Френелови интеграли

Френелови интеграли $S(x)$ и $C(x)$ представљају две математичке трансцедентне функције, које је Огистен Жан Френел користио у оптици. Користе се да опишу Френелову дифракцију, а дефинисане су следећим интегралима: $S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt.$

Истовременим параметарским цртежом оба интеграла добија се Ојлерова спирала.

Дефиниција

$S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}},$

$C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.$

Неки аутори користе ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ као аргумент у интегралу приликом дефиниције $S(x)$ и $C(x)$. Тада се интеграли множе са ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$, а аргумент x са $({\frac {\pi }{2}})^{1/2}$.

Ојлерова спирала

Ојлерова спирала

Ојлерова спирала позната је и као Корнуова спирала или клотоида, а добија се параметарским приказом $S(t)$ према $C(t)$. Помоћу дефиниција Френелових интеграла за dx и dy добија се:

$dx=C'(t)dt=\cos(t^{2})dt\,$

$dy=S'(t)dt=\sin(t^{2})dt\,$

Дужина спирале мерена из исходишта може да се представи као:

$L=\int _{0}^{t}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{0}^{t}{dt}=t$

Својства

• $S(x)$ и $C(x)$ су непарне функције
• Френелови интеграли могу да се изразе преко $\operatorname {erf} (x)$ функција грешке:

$S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)$

$C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right).$

• Интеграли не могу да се израчунају у затвореној форми помоћу елементарних функција, сем у специјалним случајевима. Како x тежи бесконачности добија се:

$\int _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.$

Генерализација

$\int _{0}^{\infty }\sin(x^{a})\ dx={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{a}}\right)\sin({\frac {\pi }{2a}})}{a}}$

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. 1965. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Френелови интеграли