Podudarnost (geometrija)
U geometriji dve figure su podudarne ako imaju istu veličinu i oblik, ili ako jedna ima isti oblik i veličinu kao slika u ogledalu druge.[3] Dva skupa tačaka su podudarna ako postoji preslikavanje kojim se taj skup preslikava u drugi skup, a da se pri tom ne menja veličina i oblik.
Podudarnost se označava sa
Podudaran ima značenje:[4]
Određivanje podudarnosti poligona
уредиDa bi dva poligona bila podudarna, moraju imati jednak broj stranica (a samim tim i jednak broj – isti broj – temena). Dva poligona sa n strana su podudarna ako i samo ako svaki od njih ima numerički identične nizove (čak i ako u smeru kazaljke na satu za jedan poligon i suprotno od kazaljke na satu za drugi) stranica-ugao-stranica-ugao- ... za n stranica i n uglova.
Kongruencija poligona može se grafički utvrditi na sledeći način:
- Prvo, uparite i označite odgovarajuće vrhove dve figure.
- Drugo, nacrtajte vektor od jednog od vrhova jedne od figura do odgovarajućeg temena druge figure. Translirajte prvu figuru ovim vektorom tako da se ova dva temena poklapaju.
- Treće, rotirajte transliranu figuru oko podudarnog temena dok se jedan par odgovarajućih strana ne poklopi.
- Četvrto, odrazite rotiranu figuru oko ove uparene strane dok se brojke ne poklope.
Ako u bilo kom trenutku korak ne može da se završi, poligoni nisu podudarni.
Aksiomi podudarnosti
уредиAksiomi podudarnosti opisuju osnovne karakteristike relacije podudarnosti parova tačaka. Ovu relacija se uvodi kao polazni pojam.
- Aksiom 1
Ako je i , tada je i .
- Aksiom 2
Za svake dve tačke i je .
- Aksiom 3
Ako je i tada je
- Aksiom 4
Ako su C i C' tačke otvorenih duži AB i A'B', takve da je i , tada je i
- Aksiom 5
Ako su A i B dve tačke i CX poluprava tada na toj polupravoj postoji tačka D takva da je
- Aksiom 6
Ako su A, B, C tri nekolinearne tačke i tačke ruba neke poluravni , takve da je tada u toj poluravni postoji jedinstvena tačka C' takva da je i
- Aksiom 7
Ako su A, B, C i A', B', C' dve trojke nekolinearnih tačaka i D i D' tačke polupravih BC i B'C' takve da je , , i , tada je i
Relacija podudarnosti parova tačaka je relacija ekvivalencije.
- relacija je refleksivna.
- Neka je [ ] => relacija je simetrična
- i [sledi na osnovu simetričnosti]
- Teorema 1
Ako su A i B dve tačke i CX poluprava tada na toj polupravoj postoji jedinstvena tačka D takva da je '
- Teorema 2
Ako su A,B,C tri razne tačke prave p i A',B' dve tačke prave p' takve da je , tada postoji jedinstvena tačka C' takva da je A',B' i .
Pri tome, tačka C' pripada pravoj p' i:
- ako je , tada je
- ako je , tada je
- ako je , tada je
- Definicija 1
Kaže se da je uređena n-torka tačaka podudarna sa n-torkom u oznaci
ako je za svako
- Definicija 2
Neka su A i B dve razne tačke neke ravni . Skup svih tačaka te ravni takvih da je , naziva se krug, u oznaci , sa centrom A i čiji je poluprečnik duž AB.
Podudarnost duži
уредиAko su dve duži AB i CD su podudarne, to može se označiti sa
- Teorema 3
,
- Definicija 3
Tačka S je središte duži , ako pripada toj duži i važi
- Teorema 4
Za svaku duž postoji jedinstveno središte.
- Definicija 4
Duž AB je manja od duži CD u oznaci AB < CD ako unutar duži CD postoji tačka E takva da je AB ≅ CE. Takođe u tom slučaju se kaže i da je duž CD veća od duži AB u oznaci CD > AB.
- Definicija 5
Duž EF jednaka je zbiru duži AB i CD u oznaci EF = AB + CD, ako unutar duži EF postoji tačka G takva da je AB≅EG CD ≅GF.
Na isti način definišu se razlika, proizvod duži i prirodnog broja, proizvod duži iracionalnog broja
Podudarnost uglova, pravi uglovi, relacija normalnosti pravih
уредиDva konveksna ili konkavna ugla i su podudarna ako i samo ako na kracima i , redom postoje tačke takve da je: ).
- Teorema 5
- Unakrsni uglovi su međusobno podudarni.
- Za svaki ∠pq i svaku polupravu p' neke ravni, postoji u poluravni određenoj pravom koja sadrži p', jedinstvena poluprava q' takva da ∠pq ≅ ∠p'q'.
- Teorema 6
Svaki ugao ima jedinstvenu bisektrisu
- Definicija 5
Ugao AOB je manji od ugla CSD u oznaci ako unutar ugla CSD postoji poluprava SE takva da je . U tom slučaju kažemo ia je ugao CSD veći od ugla AOB u oznaci .
- Definicija 6
Uglom dve mimoilazne prave p i q u prostoru naziva se ugao koji određuju njima paralelene prave a i b koje se seku u nekoj tački O. Specijalno, ako je ugao dve mimoilazne prave u prostoru prav, tada se kaže da su prave i normalne među sobom, i simbolički označavamo sa
- Teorema 7
- Ugao podudaran nekom pravom uglu takođe je prav.
