Algebarski prsten

U matematici, prsten je algebarska struktura u kojoj su definisani sabiranje i množenje, i imaju svojstva opisana niže. Prsten je generalizacija skupa celih brojeva. Drugi primeri prstena su polinomi i celi brojevi po modulu $n$. Grana apstraktne algebre koja proučava prstenove se naziva teorijom prstena.

Lagranžov polinomijalni prsten sa ponavljanjem

Formalna definicija

prsten je skup $R$ na kome važe dve binarne operacije $+:R\times R\rightarrow R$ i $\cdot :R\times R\rightarrow R$, koje se nazivaju sabiranje i množenje, takve da:

• $(R,+)$ je Abelova grupa sa neutralom $0$:
  • $(a+b)+c=a+(b+c)$
  • $0+a=a+0=a$
  • $a+b=b+a$
  • Za svako $a\in R$, postoji element koji se označava kao $-a$, takav da $a+(-a)=(-a)+a=0$
• $(R,\cdot )$ je monoid sa neutralom $1$:
  • $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
  • $1\cdot a=a\cdot 1=a$
• Množenje je distributivno nad sabiranjem:
  • $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$
  • $(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

Kao i kod grupa simbol · se obično izostavlja. Takođe, koristi se standardan redosled operacija, pa je na primer, $a+bc$ skraćenica za $a+b\cdot c$.

Mada je sabiranje u prstenu komutativno, pa je $a+b=b+a$, množenje u prstenu ne mora da bude komutativno — $a\cdot b$ ne mora da bude jednako $b\cdot a$. Prstenovi koji su takođe komutativni i u odnosu na množenje (kao što je prsten celih brojeva) se nazivaju komutativnim prstenovima. Nisu svi prstenovi komutativni. Na primer, $M_{n}(K)$, prsten $n\times n$ matrica nad poljem $K$, je nekomutativni prsten ($n>1$).

Prstenovi ne moraju da budu ni multiplikativno inverzni. Element $a$ u prstenu se naziva jedinicom ako je invertibilan u odnosu na množenje: ako postoji element $b$ u prstenu, takav da je $a\cdot b=b\cdot a=1$, tada je $b$ jedinstveno određeno preko $a$ i pišemo $a^{-1}=b$. Skup svih jedinica u $R$ formira grupu u odnosu na množenje prstena; ova grupa se označava kao $U(R)$ ili $R*$.

Alternativne definicije

Postoji i nekoliko alternativnih definicija prstena:

• Neki autori zahtevaju dodatni uslov da je $0\neq 1$. Ovo isključuje samo jedan prsten: takozvani trivijalni prsten ili nula prsten, koji ima samo jedan element.
• Značajnija razlika je ta, da neki autori ne zahtevaju da prsten ima multiplikativni neutral. Ovi autori nazivaju prstenove koji imaju multiplikativne neutrale unitarnim prstenovima. Autori koji zahtevaju multiplikativni neutral nazivaju algebarske objekte koji ispunjavaju sve uslove za prsten, izuzev ovog, pseudo-prstenovima. Svaki ne-unitarni prsten $R$ se može uklopii na kanonski način, kao podprsten u unitarni prsten, naime $R\oplus \mathbb {Z}$ sa $(0,1)$ kao jediničnim elementom i množenjem definisanim na očekivani način.
• Slično, ponekad se ne zahteva da množenje prstena bude asocijativno, a prstenovi kod kojih jeste asocijativno se tada nazivaju asocijativnim prstenovima. Vidi neasocijativni prsten za raspravu o opštijoj situaciji.

Kao što je gore naznačeno, množenje prstena ne mora da bude komutativno. U nekim oblastima, kao što su komutativna algebra i algebarska geometrija se uglavnom razmatraju komutativni prstenovi, pa autori često koriste termin prsten za komutativni prsten, a izraz ne obavezno komutativni prsten za prsten.

