Петоугао

У геометрији, петоугао (одe грчког πέντε pente са значењем пет и γωνία gonia са значењем угао) многоугао је са пет темена и пет страница. Сума унутрашњих углова једноставног петоугла је 540°.

Петоугао
Једнакостранични петоугао, односно петоугао чијих пет страница има исту дужину
Ивице и темена	5
Унутрашњи угао (степени)	108° (ако је једнакоугаон, укључујући и регуларaн)

Правилни петоугао

Правилни петоугао, стране ($t$), радијус описаног круга ($R$), радијус уписаног круга ($r$), висине (($R+r$)), односа ширина/дијагонала ($\varphi t$)

Правилни петоугао је петоугао код кога су све странице једнаке дужине и сви унутрашњи углови једнаки. Сваки унутрашњи угао правилног петоугла има по 108° (степени), а збир свих унутрашњих углова било ког петоугла износи 540°. Ако му је основна страница дужине $a\,\!$, површина правилног петоугла се одређује формулом $P={\frac {5a^{2}}{4}}\mathop {\mathrm {ctg} } \,{\frac {\pi }{5}}={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 1.72048a^{2}$.

Површина се може израчунати и са
$P={\frac {5}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{5}}=5r^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{5}}$
где је $R$ - полупречник описаног круга, а $r$ - полупречник уписаног круга. Обим петоугла коме је страница дужине $a\,\!$ биће једнак $5a\,\!$. Однос дијагонале и странице петоугла једнак је ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$, што одговара златном пресеку.

Правилан петоугао има пет линија рефлексијске симетрије, и ротациону симетрију реда 5 (кроз 72°, 144°, 216° и 288°). Дијагонале конвексног правилног петоугла су у златном пресеку према његовим страницама. Његова висина (удаљеност од једне стране до супротног врха) и ширина (удаљеност између две најудаљеније раздвојене тачке, која је једнака дужини дијагонале) су дате као

${\text{Висина}}={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}\cdot {\text{Side}}\approx 1.539\cdot {\text{стране}},$

${\text{Ширина}}={\text{Diagonal}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot {\text{стране}}\approx 1.618\cdot {\text{стране}},$

${\text{Ширина}}={\sqrt {2-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\cdot {\text{висине}}\approx 1.051\cdot {\text{висине}},$

${\text{Дијагонала}}=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902R,$

где је R полупречник описаног круга.

Површина конвексног правилног петоугла са дужином странице t је дата са

$A={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}={\frac {{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}t^{2}}{4}}\approx 1.720t^{2}.$

Када је правилан петоугао описан кругом полупречника R, његова дужина ивице t је дата изразом

$t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\sin 36^{\circ }=2R\sin {\frac {\pi }{5}}\approx 1.176R,$

а његова површина је

$A={\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};$

пошто је површина описаног круга $\pi R^{2},$ правилни пентагон испуњава приближно 0,7568 свог описаног круга.

Извођење формуле површине

Површина било ког правилног полигона је:

$A={\frac {1}{2}}Pr$

где је P обим полигона, а r полупречник (еквивалентно апотема). Замена вредности регуларног пентагона за P и r даје формулу

$A={\frac {1}{2}}\cdot 5t\cdot {\frac {t\tan({\frac {3\pi }{10}})}{2}}={\frac {5t^{2}\tan({\frac {3\pi }{10}})}{4}}$

са дужином странице t.

Интрарадијус

Слично сваком правилном конвексном полигону, правилан конвексни петоугао има уписан круг. Апотема, која је полупречник r уписаног круга, правилног петоугла је повезана са дужином странице t помоћу

$r={\frac {t}{2\tan(\pi /5)}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t.$

Тетиве од описаног круга до врхова

Као и сваки правилан конвексни многоугао, правилни конвексни петоугао има описан круг. За правилан петоугао са узастопним врховима A, B, C, D, E, ако је P било која тачка на описаној кружници између тачака B и C, онда је PA + PD = PB + PC + PE.

