Диофант

Диофант из Александрије (стгрч. Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς; живео око 250. не), грчки математичар; открио Диофантове једначине.

Мада је био истакнути математичар свог времена, врло мало се зна о Диофантовом животу. Његов рад је сачуван у шест поглавља Аритметике која су доспела до нас (седам поглавља је изгубљено), која је била вероватно најстарији систематски трактат о алгебри. Понекад се Диофант назива оцем алгебре.^[1] Диофант се првенствено интересовао за теорију бројева и решавање једначина и много допринео напретку алгебре употребом симбола за величине, математичке операције и односе, пре тога су ове величине бивале описиване речима. Можда је најпознатији по свом открићу Диофантових једначина, неодређених једначина с рационалним коефицијентима за које се тражи рационално решење.^[2] Постоји задатак који као решење даје број Диофантових година, а то је уписано на његовом гробу.

Биографија

Мало се зна о животу Диофанта. Живео је у Александрији, Египат, током римске ере, вероватно између 200. и 214. до 284. или 298. године. Историчари су Диофанта на различите начине описали или као Грка,^[3]^[4]^[5] или можда хеленизованог Египћана,^[6] или хеленизованог Вавилонца,^[7] Последње две од ових идентификација могу произаћи из забуне са реторичаром из 4. века Диофантом Арапом.^[8] Велики део нашег знања о Диофантовом животу потиче из грчке антологије игара бројева и загонетки из 5. века коју је створио Метродор. Један од проблема (који се понекад назива и његов епитаф) гласи:

„

Шестину века свог као дете се играо,

и још половину шестине с брадом момачком је дочекао.

Усрећи се женом кад превали још седмину,

с којом после лета пет обрадова се сину.

Вољени син поживи пола очевог века само,

и би стргнут оцу судбом која га узе рано.

Два пута два лета оплакиваше родитељ тугу и очај

кад и он угледа тегобном животу своме крај.

”

Ова загонетка имплицира да се $x$ Диофантовог доба може изразити као

x = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4

што даје $x$ вредност од 84 године. Међутим, тачност информација не може се независно потврдити.

У популарној култури, ова загонетка је била Слагалица бр. 142 у Професору Лејтону и Пандориној кутији као једна од најтежих решавања загонетки у игри, коју је требало откључати решавањем других загонетки прво.

Аритметика

Аритметика је главно Диофантово дело и најистакнутије дело о алгебри у грчкој математици. То је скуп задатака који даје нумеричка решења одређених и неодређених једначина. Од оригиналних тринаест књига од којих се Аритметика састојала само је шест сачувано, мада постоје неки који верују да су четири арапске књиге откривене 1968. такође Диофантове.^[9] Неки диофантски проблеми из Аритметике пронађени су у арапским изворима.

Овде треба напоменути да Диофант у својим решењима никада није користио опште методе. Херман Ханкел, познати немачки математичар, дао је следећу примедбу у вези са Диофантом.

„Наш аутор (Диофант) не даје се ни најмањи траг опште, свеобухватне методе; сваки проблем захтева неки посебан метод који одбија да ради чак и за најтеже повезане проблеме. Због тога је модерном научнику тешко да реши 101. проблем чак и након што је проучио 100 Диофантових решења”.^[10]

Други радови

Диофант је написао још неколико књига поред Аритметике, али је врло мало њих преживело.

Поризми

Сам Диофант се позива на дело које се састоји од збирке лема под називом Поризми (или Поризмата), али ова књига је у потпуности изгубљена.^[11]

Иако су Поризми изгубљени, познате су три леме које су се тамо налазе, пошто их Диофант помиње у Аритметици. Једна лема наводи да је разлика кубова два рационална броја једнака збиру кубова два друга рационална броја, тј. за било које $a$ и $b$ , са $a > b$ , постоје $c$ и $d$ , сви од којих су позитивни и рационални, тако да

a 3 - b 3 = c 3 + d 3

.