Primeri

• Trivijalni prsten $\{0\}$ ima samo jedan element koji služi i kao aditivni i kao multiplikativni neutral.
• Prsten celih brojeva sa operacijama sabiranja i množenja. Ovo je komutativni prsten.
  • Racionalni, realni i kompleksni brojevi grade prstenove (oni čak grade polja). I ovi prstenovi su komutativni.
• Svako polje je po definiciji komutativni prsten.
• Gausovi celi brojevi formiraju prsten, kao i Ajzenštajnovi celi brojevi.
• Polinomijalni prsten $R[X]$ polinoma nad prstenom $R$ je takođe prsten.
• Primer nekomutativnog prstena: Za svaki prsten $R$ i svaki prirodan broj $n$, skup svih kvadratnih $n\times n$ matrica sa članovima iz $R$, gradi prsten u odnosu na sabiranje matrica i množenje matrica. Za $n=1$, ova matrica je prosto (izomorfna sa) $R$. Za $n>2$, ovaj prsten je primer nekomutativnog prstena (osim ako je $R$ trivijalan prsten).
• Primer konačnog prstena: Ako je $n$ pozitivan ceo broj, tada skup $\mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ celih brojeva po modulu $n$ formira prsten sa $n$ elemenata (vidi modularna aritmetika).
• ako je $S$ skup, tada partitivni skup od $S$ postaje prsten ako definišemo sabiranje kao simetričku razliku skupova, a množenje kao presek. Ovo je primer Bulovog prstena.
• Skup svih neprekidnih realnih funkcija definisanih na intervalu $[a,b]$ formira prsten (čak asocijativnu algebru). Operacije su sabianje i množenje funkcija.
• Ako je $G$ Abelova grupa, tada endomorfizmi od $G$ grade prsten, prsten endomorfizama ${\textrm {End}}(G)$ od $G$. Operacije su sabiranje i kompozicija endomorfizama.
• Kontra-primer: Skup prirodnih brojeva $\mathbb {N}$ nije prsten, jer $(\mathbb {N} ,+)$ nije čak ni grupa. Na primer, ne postoji prirodan broj koji se može dodati broju 3 da bi se kao rezultat dobilo 0. Na prirodan način se od ovog skupa može napraviti prsten, dodavanjem negativnih brojeva (ovo je prsten celih brojeva). Prirodni brojevi grade algebarsku strukturu koja se naziva poluprsten (koja ima sva svojstva prstena, izuzev aditivnog inverza).
• Parni brojevi $2\mathbb {Z}$ (uključujući negativne parne brojeve) su primer pseudo-prstena, u smislu da imaju sva svojstva prstena osim multiplikativnog neutrala.

Osnovne teoreme

Iz aksioma se odmah može izvesti da za sve elemente prstena $a$ i $b$ imamo

• $0a=a0=0$
• $(-1)a=a(-1)=-a$
• $(-a)b=b(-a)=-(ab)$
• $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ ako su $a$ i $b$ invertibilni.

Druge osnovne teoreme

• Neutral $1$ je jedinstven.
• Ako prsten ima multiplikativni inverz, onda je on jedinstven.
• Ako prsten ima najmanje dva elementa, onda je $0\neq 1$
• Ako je $n$ ceo broj, i $a$ je element prstena definišemo $na$ posmatranjem $a$ kao elementa aditivne grupe prstena (to jest, $0$ ako je $n$ jednako $0$, suma $n$ puta $a$ ako je $n$ pozitivno, i suprotno $(-n)a$ ako je $n$ negativno). Obično pišemo $n$ za element prstena $n1$. Tada:
  • Dve definicije $na$ se poklapaju, to jest, prvo, sa $n$ posmatranim kao celim brojem kao gore; drugo, sa $n$ kao elementom prstena $n1$ i množenjem u izrazu $na$ uzima mesto u prstenu. Stoga ceo broj $n$ može da se identifikuje sa elementom prstena $n$. (Osim što više od jednog celog broja može da odgovara jednom elementu na ovaj način.)
  • Element prstena $n$ komutira sa svim ostalim elementima prstena.
  • Ako su $m$ i $n$ celi brojevi, $a$ i $b$ elementi prstena, tada $(m\cdot a)(n\cdot b)=(mn)\cdot (ab)$
  • Ako je $n$ ceo broj, $a$ element prstena, tada $n\cdot (-a)=-(n\cdot a)$
  • Binomna teorema

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k},$

važi kad god $x$ i $y$ komutiraju. Ovo važi u svakom komutativnom prstenu.

• Ako je prsten ciklična grupa u odnosu na sabiranje, tada je komutativan.

