrtine oke), vrednosti oko 3,205 grama. Engleski i američki dram nazivi su za šesnaestinku unce, vrednosti dr = lb/256 ≈ 1,772 grama.

Merenje zapremine tečnosti

Zapremina tečnosti može da se odredi pomoću menzure. To je plastična ili staklena cilindrična posuda na kojoj se nalazi ugravirana skala sa podeocima u mililitrima.

Postupak merenja:

U menzuru sipamo tečnost čiju zapreminu želimo da izmerimo, onda se sa skale očitava vrednost podeoka do kojeg je napunjena menzura. Prilikom očitavanja pogled treba da bude normalan na skalu, jer bi u suprotnom očitana vrednost bila pogrešna.

Merenje zapremine čvrstog tela nepravilnog oblika

Zapremina tela nepravilnog oblika se može meriti pomoću menzure, potapanjem čvrstog tela koje se ne rastvara u vodi. Kada se telo potopi, nivo tečnosti u menzuri se podigne za zapreminu unetog tela.

Ako zapreminu koju pokazuje menzura pre stavljanja u tela zapremine V₁ , a posle stavljanja tela V₂ . Zapremina unetog tela jednaka je promeni zapremine koju pokazuje menzura:

V=V₂ –V_1.

Ako čvrsto telo ne može stati u menzuru , za merenje se koristi prelivni sud sa menzurom.

Da bismo mogli da merimo zapreminu tela nepravilnog oblika, moraju da budu podudarna sa ovim pravilima :

1) telo ne sme da se rastvara u tečnosti u kojoj merimo

2) telo mora u potpunosti da potone u tečnost

Literatura

• Mitrović, Mićo M. (2019). Fizika 6. Saznanje. 
• Kandić, Aleksandar; Poparić, Goran (2019). Fizika 6. 
• Kobayashi, S. (1972), Transformation Groups in Differential Geometry, Classics in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-58659-8, OCLC 31374337 .
• Spivak, Michael (1965), Calculus on Manifolds, Reading, Massachusetts: W.A. Benjamin, Inc., ISBN 0-8053-9021-9 .
• Vujanić, Milica; et al., ur. (2011). Rečnik srpskoga jezika. Novi Sad: Matica srpska. ISBN 978-86-7946-004-2. 

Spoljašnje veze

• Volume - Dry Online Interactive Unit Converter Архивирано на сајту Wayback Machine (4. март 2021)
• Volume or capacity conversion of English and American units to metric units
• Online Unit Converter - Conversion of many different units Архивирано на сајту Wayback Machine (7. мај 2005)
• Conversion Calculator for Units of Volume for many units (Cleave Books) Архивирано на сајту Wayback Machine (27. октобар 2004)