Комутативни дијаграм

У математици, и посебно у теорији категорија, комутативни дијаграм је такав дијаграм да сви усмерени путеви у дијаграму са истим почетним и крајњим тачкама воде до истог резултата. Комутативни дијаграми играју улогу у теорији категорија еквивалентну улози једначина у алгебри.

Комутативни дијаграм који се користи у доказу пет лема.

Опис

Комутативни дијаграм је обично састоји од три дела:

• објекти (такође познати као темена)
• морфизми (такође познати као стрелице или ивице)
• путеви или композити

Симболи стрелица

У алгебарским текстовима, тип морфизма може да буде обележен употребом различитих стрелица:

• Мономорфизам (ињективни хомоморфизам) може да буде обележен са $\hookrightarrow$.
• Епиморфизам (сурјективни хомоморфизам) може да буде обележен са $\twoheadrightarrow$.
• Изоморфизам (бијективни хомоморфизам) може да буде обележен са ${\overset {\sim }{\rightarrow }}$.
• Испрекидана стрелица типично представља тврдњу да означени морфизам постоји (шта год да остатак дијаграма садржи); стрелица може опционо да буде обележена као $\exists$.
  • Ако је морфизам адиционо јединствен, онда испрекидана линија може да буде обележена са $!$ или $\exists !$.

Ове конвенције су обично довољне, тако да текст углавном не објашњава значење различитих типова стрелица.

Провера комутативности

Коммутативност има смисла за полигон било ког коначног броја страна (укључујући само 1 или 2), а дијаграм је комутативан ако је сваки полигонални потдијаграм комутативан. Треба имати на уму да дијаграм може бити некомутативан, тј. састав различитих путања у дијаграму можда неће дати исти резултат.

Примери

У левом дијаграму, који изражава прву теорему изоморфизма, комутативност троугла значи да је $f={\tilde {f}}\circ \pi$. У десном дијаграму комутативност квадрата значи $h\circ f=k\circ g$.

Да би дијаграм испод био комутативан, морају бити задовољене три једнакости:

1. $r\circ h\circ g=H\circ G\circ l$
2. $m\circ g=G\circ l$
3. $r\circ h=H\circ m$

Овде, пошто прва једнакост следи из задње две, довољно је показати да су (2) и (3) истините да би дијаграм био комутативан. Међутим, пошто једнакост (3) генерално не произилази из друге две, у општем случају није довољно имати само једнакости (1) и (2) да би се показало да је дијаграм комутативан.

Праћење дијаграма

Праћење дијаграма (која се такође назива дијаграмском претрагом) је метода математичког доказа која се нарочито користи у хомолошкој алгебри, где се успоставља својство неког морфизма проналазећи елементе комутативног дијаграма. Доказ помоћу дијаграма обично укључује формалну употребу својстава дијаграма, као што су ињективне или сурјективне мапе, или тачне секвенце. Конструише се силогизам за који је графички приказ дијаграма само визуелно помагало. Из тога следи да се врши „претрага” елемената на дијаграму, све док се не конструише или потврди жељени елемент или резултат.

Примери доказа помоћу дијаграмског праћења укључују оне који се обично дају за пет лема, змијску лему, зиг-заг лему, и девет лема.

У вишој теорији категорија

Главни чланак: Виша теорија категорија

У вишој теорији категорија, не разматрају се само објекти и стрелице, већ стрелице између стрелица, стрелице између стрелица које су између стрелица, и тако даље ad infinitum. На пример, категорија малих категорија Мачка је природно 2-категорија, са функорима као њеним стрелицама, и природним трансформацијама као стрелицама између функтора. У том окружењу, комутативни дијаграми могу такође да садрже и ове више стрелице, које су често приказују у следећем стилу: $\Rightarrow$. На пример, следећи (помало тривијални) дијаграм приказује две категорије C и D, заједно са два функтора Ф, Г : C → D и природном трансформацијом α : Ф ⇒ Г:

Постоје две врсте композиција у 2-категорији (које се називају вертикална композиција и хоризонтална композиција), а могу се приказати и помоћу дијаграма спајања (пгледајте на пример дефиницију 2-категорије).

Дијаграми као функтори

Главни чланак: Дијаграм (теорија категорија)

Комутативни дијаграм у категорији C може се тумачити као функтор из индексне категорије J до C; овај функтор се назива дијаграм.

Формалније, комутативни дијаграм је визуализација дијаграма индексираног по парцијално уређеној категорији. Такав дијаграм обично укључује:

• чвор за сваки објект из индексне категорије,
• стрелицу за генерисање скупа морфизама (изостављајући мапе идентитета и морфизме који се могу изразити као композиције),
• комутативност дијаграма (једнакост различитих композиција мапа између два објекта), што одговара јединствености мапе између два објекта у парцијално уређеној категорији.

Насупрот томе, дати комутативни дијаграм дефинише парцијално уређену категорију, где су:

• објекти чворови,
• постоји морфизам између било која два објекта ако и само ако постоји (усмерени) пут између чворова,
• са односом да је овај морфизам јединствен (било који састав мапа је дефинисан његовом доменом и циљем: ово је аксиом комутативности).