Konstruisanje novih prstena od datih prstena

• Za svaki prsten $R$ možemo da definišemo suprotan prsten $R^{op}$ obrtanjem množenja u $R$. Ako je dato množenje $\cdot$ u $R$ množenje $*$ u $R^{op}$ je definisano kao $b*a:=a\cdot b$. Identiteta iz $R$ u $R^{op}$ je izomorfizam akko je $R$ komutativno. Međutim, čak i ako $R$ nije komutativno, moguće je da ipak $R$ i $R^{op}$ budu izomorfni. Na primer, ako je $R$ prsten $n\times n$ matrica realnih brojeva, tada je transponujuće preslikavanje iz $R$ u $R^{op}$izomorfizam.
• Ako je podskup $S$ prstena $R$ zatvoren za množenje, sabiranje i oduzimanje i sadrži aditivni i multiplikativni neutral, tada je $D$ podprsten $R$.
• Centar prstena $R$ je skup elemenata $R$ koji komutiraju sa svakim elementom $R$; to jest, $c$ leži u centru ako $cr=rc$ za svako $r\in R$. Centar je podprsten $R$. Kaže se da je podprsten $S$ od $R$ centralni ako je podprsten centra od $R$.
• Ako je dat prsten $R$ i dvostrani ideal $I$ od $R$, količnički prsten $R/I$ je skup svih koseta $I$ zajedno sa operacijama

$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$ i

$(a+I)(b+I)=(ab)+I$

Kategorijski opis

Kao što se monoidi i grupe mogu posmatrati kao kategorije sa jednim objektom, prstenovi se mogu posmatrati kao aditivne kategorije sa jednim objektom. Ovde su morfizmi elementi prstena, kompozicija morfizama je množenje prstena, a aditivna struktura na morfizmima je sabiranje prstena. Suprotan prsten je tada kategorijski dual.

Vidi još

• Teorija prstena
• Neasocijativni prsten
• Komutativni prsten
• Diferencijalni prsten
• Polje

