Тродимензионални простор

Тродиомензионални простор (скраћено 3Д простор или само 3Д) је простор, који има три димензије, или је то простор који је дефинисан са три димензије. То је геометријска поставка у којој су потребне три вредности (зване параметри) да би се одредио положај елемента (тј. тачке). Ово је неформално значење термина димензија.

У физици и математици, низ од $n$ бројева може се разумети као локација у $n$ -димензионалном простору. Када је $n = 3$ , скуп свих таквих локација назива се тродимензионални еуклидски простор. Обично је представљен симболом $ℝ 3$ . Ово служи као трипараметарски модел физичког свемира (то је просторни део, са изостављеним временом) у којем постоји сва позната материја. Међутим, овај простор је само један пример велике разноликости простора у три димензије који се називају 3-многострукости. У овом класичном примеру, када се три вредности односе на мерења у различитим правцима (координатама), могу се одабрати било која три смера, под условом да вектори у тим смеровима не леже у истом 2-простору (равни). Даље, у овом случају ове три вредности могу се означити било којом комбинацијом три термина међу појмовима ширина, висина, дубина и дужина.

У Еуклидовој геометрији

Координатни систем

У математици, аналитичка геометрија (такође позната као катезијанска геометрија) описује сваку тачку у тродимензионалном простору помоћу три координате. Дате су три координатне осе, свака од којиј је нормална на друге две. Оне се пресецају у координатном почетку. Оне се обично обележавају $x, y$ , и $z$ . У односу на ове осе, положај било које тачке у тродимензионалном простору дат је уређеним триплетом реалних бројева, при чему сваки број даје удаљеност те тачке од координатног почетка, мерену дуж дате осе, која је једнака удаљености те тачка од равни која је одређена са друге две осе.^[1]

Остале популарне методе описа локације тачке у тродимензионалном простору укључују цилиндричне координате и сферне координате, мада постоји неограничен број могућих метода. Погледајте Еуклидски простор.

Горе поменути системи су илустровани на следећим сликама.

Линије и равни

Две различите тачке увек одређују (праву) линију. Три различите тачке су или колинеарне или одређују јединствену раван. Четири различите тачке могу бити колинеарне, копланарне или одредиђивати цео простор.

Двије различите линије могу се пресецати, бити паралелне или мимоилазеће. Две паралелне линије, или две пресецајуће линије, леже у јединственој равни, док се мимоилазеће линије не пресецају и не леже у заједничкој равни.

Две различите равни се могу састати у заједничкој линији или су паралелне (не пресецају се). Три различите равни, од којих ниједан пар није паралелан, могу се састати у заједничкој линији, састати се у јединственој заједничкој тачки или немају заједничку тачку. У последњем случају, три линије пресека сваког пара равни су међусобно паралелне.

Линија може да лежи у датој равни, пресеца дату раван у јединственој тачки или да буде паралелна са равном. У последњем случају постоје линије у равни које су паралелне са датом линијом.

Хиперраван је подпростор са једном димензијом мање од димензије целог простора. Хиперравни тродимензионалног простора су дводимензионални подпростори, односно равни. У смислу картезијанских координата, тачке хиперравни задовољавају једну линеарну једначину, те су равни у том 3-простору описане линеарним једначинама. Линија се може описати паром независних линеарних једначина, а свака представља раван, које имају ову линију као заједнички пресек.

Варигнонова теорема наводи да средње тачке било ког четвороугла у ℝ³ формирају паралелограм и стога су копланарне.

Сфере и кугле

Перспективна пројекција сфере у две димензије

Сфера у торидимензионалном простору (такође звана 2-сфера јер је она дводимензионални објекат) састоји се од сета свих тачака у тродимензионалном простору на фиксном растојању $r$ од централне тачке $P$ . Чврста материја затворена сфером назива се лопта (или тачније 3-кугла). Запремина сфере је дата са

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}

.

Један други тип сфере настаје из 4-лопте, чија тродимензионална површина је 3-сфера: тачке на једнакој удаљености од координатног почетка еуклидовог простора $ℝ 4$ . Ако тачка има координате, $P (x, y, z, w)$ , онда $x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = 1$ карактерише те тачке на јединици 3-сфере центриране на координатном почетку.

Политопи

У три димензије, постоји девет правилних политопа: пет конвексних Платонских полиедара и четири неконвексна Кеплер-Пуансова полиедра.

Регуларни полипоти у три димензије
Класа	Платонских полиедри					Кеплер-Пуансови полиедри
Симетрија	T_d	O_h		I_h
Коксетерова група	A₃, [3,3]	B₃, [4,3]		H₃, [5,3]
Други	24	48		120
Регуларни полиедар	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	{5/2,5}	{5,5/2}	{5/2,3}	{3,5/2}

Види још

Референце

^ Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Calculus : Single and Multivariable (6 изд.). John wiley. ISBN 978-0470-88861-2.