Полигонални бројеви и геометријски елементи

Познато је и да је Диофант писао о полигоналним бројевима, што је тема од великог интереса за Питагору и Питагорејце.^[12]^[13] Сачувани су фрагменти књиге која се бави полигоналним бројевима.^[14]

Књига под називом Прелиминари геометријских елемената традиционално се приписује Херону од Александрије. Недавно ју је проучавао Вилбур Нор, који је сугерисао да је приписивање Херон нетачно и да је прави аутор Диофант.^[15]

Референце

^ „HELLENISTIC MATHEMATICS - DIOPHANTUS”. The Story of Mathematics. Приступљено 16. 1. 2020.
^ Katz, Mikhail G.; Schaps, David; Shnider, Steve (2013), „Almost Equal: The Method of Adequality from Diophantus to Fermat and Beyond”, Perspectives on Science, 21 (3): 283—324, Bibcode:2012arXiv1210.7750K, S2CID 57569974, arXiv:1210.7750  , doi:10.1162/POSC_a_00101
^ Research Machines plc. (2004). The Hutchinson dictionary of scientific biography. Abingdon, Oxon: Helicon Publishing. стр. 312. „Diophantus (lived c. A.D. 270-280) Greek mathematician who, in solving linear mathematical problems, developed an early form of algebra.”
^ Boyer, Carl B. (1991). „Revival and Decline of Greek Mathematics”. A History of Mathematics (Second изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 178. ISBN 0-471-54397-7. „At the beginning of this period, also known as the Later Alexandrian Age, we find the leading Greek algebraist, Diophantus of Alexandria, and toward its close there appeared the last significant Greek geometer, Pappus of Alexandria.”
^ Cooke, Roger (1997). „The Nature of Mathematics”. The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. стр. 7. ISBN 0-471-18082-3. „Some enlargement in the sphere in which symbols were used occurred in the writings of the third-century Greek mathematician Diophantus of Alexandria, but the same defect was present as in the case of Akkadians.”
^ Victor J. Katz (1998). A History of Mathematics: An Introduction. , p. 184. Addison Wesley, ISBN 0-321-01618-1.
"But what we really want to know is to what extent the Alexandrian mathematicians of the period from the first to the fifth centuries C.E. were Greek. Certainly, all of them wrote in Greek and were part of the Greek intellectual community of Alexandria. And most modern studies conclude that the Greek community coexisted [...] So should we assume that Ptolemy and Diophantus, Pappus and Hypatia were ethnically Greek, that their ancestors had come from Greece at some point in the past but had remained effectively isolated from the Egyptians? It is, of course, impossible to answer this question definitively. But research in papyri dating from the early centuries of the common era demonstrates that a significant amount of intermarriage took place between the Greek and Egyptian communities [...] And it is known that Greek marriage contracts increasingly came to resemble Egyptian ones. In addition, even from the founding of Alexandria, small numbers of Egyptians were admitted to the privileged classes in the city to fulfill numerous civic roles. Of course, it was essential in such cases for the Egyptians to become "Hellenized" to adopt Greek habits and the Greek language. Given that the Alexandrian mathematicians mentioned here were active several hundred years after the founding of the city, it would seem at least equally possible that they were ethnically Egyptian as that they remained ethnically Greek. In any case, it is unreasonable to portray them with purely European features when no physical descriptions exist."
^ D. M. Burton (1991, 1995). History of Mathematics, Dubuque, IA (Wm.C. Brown Publishers).
"Diophantos was most likely a Hellenized Babylonian."
^ Ad Meskens. Travelling Mathematics: The Fate of Diophantos' Arithmetic. (Springer, 2010), p. 48 n28.
^ J. Sesiano (1982). Books IV to VII of Diophantus' Arithmetica in the Arabic Translation Attributed to Qusta ibn Luqa. New York/Heidelberg/Berlin: Springer-Verlag. стр. 502.
^ Hankel H., “Geschichte der mathematic im altertum und mittelalter, Leipzig, 1874. (translated to English by Ulrich Lirecht in Chinese Mathematics in the thirteenth century, Dover publications, New York, 1973.
^ G. J. Toomer; Reviel Netz (20. 12. 2012). „Diophantus”. Ур.: Simon Hornblower; Anthony Spawforth; Esther Eidinow. Oxford Classical Dictionary (4th изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-954556-8.
^ „Archived copy” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 2011-06-15. г. Приступљено 2010-06-13.
^ „Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 29. 05. 2013. г. Приступљено 04. 09. 2022.
^ „Diophantus biography”. www-history.mcs.st-and.ac.uk. Приступљено 10. 4. 2018.
^ Knorr, Wilbur: Arithmêtike stoicheiôsis: On Diophantus and Hero of Alexandria. Historia Matematica, New York. 20 (2): 180—192. 1993. Недостаје или је празан параметар |title= (помоћ)