Међутим, није сваки дијаграм комутативан (појам дијаграма строго генерализује комутативни дијаграм). Једноставан пример је дијаграм једног објекта са ендоморфизмом ($f\colon X\to X$), или са две паралелне стрелице ($\bullet \rightrightarrows \bullet$, то јест, $f,g\colon X\to Y$, што се понекад назива и слободно треперење), као што се користи у дефиницији еквилајзера, не мора да буде комутативан. Даље, дијаграми могу бити збркани или се може десити да их је немогуће нацртати, када је број објеката или морфизама велик (или чак бесконачан).

Види још

• Математички дијаграм

Литература

• Адáмек, Јиří; Хорст Херрлицх; Георге Е. Стрецкер (1990), Абстрацт анд Цонцрете Цатегориес (ПДФ), Јохн Wилеy & Сонс, ИСБН 0-471-60922-6, Архивирано из оригинала (ПДФ) 21. 04. 2015. г., Приступљено 18. 02. 2020  Ноw аваилабле ас фрее он-лине едитион (4.2МБ ПДФ).
• Баркер-Плуммер, Даве; Баилин, Сиднеy C. (1997). „Тхе Роле оф Диаграмс ин Матхематицал Проофс”. Мацхине Грапхицс анд Висион. 6 (1): 25—56. 10.1.1.49.4712.  (Специал Иссуе он Диаграмматиц Репресентатион анд Реасонинг).
• Баркер-Плуммер, Даве; Баилин, Сиднеy C. (2001). „Он тхе працтицал семантицс оф матхематицал диаграмс”. Ур.: Андерсон, M. Реасонинг wитх Диаграмматиц Репресентатионс. Спрингер Верлаг. ИСБН 978-1-85233-242-6. ЦитеСеерX: 10.1.1.30.9246. 
• Кидман, Г. (2002). „Тхе Аццурацy оф матхематицал диаграмс ин цуррицулум материалс”. Ур.: Цоцкбурн, А.; Нарди, Е. Процеедингс оф тхе ПМЕ 26. 3. Университy оф Еаст Англиа. стр. 201—8. 
• Кулпа, Зенон (2004). „Он Диаграмматиц Репресентатион оф Матхематицал Кноwледге”. Ур.: Андрéа Асперти; Банцерек, Грзегорз; Трyбулец, Андрзеј. Матхематицал кноwледге манагемент: тхирд интернатионал цонференце, МКМ 2004, Биаłоwиеżа, Поланд, Септембер 19–21, 2004 : Процеедингс. Спрингер. стр. 191—204. ИСБН 978-3-540-23029-8. 
• Пупхаибоон, К.; Wоодцоцк, А.; Сцривенер, С. (25. 3. 2005). „Десигн метход фор девелопинг матхематицал диаграмс”. Ур.: Буст, Пхилип D.; МцЦабе, П.Т. Цонтемпорарy ергономицс 2005 Процеедингс оф тхе Интернатионал Цонференце он Цонтемпорарy Ергономицс (ЦЕ2005). Таyлор & Францис. ИСБН 978-0-415-37448-4. 
• Барр, Мицхаел; Wеллс, Цхарлес (2012), Цатегорy Тхеорy фор Цомпутинг Сциенце, Репринтс ин Тхеорy анд Апплицатионс оф Цатегориес, 22 (3рд изд.), Архивирано из оригинала 15. 1. 2015. г., Приступљено 12. 10. 2012  Ревисед анд цоррецтед фрее онлине версион оф Грундлехрен дер матхематисцхен Wиссенсцхафтен (278) Спрингер-Верлаг, 1983).
• Барр, Мицхаел; Wеллс, Цхарлес (2005), Топосес, Триплес анд Тхеориес, Репринтс ин Тхеорy анд Апплицатионс оф Цатегориес, 12 (ревисед изд.), МР 2178101 .
• Борцеуx, Францис (1994). Хандбоок оф цатегорицал алгебра. Енцyцлопедиа оф Матхематицс анд итс Апплицатионс 50–52. Цамбридге Университy Пресс. 
• Фреyд, Петер Ј. (1964). Абелиан Цатегориес. Неw Yорк: Харпер анд Роw. 
• Фреyд, Петер Ј.; Сцедров, Андре (1990). Цатегориес, аллегориес. Нортх Холланд Матхематицал Либрарy. 39. Нортх Холланд. ИСБН 978-0-08-088701-2. 
• Голдблатт, Роберт (2006) [1979]. Топои: Тхе Цатегориал Аналyсис оф Логиц. Студиес ин логиц анд тхе фоундатионс оф матхематицс. 94 (Репринт, ревисед изд.). Довер Публицатионс. ИСБН 978-0-486-45026-1. 
• Херрлицх, Хорст; Стрецкер, Георге Е. (2007). Цатегорy Тхеорy (3рд изд.). Хелдерманн Верлаг Берлин. ИСБН 978-3-88538-001-6. .
• Касхиwара, Масаки; Сцхапира, Пиерре (2006). Цатегориес анд Схеавес. Грундлехрен дер Матхематисцхен Wиссенсцхафтен. 332. Спрингер. ИСБН 978-3-540-27949-5. 