- Pravi uglovi su među sobom podudarni.
- Postoji jedna i samo jedna prava koja seče svaku od dve mimoilazne prave a i b pod pravim uglom.
Podudarnost poligona
уредиDva podudarna poligona imaju isti broj stranica i vrhova.[5]
Dva poligoni sa n strana su podudarna, ako i samo ako svaki od njih ima odgovarajuće stranice i uglove jednake.
Podudarnost nekih pravilnih četvorouglova
уреди- Dva paralelograma su podudarna ako su im podudarne dve susedne ivice i jedan ugao.
- Dva pravougaonika su podudarna ako su im podudarne dve susedne ivice.
- Dva romba su podudarna ako su im podudarne jedna ivica i jedan ugao
- Dva kvadrata su podudarna ako su im podudarne stranice.
Podudarnost trouglova
уредиDva trougla su podudarna ako su njihove odgovarajuće stranice jednake dužine, odgovarajući uglovi jednake veličine. Da su dva trougla ABC i DEF podudarni zapisuje se
Određivanje podudarnostosti
уреди- SUS
Dva trougla su podudarna ako su dve ivice i njima zahvaćeni ugao jednog trougla podudarni sa odgovarajućim ivicama i uglovima drugog trougla, tj:
- SSS
Dva trougla su podudarna ako su im odgovarajuće ivice podudarne, tj.
Dokaz:
Neka su ABC, A'B'C' dva trougla takva da je . Tada su i odgovarajući parovi tačaka podudarni tj.
Postoji izometrija te ravni, koja tačke A,B,C preslikava redom u tačke A', B', C'. Izometrije čuvaju raspored, pa se odgovarajuće ivice jednog trougla preslikavaju u odgovarajuće ivice drugog trougla. Izometrija preslikava trougao ABC u trougao A'B'C', pa je
- USU
Dva trougla su podudarna ako su jedna ivica i na njoj nalegli uglovi jednog trougla podudarni sa odgovarajućom ivicom i odgovarajućim uglovima drugog trougla, tj:
- SSU
Dva trougla su podudarna ako su dve ivice i ugao naspram jedne od njih jednog trougla podudarni sa odgovarajućim stranicama i odgovarajućim uglom drugog trougla.[6]
Reference
уреди- ^ Venema 2006, p. 122
- ^ Henderson & Taimiṇa 2005, p. 123
- ^ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Congruent Figures” (PDF). Addison-Wesley. стр. 167. Архивирано из оригинала 29. 10. 2013. г. Приступљено 02. 06. 2017.
- ^ „Congruence”. Math Open Reference. 2009. Приступљено 02. 06. 2017.
- ^ Congruent Polygons
- ^ „SSS”. Архивирано из оригинала 31. 05. 2016. г. Приступљено 29. 12. 2018.
Literatura
уреди- Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry, Second edition. Wiley. ISBN 9780471504580.
- Boyer, C.B. (1991) [1989]. A History of Mathematics (Second edition, revised by Uta C. Merzbach изд.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
- Cooke, Roger (2005), The History of Mathematics:, New York: Wiley-Interscience, 632 pages, ISBN 978-0-471-44459-6
- Hayashi, Takao (2003), „Indian Mathematics”, Ур.: Grattan-Guinness, Ivor, Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, 1, Baltimore, MD: The Johns Hopkins University Press, 976 pages, стр. 118—130, ISBN 978-0-8018-7396-6
- Hayashi, Takao (2005), „Indian Mathematics”, Ур.: Flood, Gavin, The Blackwell Companion to Hinduism, Oxford: Basil Blackwell, 616 pages, стр. 360—375, ISBN 978-1-4051-3251-0
- Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, translator and editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
- Jay Kappraff, A Participatory Approach to Modern Geometry, World Scientific Publishing. 2014. ISBN 978-981-4556-70-5..
- Leonard Mlodinow, Euclid's Window – The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace, UK edn. Allen Lane, 1992.
- Henderson, David W.; Taimina, Daina (2005), Experiencing Geometry/Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd изд.), Pearson Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-143748-7
- Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W.H. Freeman and Co., ISBN 978-0-7167-0456-0
- Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry/A Comprehensive Course, Dover, ISBN 978-0-486-65812-4
- Sibley, Thomas Q. (1998), The Geometric Viewpoint/A Survey of Geometries, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87450-1
- Smart, James R. (1998), Modern Geometries (5th изд.), Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-35188-5
- Stahl, Saul (2003), Geometry/From Euclid to Knots, Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-032927-1
- Venema, Gerard A. (2006), Foundations of Geometry, Pearson Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-143700-5
- Yale, Paul B. (1968), Geometry and Symmetry, Holden-Day
- Judith N. Cederberg (1989, 2001) A Course in Modern Geometries, Chapter 3.12 Similarity Transformations, pp. 183–9, Springer. ISBN 978-0-387-98972-3. .
- Günter Ewald (1971) Geometry: An Introduction, pp. 106, 181, Wadsworth Publishing.
- George E. Martin (1982) Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry, Chapter 13 Similarities in the Plane, pp. 136–46, Springer. ISBN 978-0-387-90636-2. .
Spoljašnje veze
уреди- Geometrija
- The SSS at Cut-the-Knot
- The SSA at Cut-the-Knot
- Interactive animations demonstrating Congruent polygons, Congruent angles, Congruent line segments, Congruent triangles at Math Open Reference