Литература

Allard, A. "Les scolies aux arithmétiques de Diophante d'Alexandrie dans le Matritensis Bibl.Nat.4678 et les Vatican Gr.191 et 304" Byzantion 53. Brussels, 1983: 682–710.
Bachet de Méziriac, C.G. Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex et De numeris multangulis liber unus. Paris: Lutetiae. 1621. .
Bashmakova, Izabella G. Diophantos. Arithmetica and the Book of Polygonal Numbers. Introduction and Commentary Translation by I.N. Veselovsky. Moscow: Nauka [in Russian].
Christianidis, J. "Maxime Planude sur le sens du terme diophantien "plasmatikon"", Historia Scientiarum, 6 (1996)37-41.
Christianidis, J. "Une interpretation byzantine de Diophante", Historia Mathematica, 25 (1998) 22–28.
Czwalina, Arthur. Arithmetik des Diophantos von Alexandria. Göttingen, 1952.
Heath, Sir Thomas, Diophantos of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra, Cambridge: Cambridge University Press, 1885, 1910.
Robinson, D. C. and Luke Hodgkin. History of Mathematics, King's College London, 2003.
Rashed, Roshdi. L’Art de l’Algèbre de Diophante. éd. arabe. Le Caire : Bibliothèque Nationale, 1975.
Rashed, Roshdi. Diophante. Les Arithmétiques. Volume III: Book IV; Volume IV: Books V–VII, app., index. Collection des Universités de France. Paris (Société d’Édition “Les Belles Lettres”), 1984.
Sesiano, Jacques. The Arabic text of Books IV to VII of Diophantus’ translation and commentary. Thesis. Providence: Brown University, 1975.
Sesiano, Jacques (1982). Books IV to VII of Diophantus' Arithmetica. Sources in the History of Mathematics and Physical Sciences. 3. ISBN 978-1-4613-8176-1. doi:10.1007/978-1-4613-8174-7. .
Σταμάτης, Ευάγγελος Σ. Διοφάντου Αριθμητικά. Η άλγεβρα των αρχαίων Ελλήνων. Αρχαίον κείμενον – μετάφρασις – επεξηγήσεις. Αθήναι, Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων, 1963.
Tannery, P. L. Diophanti Alexandrini Opera omnia: cum Graecis commentariis, Lipsiae: In aedibus B.G. Teubneri, 1893-1895 (online: vol. 1, vol. 2)
Ver Eecke, P. Diophante d’Alexandrie: Les Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones, Bruges: Desclée, De Brouwer, 1921.
Wertheim, G. Die Arithmetik und die Schrift über Polygonalzahlen des Diophantus von Alexandria. Übersetzt und mit Anmerkungen von G. Wertheim. Leipzig, 1890.
Bashmakova, Izabella G. "Diophante et Fermat" Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), pp. 289-306
Bashmakova, Izabella G. Diophantus and Diophantine Equations. Moscow: Nauka 1972 [in Russian]. German translation: Diophant und diophantische Gleichungen. Birkhauser, Basel/ Stuttgart, 1974. English translation: Diophantus and Diophantine Equations. Translated by Abe Shenitzer with the editorial assistance of Hardy Grant and updated by Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
Bashmakova, Izabella G. “Arithmetic of Algebraic Curves from Diophantus to Poincaré,” Historia Mathematica 8 (1981), 393–416.
Bashmakova, Izabella G., Slavutin, E.I. History of Diophantine Analysis from Diophantus to Fermat. Moscow: Nauka 1984 [in Russian].
Heath, Sir Thomas (1981). A history of Greek mathematics. 2. Cambridge University Press: Cambridge.
Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. Les Arithmétiques de Diophante : Lecture historique et mathématique, Berlin, New York : Walter de Gruyter, 2013.
Rashed, Roshdi, Histoire de l’analyse diophantienne classique : D’Abū Kāmil à Fermat, Berlin, New York : Walter de Gruyter.
Vogel, Kurt (1970). „Diophantus of Alexandria”. Dictionary of Scientific Biography. 4. New York: Scribner.
Wells, David (4. 9. 1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Penguin. ISBN 0-14-026149-4. Текст „pages ” игнорисан (помоћ)
F. Tapson (1999). The Oxford Mathematics Study Dictionary (2nd изд.). Oxford University Press. стр. 88–89. ISBN 0-19-914-567-9.

Спољашње везе

O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Диофант”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Диофант”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.
Diophantus's Riddle Diophantus' epitaph, by E. Weisstein
Norbert Schappacher (2005). Diophantus of Alexandria : a Text and its History.
Review of Sesiano's Diophantus Review of J. Sesiano, Books IV to VII of Diophantus' Arithmetica, by Jan P. Hogendijk
Latin translation from 1575 by Wilhelm Xylander
Polygonal numbers at PlanetMath Архивирано на сајту Wayback Machine (20. фебруар 2016)
Weisstein, Eric W. „Polygonal Numbers”. MathWorld.