Литература

Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th изд.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58742-2
Arfken, George B. and Hans J. Weber. Mathematical Methods For Physicists, Academic Press; 6 edition (June 21, 2005). ISBN 978-0-12-059876-2.
Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6
Barenblatt, G. I. (1996), Scaling, Self-Similarity, and Intermediate Asymptotics, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43522-2
Bhaskar, R.; Nigam, Anil (1990), „Qualitative Physics Using Dimensional Analysis”, Artificial Intelligence, 45 (1–2): 73—111, doi:10.1016/0004-3702(90)90038-2
Bhaskar, R.; Nigam, Anil (1991), „Qualitative Explanations of Red Giant Formation”, The Astrophysical Journal, 372: 592—6, Bibcode:1991ApJ...372..592B, doi:10.1086/170003
Boucher; Alves (1960), „Dimensionless Numbers”, Chemical Engineering Progress, 55: 55—64
Bridgman, P. W. (1922), Dimensional Analysis, Yale University Press, ISBN 978-0-548-91029-0
Buckingham, Edgar (1914), „On Physically Similar Systems: Illustrations of the Use of Dimensional Analysis”, Physical Review, 4 (4): 345—376, Bibcode:1914PhRv....4..345B, doi:10.1103/PhysRev.4.345, hdl:10338.dmlcz/101743 
Drobot, S. (1953—1954), „On the foundations of dimensional analysis” (PDF), Studia Mathematica, 14: 84—99, doi:10.4064/sm-14-1-84-99  , Архивирано (PDF) из оригинала 2004-01-16. г.
Gibbings, J.C. (2011), Dimensional Analysis, Springer, ISBN 978-1-84996-316-9
Hart, George W. (1994), „The theory of dimensioned matrices”, Ур.: Lewis, John G., Proceedings of the Fifth SIAM Conference on Applied Linear Algebra, SIAM, стр. 186—190, ISBN 978-0-89871-336-7 As postscript
Hart, George W. (1995), Multidimensional Analysis: Algebras and Systems for Science and Engineering, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94417-3
Huntley, H. E. (1967), Dimensional Analysis, Dover, OCLC 682090763, OL 6128830M, LOC 67-17978
Klinkenberg, A. (1955), „Dimensional systems and systems of units in physics with special reference to chemical engineering: Part I. The principles according to which dimensional systems and systems of units are constructed”, Chemical Engineering Science, 4 (3): 130—140, 167—177, Bibcode:1955ChEnS...4..130K, doi:10.1016/0009-2509(55)80004-8
Langhaar, Henry L. (1951), Dimensional Analysis and Theory of Models, Wiley, ISBN 978-0-88275-682-0
Mendez, P.F.; Ordóñez, F. (септембар 2005), „Scaling Laws From Statistical Data and Dimensional Analysis”, Journal of Applied Mechanics, 72 (5): 648—657, Bibcode:2005JAM....72..648M, CiteSeerX 10.1.1.422.610  , doi:10.1115/1.1943434
Moody, L. F. (1944), „Friction Factors for Pipe Flow”, Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, 66 (671)
Murphy, N. F. (1949), „Dimensional Analysis”, Bulletin of the Virginia Polytechnic Institute, 42 (6)
Perry, J. H.; et al. (1944), „Standard System of Nomenclature for Chemical Engineering Unit Operations”, Transactions of the American Institute of Chemical Engineers, 40 (251)
Pesic, Peter (2005), Sky in a Bottle , MIT Press, стр. 227–8, ISBN 978-0-262-16234-0
Petty, G. W. (2001), „Automated computation and consistency checking of physical dimensions and units in scientific programs”, Software: Practice and Experience, 31 (11): 1067—76, S2CID 206506776, doi:10.1002/spe.401
Porter, Alfred W. (1933), The Method of Dimensions (3rd изд.), Methuen
J. W. Strutt (3rd Baron Rayleigh) (1915), „The Principle of Similitude”, Nature, 95 (2368): 66—8, Bibcode:1915Natur..95...66R, doi:10.1038/095066c0 
Siano, Donald (1985), „Orientational Analysis – A Supplement to Dimensional Analysis – I”, Journal of the Franklin Institute, 320 (6): 267—283, doi:10.1016/0016-0032(85)90031-6
Siano, Donald (1985), „Orientational Analysis, Tensor Analysis and The Group Properties of the SI Supplementary Units – II”, Journal of the Franklin Institute, 320 (6): 285—302, doi:10.1016/0016-0032(85)90032-8
Silberberg, I. H.; McKetta, J. J. Jr. (1953), „Learning How to Use Dimensional Analysis”, Petroleum Refiner, 32 (4): 5 , (5): 147, (6): 101, (7): 129
Tao, Terence (2012). „A mathematical formalisation of dimensional analysis”.
Van Driest, E. R. (март 1946), „On Dimensional Analysis and the Presentation of Data in Fluid Flow Problems”, Journal of Applied Mechanics, 68 (A–34)
Whitney, H. (1968), „The Mathematics of Physical Quantities, Parts I and II”, American Mathematical Monthly, 75 (2): 115—138, 227—256, JSTOR 2315883, doi:10.2307/2315883
Vignaux, GA (1992), „Dimensional Analysis in Data Modelling”, Ур.: Erickson, Gary J.; Neudorfer, Paul O., Maximum entropy and Bayesian methods: proceedings of the Eleventh International Workshop on Maximum Entropy and Bayesian Methods of Statistical Analysis, Seattle, 1991, Kluwer Academic, ISBN 978-0-7923-2031-9
Kasprzak, Wacław; Lysik, Bertold; Rybaczuk, Marek (1990), Dimensional Analysis in the Identification of Mathematical Models, World Scientific, ISBN 978-981-02-0304-7
Giancoli, Douglas C. „1. Introduction, Measurement, Estimating §1.8 Dimensions and Dimensional Analysis”. Physics: Principles with Applications (7th изд.). ISBN 978-0-321-62592-2. OCLC 853154197.

Спољашње везе

Weisstein, Eric W. „Four-Dimensional Geometry”. MathWorld.
Elementary Linear Algebra - Chapter 8: Three-dimensional Geometry Keith Matthews from University of Queensland, 1991

[Hughes-1] Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Calculus : Single and Multivariable (6 изд.). John wiley. ISBN 978-0470-88861-2.

[1]