Grupa (matematika)

Grupa je u apstraktnoj algebri skup sa binarnom operacijom, koji zadovoljava aksiome zatvorenosti, asocijativnosti i ima neutralni i inverzni element. Grana matematike koja proučava grupe je teorija grupa.

Ova slika ilustruje kako sati na časovniku formiraju grupu.

Mnoge strukture kojima se matematika bavi su u stvari grupe. Među njima su poznati brojevni sistemi, kao što su celi brojevi, racionalni brojevi, realni brojevi, i kompleksni brojevi pod sabiranje, kao i racionalni brojevi različiti od nule, realni brojevi i kompleksni brojevi pod množenjem. Drugi važni primeri su grupe ne-singularnih matrica pod množenjem, i grupa invertibilnih funkcija pod slaganjem funkcija. Teorija grupa omogućava da se svojstva ovakvih struktura izučavaju u opštim slučajevima.

Teorija grupa ima široku primenu u matematici i drugim prirodnim naukama. Mnoge algebarske strukture, kao što su polja i vektorski prostori mogu koncizno da se definišu u terminima grupa, i teorija grupa pruža važne alate za proučavanje simetrije, jer simetrije svakog objekta grade grupu. Grupe su stoga ključne apstrakcije u granama fizike koje se tiču principa simetrije, kao što su teorija relativiteta, kvantna mehanika, i fizika čestica. Štaviše, njihova mogućnost da predstave geometrijske transformacije im donosi primenu u hemiji, računarstvu, i drugim oblastima.

Definicija

Grupa $(G,*)$ je skup $G$ sa binarnom operacijom $*$, koja zadovoljava sledeće četiri aksiome:

• Zatvorenost: Za svako $a,b$ iz $G$, rezultat $a*b$ je takođe u $G$.

Najčešće se zahtev za zatvorenošću ne navodi eksplicitno, jer se on podrazumeva u iskazu da je * binarna operacija.

• Asocijativnost: Za svako $a,b$ i $c$ iz $G$, $(a*b)*c=a*(b*c)$.
• Neutral: Postoji element $e$ iz $G$ takav da za svako $a$ iz $G$, $e*a=a*e=a$.

Može se pokazati da grupa ima tačno jedan neutral.

• Inverz: Za svako $a$ iz $G$, postoji element $b$, takođe iz $G$, takav da $a*b=b*a=e$, gde je $e$ neutral.

Može se pokazati da je inverz datog elementa jedinstven, i da je levi i desni inverz elementa isti. Postoje i uže definicije, koje zamenjuju drugu i treću aksiomu konceptom levog (ili desnog) neutrala i inverza.

Grupa $(G,*)$ se često označava samo slovom $G$, kad ne postoji dvosmislenost oko toga šta je operacija.

Osnovni koncepti teorije grupa

• Red grupe $G$, koji se označava izrazom $|G|$, je broj elemenata u skupu $G$. Ako red nije konačan, tada je grupa beskonačna grupa, što se označava kao $|G|=\infty$.
• Red elementa $a$ iz grupe $G$ je najmanji pozitivan ceo broj $n$ takav da $a^{n}=e$, gde je $a^{n}$ umnožak $a$ samim sobom $n$ puta (ili druga pogodna kompozicija u zavisnosti od operatora grupe). Ako ne postoji takvo $n$, tada se kaže da je red od $a$ beskonačan.

Podgrupa

Skup $H$ je podgrupa grupe $G$ ako je podskup $G$ i grupa u odnosu na operaciju definisanu na $G$. Drugim rečima, $H$ je podgrupa od $(G,*)$ ako je restrikcija od $*$ na $H$ operacija grupe na $H$. Kako su ostala svojstva automatski zadovoljena, $H\subset G$ je podgrupa grupe $G$ ako i samo ako je zatvoren u odnosu na $*$ i inverz.

Ako je $G$ konačna grupa, tada je konačna i $H$. Pritom red od $H$ deli red od $G$ po Lagranžovoj teoremi.

Oznake grupa

Moguće je koristiti različite oznake za grupe u zavisnosti od konteksta i operacije.