[1] „HELLENISTIC MATHEMATICS - DIOPHANTUS”. The Story of Mathematics. Приступљено 16. 1. 2020.

[2] Katz, Mikhail G.; Schaps, David; Shnider, Steve (2013), „Almost Equal: The Method of Adequality from Diophantus to Fermat and Beyond”, Perspectives on Science, 21 (3): 283—324, Bibcode:2012arXiv1210.7750K, S2CID 57569974, arXiv:1210.7750  , doi:10.1162/POSC_a_00101

[Dictionary_of_Scientific_Biography-3] Research Machines plc. (2004). The Hutchinson dictionary of scientific biography. Abingdon, Oxon: Helicon Publishing. стр. 312. „Diophantus (lived c. A.D. 270-280) Greek mathematician who, in solving linear mathematical problems, developed an early form of algebra.”

[4] Boyer, Carl B. (1991). „Revival and Decline of Greek Mathematics”. A History of Mathematics (Second изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 178. ISBN 0-471-54397-7. „At the beginning of this period, also known as the Later Alexandrian Age, we find the leading Greek algebraist, Diophantus of Alexandria, and toward its close there appeared the last significant Greek geometer, Pappus of Alexandria.”

[5] Cooke, Roger (1997). „The Nature of Mathematics”. The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. стр. 7. ISBN 0-471-18082-3. „Some enlargement in the sphere in which symbols were used occurred in the writings of the third-century Greek mathematician Diophantus of Alexandria, but the same defect was present as in the case of Akkadians.”

[Katz_184-6] Victor J. Katz (1998). A History of Mathematics: An Introduction. , p. 184. Addison Wesley, ISBN 0-321-01618-1.
"But what we really want to know is to what extent the Alexandrian mathematicians of the period from the first to the fifth centuries C.E. were Greek. Certainly, all of them wrote in Greek and were part of the Greek intellectual community of Alexandria. And most modern studies conclude that the Greek community coexisted [...] So should we assume that Ptolemy and Diophantus, Pappus and Hypatia were ethnically Greek, that their ancestors had come from Greece at some point in the past but had remained effectively isolated from the Egyptians? It is, of course, impossible to answer this question definitively. But research in papyri dating from the early centuries of the common era demonstrates that a significant amount of intermarriage took place between the Greek and Egyptian communities [...] And it is known that Greek marriage contracts increasingly came to resemble Egyptian ones. In addition, even from the founding of Alexandria, small numbers of Egyptians were admitted to the privileged classes in the city to fulfill numerous civic roles. Of course, it was essential in such cases for the Egyptians to become "Hellenized" to adopt Greek habits and the Greek language. Given that the Alexandrian mathematicians mentioned here were active several hundred years after the founding of the city, it would seem at least equally possible that they were ethnically Egyptian as that they remained ethnically Greek. In any case, it is unreasonable to portray them with purely European features when no physical descriptions exist."

[7] D. M. Burton (1991, 1995). History of Mathematics, Dubuque, IA (Wm.C. Brown Publishers).
"Diophantos was most likely a Hellenized Babylonian."

[AM-8] Ad Meskens. Travelling Mathematics: The Fate of Diophantos' Arithmetic. (Springer, 2010), p. 48 n28.

[Books_IV-VII_of_Diophantus'_Arithmetica-9] J. Sesiano (1982). Books IV to VII of Diophantus' Arithmetica in the Arabic Translation Attributed to Qusta ibn Luqa. New York/Heidelberg/Berlin: Springer-Verlag. стр. 502.

[10] Hankel H., “Geschichte der mathematic im altertum und mittelalter, Leipzig, 1874. (translated to English by Ulrich Lirecht in Chinese Mathematics in the thirteenth century, Dover publications, New York, 1973.

[11] G. J. Toomer; Reviel Netz (20. 12. 2012). „Diophantus”. Ур.: Simon Hornblower; Anthony Spawforth; Esther Eidinow. Oxford Classical Dictionary (4th изд.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-954556-8.

[siam_07-003s-12] „Archived copy” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 2011-06-15. г. Приступљено 2010-06-13.

[13] „Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 29. 05. 2013. г. Приступљено 04. 09. 2022.

[14] „Diophantus biography”. www-history.mcs.st-and.ac.uk. Приступљено 10. 4. 2018.

[15] Knorr, Wilbur: Arithmêtike stoicheiôsis: On Diophantus and Hero of Alexandria. Historia Matematica, New York. 20 (2): 180—192. 1993. Недостаје или је празан параметар |title= (помоћ)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]