Literatura

• Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra (1st izd.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-002655-1. .
• Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice-Hall. 
• Atiyah, Michael; Macdonald, Ian G. (1969). Introduction to commutative algebra. Addison–Wesley. 
• Bourbaki, N. (1998). Algebra I, Chapters 1-3. Springer. 
• Cohn, Paul Moritz (2003), Basic algebra: groups, rings, and fields, Springer, ISBN 978-1-85233-587-8 .
• Eisenbud, David (1995). Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer. 
• Gallian, Joseph A. (2006). Contemporary Abstract Algebra, Sixth Edition. Houghton Mifflin. ISBN 9780618514717. 
• Gardner, J.W.; Wiegandt, R. (2003). Radical Theory of Rings. Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics. ISBN 0824750330. 
• Herstein, I. N. (1994) [reprint of the 1968 original]. Noncommutative rings. Carus Mathematical Monographs. 15. With an afterword by Lance W. Small. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-015-X. 
• Hungerford, Thomas W. (1997). Abstract Algebra: an Introduction, Second Edition. Brooks/Cole. ISBN 9780030105593. 
• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra. 1 (2nd izd.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1. 
• Jacobson, Nathan (1964). „Structure of rings”. American Mathematical Society Colloquium Publications (Revised izd.). 37. 
• Jacobson, Nathan (1943). „The Theory of Rings”. American Mathematical Society Mathematical Surveys. I. 
• Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (Revised izd.), University of Chicago Press, ISBN 0-226-42454-5, MR 0345945 .
• Lam, Tsit Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2nd izd.). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Lam, Tsit Yuen (2003). Exercises in classical ring theory. Problem Books in Mathematics (2nd izd.). Springer. ISBN 0-387-00500-5. 
• Lam, Tsit Yuen (1999). Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics. 189. Springer. ISBN 0-387-98428-3. 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third izd.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001 .
• Matsumura, Hideyuki (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd izd.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6. 
• Milne, J. „A primer of commutative algebra”. 
• Rotman, Joseph (1998), Galois Theory (2nd izd.), Springer, ISBN 0-387-98541-7 .
• van der Waerden, Bartel Leendert (1930), Moderne Algebra. Teil I, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 33, Springer, ISBN 978-3-540-56799-8, MR 0009016 .
• Warner, Seth (1965). Modern Algebra. Dover. ISBN 9780486663418. 
• Wilder, Raymond Louis (1965). Introduction to Foundations of Mathematics. Wiley. 
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1958). Commutative Algebra. 1. Van Nostrand. 
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Commutative Noetherian and Krull rings, Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155615-7 .
• Balcerzyk, Stanisław; Józefiak, Tadeusz (1989), Dimension, multiplicity and homological methods, Mathematics and its Applications, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-13-155623-2 .
• Ballieu, R. (1947). „Anneaux finis; systèmes hypercomplexes de rang trois sur un corps commutatif”. Ann. Soc. Sci. Bruxelles. I (61): 222—227. 
• Berrick, A. J.; Keating, M. E. (2000). An Introduction to Rings and Modules with K-Theory in View. Cambridge University Press. 
• Cohn, Paul Moritz (1995), Skew Fields: Theory of General Division Rings, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 57, Cambridge University Press, ISBN 9780521432177 .
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry., Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960 .
• Gilmer, R.; Mott, J. (1973). „Associative Rings of Order”. Proc. Japan Acad. 49: 795—799. doi:10.3792/pja/1195519146 . 
• Harris, J. W.; Stocker, H. (1998). Handbook of Mathematics and Computational Science. Springer. ISBN 9780387947464. 
• Jacobson, Nathan (1945), „Structure theory of algebraic algebras of bounded degree”, Annals of Mathematics, Annals of Mathematics, 46 (4): 695—707, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969205, doi:10.2307/1969205 .
• Knuth, D. E. (1998). The Art of Computer Programming. Vol. 2: Seminumerical Algorithms (3rd izd.). Addison–Wesley. 
• Korn, G. A.; Korn, T. M. (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. Dover. ISBN 9780486411477. 
• Milne, J. „Class field theory”. 
• Nagata, Masayoshi (1962) [1975 reprint], Local rings, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, 13, Interscience Publishers, ISBN 978-0-88275-228-0, MR 0155856 .
• Pierce, Richard S. (1982). Associative algebras. Graduate Texts in Mathematics. 88. Springer. ISBN 0-387-90693-2. 
• Poonen, Bjorn (2014), Why all rings should have a 1 (PDF), arXiv:1404.0135  
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local fields, Graduate Texts in Mathematics, 67, Springer .
• Springer, Tonny A. (1977), Invariant theory, Lecture Notes in Mathematics, 585, Springer, ISBN 9783540373704 .
• Weibel, Charles. „The K-book: An introduction to algebraic K-theory”. 
• Zariski, Oscar; Samuel, Pierre (1975). Commutative algebra. Graduate Texts in Mathematics. 28-29. Springer. ISBN 0-387-90089-6. 
• Fraenkel, A. (1914). „Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen”. J. Reine Angew. Math. 145: 139—176. 
• Hilbert, David (1897). „Die Theorie der algebraischen Zahlkörper”. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 4. 
• Noether, Emmy (1921). „Idealtheorie in Ringbereichen”. Math. Annalen. 83 (1–2): 24—66. doi:10.1007/bf01464225. 
• History of ring theory at the MacTutor Archive Arhivirano na sajtu Wayback Machine (24. април 2017)
• Garrett Birkhoff and Saunders Mac Lane (1996) A Survey of Modern Algebra, 5th ed. New York: Macmillan.
• Bronshtein, I. N. and Semendyayev, K. A. (2004) Handbook of Mathematics, 4th ed. New York: Springer-Verlag ISBN 3-540-43491-7.
• Faith, Carl (1999) Rings and things and a fine array of twentieth century associative algebra. Mathematical Surveys and Monographs, 65. American Mathematical Society ISBN 0-8218-0993-8.
• Itô, K. editor (1986) "Rings." §368 in Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd ed., Vol. 2. Cambridge, MA: MIT Press.
• Kleiner, Israel (1996). „The Genesis of the Abstract Ring Concept”. The American Mathematical Monthly. 103 (5): 417—424. JSTOR 2974935. doi:10.2307/2974935. 
• Kleiner, I. (1998) "From numbers to rings: the early history of ring theory", Elemente der Mathematik 53: 18–35.
• B. L. van der Waerden (1985) A History of Algebra, Springer-Verlag,