• Aditivne grupe koriste $+$ da označe sabiranje, a $-$ da označe inverze. Na primer, $a+(-a)=0$ u $\mathbf {Z}$. Prema opšte prihvaćenoj konvenciji, oznaka $+$ se koristi isključivo za komutativne grupe.
• Multiplikativne grupe koriste $*$ da označe množenje, a $a^{-1}$ da označe inverze. Na primer, $a*a^{-1}=1$. Vrlo često se izostavlja $*$ i zapisuje se samo $aa^{-1}$.
• Grupe funkcija koriste $\cdot$ da označe kompoziciju funkcija, i $^{-1}$ da označe inverze. Na primer, $g\cdot g^{-1}=e$. Vrlo često se izostavlja $\cdot$ i zapisuje se samo $gg^{-1}$.

Kada se definišu grupe, standardna notacija podrazumeva da se koriste zagrade za definisanje grupe i njene operacije. Na primer, $(H,+)$ označava da je skup $H$ grupa u odnosu na sabiranje. Za grupe kao što su $(Z_{n},+)$ i $(F_{n}^{*},*)$ je uobičajeno da se izostave zagrade i operacija, npr. $Z_{n}$ i $F_{n}^{*}$. Takođe je ispravno da se grupa označava oznakom njenog skupa, npr.$H$ ili $\mathbb {Z}$.

Neutral se označava slovom $e$, ali se ponekad koristi i neka druga oznaka u zavisnosti od grupe. Kod multiplikativnih grupa, neutral može da se označava brojem 1. Kod grupa invertibilnih matrica, neutral se obično označava kao $\mathbf {I}$ ili $\mathbf {E}$. Kod aditivnih grupa, neutral može da se označava brojem 0. Kod grupa funkcija, neutral se obično označava kao $f_{0}$ ili ${\textrm {id}}$.

Ako je $S$ podskup skupa $G$ i $x$ je element $G$, tada, u multiplikativnoj notaciji, $xS$ je skup svih proizvoda $\{xs:s\in S\}$; slično, notacija $Sx=\{sx:s\in S\}$; i za dva podskupa $S$ i $T$ skupa $G$, se piše $ST$ za $\{st:s\in S,t\in T\}$. U aditivnoj notaciji, zapisuje se $x+S,S+x$ i $S+T$ za odgovarajuće skupove.

Vrste grupa

Abelova grupa

Grupa $G$ je Abelova ili komutativna ako je operacija komutativna, to jest, za svako $a$, $b$ iz $G$, $a*b=b*a$. Abelove grupe su dobile ime po matematičaru Nilsu Abelu.

1. primer: Poznata Abelova grupa je grupa celih brojeva pod sabiranjem. Neka je $\mathbb {Z}$ skup celih brojeva,$\{...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...\}$, i neka simbol $+$ označava operaciju sabiranja. Tada je $(\mathbb {Z} ,+)$ grupa, pošto su ispunjeni zahtevi:

• Zatvorenost: Ako su $a$ i $b$ celi brojevi, tada je $a+b$ ceo broj.
• Asocijativnost: Ako su $a$, $b$, i $c$ celi brojevi, tada je $(a+b)+c=a+(b+c)$.
• Postoji neutral: $0$ je ceo broj, i za svaki ceo broj $a$, $0+a=a+0=a$.
• Postoji inverz: Ako je $a$ ceo broj, tada ceo broj $-a$ zadovoljava pravila inverza: $a+(-a)=(-a)+a=0$,

i odavde navedena grupa je Abelova, jer važi $a+b=b+a$.

Proširenjem operacija, ako dodamo i operaciju množenja na istom skupu, dobijamo cele brojeve sa sabiranjem i množenjem, što će predstavljati složeniju algebarsku strukturu, koja se naziva prsten.

2. primer: Sa druge strane, ako posmatramo cele brojeve sa operacijom množenja, označenog simbolom $\cdot$, tada $(\mathbb {Z} ,\cdot )$ nije grupa. Ovo zadovoljava većinu aksioma, ali nema inverze:

• Zatvorenost: Ako su $a$ i $b$ celi brojevi, tada je $a\cdot b$ ceo broj.
• Asocijativnost: Ako su $a$, $b$, i $c$ celi brojevi, onda $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
• Postoji neutralni element: $1$ je ceo broj, i za svaki ceo broj $a$, $1\cdot a=a\cdot 1=a$.
• Međutim, ne važi da kad god je $a$ ceo broj, postoji ceo broj $b$ takav da $ab=ba=1$. Na primer, $a=2$ je ceo broj, ali jedino rešenje jednačine $ab=1$ u ovom slučaju je ${\displaystyle }$. Ne možemo da izaberemo $b={\frac {1}{2}}$ jer ${\frac {1}{2}}$ nije ceo broj.