• Лаwвере, Ф. Wиллиам; Росебругх, Роберт (2003). Сетс фор Матхематицс. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-01060-3. 
• Лаwвере, Ф. W.; Сцхануел, Степхен Хоел (2009) [1997]. Цонцептуал Матхематицс: А Фирст Интродуцтион то Цатегориес (2нд изд.). Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-89485-2. 
• Леинстер, Том (2004). Хигхер Операдс, Хигхер Цатегориес. Хигхер Операдс. Лондон Матх. Социетy Лецтуре Ноте Сериес. 298. Цамбридге Университy Пресс. стр. 448. Бибцоде:2004хохц.боок.....L. ИСБН 978-0-521-53215-0. Архивирано из оригинала 25. 10. 2003. г. Приступљено 3. 4. 2006. 
• Леинстер, Том (2014). Басиц Цатегорy Тхеорy. Цамбридге Университy Пресс. Бибцоде:2016арXив161209375Л. 
• Лурие, Јацоб (2009). Хигхер Топос Тхеорy. Анналс оф Матхематицс Студиес. 170. Принцетон, Њ: Принцетон Университy Пресс. ИСБН 978-0-691-14049-0. МР 2522659. арXив:матх.ЦТ/0608040 . 
• Мац Лане, Саундерс (1998). Цатегориес фор тхе Wоркинг Матхематициан. Градуате Теxтс ин Матхематицс. 5 (2нд изд.). Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-0-387-98403-2. МР 1712872. 
• Мац Лане, Саундерс; Биркхофф, Гарретт (1999) [1967]. Алгебра (2нд изд.). Цхелсеа. ИСБН 978-0-8218-1646-2. 
• Мартини, А.; Ехриг, Х.; Нунес, D. (1996). „Елементс оф басиц цатегорy тхеорy”. Тецхницал Репорт. 96 (5). 
• Маy, Петер (1999). А Цонцисе Цоурсе ин Алгебраиц Топологy. Университy оф Цхицаго Пресс. ИСБН 978-0-226-51183-2. 
• Гуерино, Маззола (2002). Тхе Топос оф Мусиц, Геометриц Логиц оф Цонцептс, Тхеорy, анд Перформанце. Биркхäусер. ИСБН 978-3-7643-5731-3. 
• Педиццхио, Мариа Цристина; Тхолен, Wалтер, ур. (2004). Цатегорицал фоундатионс. Специал топицс ин ордер, топологy, алгебра, анд схеаф тхеорy. Енцyцлопедиа оф Матхематицс анд Итс Апплицатионс. 97. Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-83414-8. Збл 1034.18001. 
• Пиерце, Бењамин C. (1991). Басиц Цатегорy Тхеорy фор Цомпутер Сциентистс. МИТ Пресс. ИСБН 978-0-262-66071-6. 
• Сцхалк, А.; Симмонс, Х. (2005). Ан интродуцтион то Цатегорy Тхеорy ин фоур еасy мовементс (ПДФ). Архивирано из оригинала (ПДФ) 21. 3. 2017. г. Приступљено 19. 2. 2020.  Нотес фор а цоурсе офферед ас парт оф тхе МСц. ин Матхематицал Логиц, Манцхестер Университy.
• Симпсон, Царлос (2010). Хомотопy тхеорy оф хигхер цатегориес. Бибцоде:2010арXив1001.4071С. арXив:1001.4071 . , драфт оф а боок.
• Таyлор, Паул (1999). Працтицал Фоундатионс оф Матхематицс. Цамбридге Студиес ин Адванцед Матхематицс. 59. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-63107-5. 
• Тури, Даниеле (1996—2001). „Цатегорy Тхеорy Лецтуре Нотес” (ПДФ). Приступљено 11. 12. 2009.  Басед он Мац Лане 1998.
• Јеан-Пиерре Марqуис (2008). Фром а Геометрицал Поинт оф Виеw: А Студy оф тхе Хисторy анд Пхилосопхy оф Цатегорy Тхеорy. Спрингер Сциенце & Бусинесс Медиа. ИСБН 978-1-4020-9384-5. 

Спољашње везе

• Diagram Chasing at MathWorld
• WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, morphisms, categories, functors, natural transformations.
• „Диаграмс”. Тхе Станфорд Енцyцлопедиа оф Пхилосопхy. јесен 2008. 
• Кулпа, Зенон. „Диаграмматицс: Тхе арт оф тхинкинг wитх диаграмс”. Архивирано из оригинала 25. 4. 2013. г. 
• Оне оф тхе олдест еxтант диаграмс фром Еуцлид бy Отто Неугебауер
• Ломас, Деннис (1998). „Диаграмс ин Матхематицал Едуцатион: А Пхилосопхицал Аппраисал”. Пхилосопхy оф Едуцатион Социетy. Архивирано из оригинала 2011. г.