Kako nema svaki element iz $(\mathbb {Z} ,\cdot )$ inverz, $(\mathbb {Z} ,\cdot )$ nije grupa. Međutim, ovo jeste komutativni monoid, što je struktura koja se definiše slično grupi, ali bez zahteva za postojanjem inverza.

3. primer: Skup racionalnih brojeva $\mathbb {Q}$ bez nule, tj. skup svih razlomaka ${\frac {a}{b}}$, gde su $a$ i $b$ celi brojevi, a $b$ je različito od nule, sa operacijom množenja označenom simbolom $\cdot$. Kako racionalan broj 0 nema multiplikativni inverz, $(\mathbb {Q} ,\cdot )$, kao $(\mathbb {Z} ,\cdot )$, nije grupa.

Međutim, ako koristimo skup svih racionalnih brojeva različitih od nule, $\mathbb {Q} \setminus \{0\}$, tada $(\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot )$ gradi Abelovu grupu.

• Zatvorenost, asocijativnost, i postojanje neutrala je lako proveriti zbog svojstava celih brojeva.
• Inverz: Inverz ${\frac {a}{b}}$ je ${\frac {b}{a}}$ i aksioma je zadovoljena.

Ne gubimo zatvorenost uklanjanjem nule, jer je proizvod dva racionalna broja različita od nule uvek različit od nule. Kao što celi brojevi daju prsten, racionalni brojevi daju algebarsku strukturu polje, koja dopušta operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i deljenja.

4. primer: Za konkretniji primer grupe, uzmimo tri obojene pločice (crvenu, zelenu i plavu) na početku postavljene u raspored CZP. Neka je $a$ dejstvo „zameni prvu i drugu pločicu“, i neka je $b$ dejstvo „zameni drugu i treću pločicu“.

Ciklični dijagram za $S_{3}$.

U multiplikativnom obliku, tradicionalno zapisujemo $xy$ za kombinovano dejstvo u „prvo uradi $y$, a zatim uradi $x$“; tako da je $ab$ akcija CZP → CPZ → PCZ, tj, „uzmi plavu pločicu, i pomeri je na početak“. Ako sa $e$ označavamo dejstvo „ostavi pločice tamo gde jesu“ (neutral), tada možemo da napišemo šest permutacija skupa tri pločice kao sledeća dejstva:

• $e$ : CZP → CZP
• $a$ : CZP → ZCP
• $b$ : CZP → CPZ
• $ab$ : CZP → PCZ
• $ba$ : CZP → ZPC
• $aba$ : CZP → PZC

Dejstvo $aa$ ima efekat CZP → ZCP → CZP, što ostavlja pločice tamo gde su i bile; tako da zapisujemo $aa$ = $e$. Slično,

• $bb=e$,
• $(aba)(aba)=e$, i
• $(ab)(ba)=(ba)(ab)=e$;

tako da svako od gorenavedenih dejstava ima inverz.

Proverom, možemo takođe da utvrdimo asocijativnost i zatvorenost; obratimo pažnju na primer da

• $(ab)a=a(ba)=e$, i
• $(ba)b=b(ab)=e$.

Ova grupa se naziva simetričnom grupom nad 3 slova, ili $S_{3}$. Ima red 6 (ili $3!$ faktorijel), i nije Abelova (jer, na primer $ab\neq ba$). Kako je $S_{3}$ dobijeno od osnovnih dejstava $a$ i $b$, kažemo da je skup $\{a,b\}$ generatorni skup grupe.

Opštije, možemo da definišemo simetričnu grupu od svih permutacija $N$ objekata. Ova grupa se označava kao $S_{N}$ i reda je $N$ faktorijel.

Jedan od razloga zašto su permutacione grupe važne je što se svaka konačna grupa $G$ može predstaviti kao podgrupa simetrične grupe $S_{N}$ (gde je $N$ broj elemenata grupe $G$); ovaj rezultat je Kejlijeva teorema.

Ciklična grupa

Ciklična grupa je grupa čiji elementi mogu da budu generisani uzastopnom primenom operacije koja definiše grupu (i operacije uzimanja inverznog elementa), primenjene na samo jedan element te grupe. Ovaj primitivni element se naziva generatorom, ili primitivnim elementom grupe.

• Multiplikativna ciklična grupa gde je $G$ grupa, a $a$ generator: $G=\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}$.
• Aditivna ciklična grupa, sa generatorom $a$: $G'=\{n*a\mid n\in \mathbb {Z} \}$

Ako se sukcesivna primena operacije koja definiše grupu primeni na ma koji (moguće neprimitivni) element grupe, dobija se ciklična podgrupa. Red ciklične podgrupe deli red grupe. Stoga, ako je red grupe prost, svi njeni elementi, izuzev neutrala su primitivni elementi grupe.

Važno je napomenuti da grupa sadrži sve ciklične podgrupe generisane svakim od elemenata grupe. Međutim, grupa konstruisana iz cikličnih podgrupa nije obavezno ciklična podgrupa. Na primer, Klajnova četvorna grupa $({\mathbb {Z} }/2{\mathbb {Z} })^{2}$ nije ciklična grupa, iako je konstruisana od dve ciklične grupe reda 2.

Svaka konačna Abelova grupa se može predstaviti kao direktan proizvod nekih svojih cikličnih podgrupa, po strukturnoj teoremi za konačne Abelove grupe.

1. primer: Kod ciklične multiplikativne grupe $G$, svi elementi $a^{n}$ grupe su dobijeni skupom svih celobrojnih eksponenata primitivnog elementa te grupe: $G=\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} {\pmod {m\in \mathbb {Z} }}\}$

U ovom primeru, ako je $a$ jednako 2, i operacija je operator množenja, tada $G=\{...,2^{-2},2^{-1},2^{0},2^{1},2^{2},2^{3},...\}=\{...,0,25,0,5,1,2,4,8,...\}$. Modulo $m$ može da veže grupu u konačan skup sa nerazlomljenim skupom elemenata, jer bi inverz (i $x^{-2}$, itd.) bio unutar skupa.

Jednostavne teoreme

• Grupa ima tačno jedan neutral.

Dokaz: Pretpostavimo da su i $e$ i $f$ neutrali. Tada po definiciji neutrala, $fe=ef=e$ i takođe $fe=ef=f$. Ali onda je $f=e$.

Sledi da je neutral jedinstven.

• Svaki element ima tačno jedan inverz.

Dokaz: Pretpostavimo da su i $b$ i $c$ inverzi elementa $x$. Tada, po definiciji inverza, $xb=bx=e$ i $xc=cx=e$. Ali onda:

$xb=e=xc$
$xb=xc$
$bxb=bxc$	(množenjem sleva sa $b$)
$eb=ec$	(korišćenjem $bx=e$)
$b=c$	(aksioma neutralnog elementa)

Sledi da je inverz jedinstven.

Prva dva svojstva u stvari proizlaze iz asocijativnosti binarnih operacija definisanih na skupu. Ako je data binarna operacija na skupu, postoji najviše jedan neutral i najviše jedan inverz za svaki element (bez obzira na to imaju li ostali elementi inverze).

• Može se vršiti deljenje u grupama; to jest, ako su dati elementi $a$ i $b$ grupe $G$, postoji tačno jedno rešenje $x$ iz $G$ jednačine $x*a=b$ i tačno jedno rešenje $y$ iz $G$ jednačine $a*y=b$. Oprez: u ne-Abelovim grupama, ovi elementi $x$ i $y$ ne moraju biti jednaki, te tako u opštem oznaka ${\frac {a}{b}}$ nema smisla.

• Izraz $a_{1}*a_{2}*...*a_{n}$ je nedvosmislen, jer će rezultat biti isti nevezano od toga gde postavimo zagrade. (Rezultat primene principa matematičke indukcije na asocijativno svojstvo.)

• (Čarape i cipele) Inverz proizvoda je proizvod inverza u suprotnom redosledu: $(a*b)^{-1}=a^{-1}*b^{-1}$.

Dokaz: Pokazaćemo da $(ab)(b^{-1}a^{-1})$, kao što se traži po definiciji inverza.

$(ab)(b^{-1}a^{-1})$	=	$a(bb^{-1})a^{-1}$	(asocijativnost)
	=	$aea^{-1}$	(definicija inverza)
	=	$aa^{-1}$	(definicija neutralnog elementa)
	=	$e$	(definicija inverza)

I slično za drugi smer.

Literatura

• Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra (1st izd.). McGraw-Hill. ISBN 9780070026551. 

Vidi još

• Grupoid
• Monoid
• Polugrupa
• Podgrupa