Тачка у равни

За произвољну тачку у равни правилног петоугла са полупречником круга $R$, чија су растојања до тежишта правилног пентагона и његових пет врхова $L$ и $d_{i}$ респективно, важи

$\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}=5(R^{2}+L^{2}),$

$\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}=5((R^{2}+L^{2})^{2}+2R^{2}L^{2}),$

$\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{6}=5((R^{2}+L^{2})^{3}+6R^{2}L^{2}(R^{2}+L^{2})),$

$\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{8}=5((R^{2}+L^{2})^{4}+12R^{2}L^{2}(R^{2}+L^{2})^{2}+6R^{4}L^{4}).$

Ако су $d_{i}$ растојања од врхова правилног петоугла до било које тачке на његовој описаној кружници, онда је

$3(\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2})^{2}=10\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}.$

Конструкција

Правилни петоугао се може конструисати уз помоћ лењира и шестара. Следећа анимација илуструје корак по корак, једну од могућих конструкција.

Анимирани приказ конструкције петоугла помоћу шестара и лењира

Еуклидов метод

Еуклидов метод за пентагон у датом кругу, коришћење златног троугла, анимација 1 мин 39 s

Правилан петоугао се може конструисати помоћу шестара и лењира, било уписивањем у дати круг, или конструисањем на датој ивици. Овај процес је описао Еуклид у својим Елементима око 300. године п. н. е.

Галерија

• 
  Зграда Пентагона у којој је смештено Министарство одбране САД има облик правилног петоугла.
• 
  Државна ознака за квалитет коришћена у некадашњем Совјетском Савезу имала је модификовани петоугао у својој основи.
• 
  Петоугао се може добити везивањем папирне траке у чвор.

Види још

• Додекаедар

Литература

• Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd изд.). CRC Press. стр. 329. ISBN 1-58488-347-2. 
• DeTemple, Duane W. (фебруар 1991). „Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions” (PDF). The American Mathematical Monthly. 98 (2): 97—108. JSTOR 2323939. doi:10.2307/2323939. Архивирано из оригинала (PDF) 21. 12. 2015. г. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Bagina, Olga (2004), „Tiling the plane with congruent equilateral convex pentagons”, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 105 (2): 221—232, ISSN 1096-0899, MR 2046081, doi:10.1016/j.jcta.2003.11.002  
• Bagina, Olga (2011), Мозаики из выпуклых пятиугольников [Tilings of the plane with convex pentagons], Vestnik (на језику: руски), 4 (48): 63—73, ISSN 2078-1768, Приступљено 29. 1. 2013 
• Bellos, Alex (11. 8. 2015), „Attack on the pentagon results in discovery of new mathematical tile”, The Guardian CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Chavey, D. (1989), „Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings”, Computers & Mathematics with Applications, 17 (1–3): 147–165, doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9  
• Gardner, Martin (1988), „Tiling with Convex Polygons”, Time travel and other mathematical bewilderments, New York: W.H. Freeman, Bibcode:1988ttom.book.....G, ISBN 978-0-7167-1925-0, MR 0905872 
• Gerver, M. L. (2003), „Theorems on tessellations by polygons”, Sbornik: Mathematics, 194 (6): 879—895, Bibcode:2003SbMat.194..879G, doi:10.1070/sm2003v194n06abeh000743 
• Godrèche, C. (1989), „The sphinx: a limit-periodic tiling of the plane”, Journal of Physics A: Mathematical and General, 22 (24): L1163—L1166, Bibcode:1989JPhA...22L1163G, MR 1030678, doi:10.1088/0305-4470/22/24/006 
• Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. (1978), „Isohedral tilings of the plane by polygons”, Commentarii Mathematici Helvetici, 53: 542—571, ISSN 0010-2571, doi:10.1007/bf02566098 
• Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey C. (1987), „Tilings by polygons”, Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman and Company, ISBN 978-0-7167-1193-3, MR 0857454 
• Hirschhorn, M. D.; Hunt, D. C. (1985), „Equilateral convex pentagons which tile the plane” (PDF), Journal of Combinatorial Theory, Series A, 39 (1): 1—18, ISSN 1096-0899, MR 787713, doi:10.1016/0097-3165(85)90078-0 , Приступљено 2020-10-30 
• Kershner, Richard (1968), „On paving the plane”, American Mathematical Monthly, 75 (8): 839—844, ISSN 0002-9890, JSTOR 2314332, MR 0236822, doi:10.2307/2314332 
• Klaassen, Bernhard (2016), „Rotationally symmetric tilings with convex pentagons and hexagons”, Elemente der Mathematik, 71 (4): 137—144, ISSN 0013-6018, arXiv:1509.06297 , doi:10.4171/em/310 
• Mann, Casey; McLoud-Mann, Jennifer; Von Derau, David (2018), „Convex pentagons that admit $i$-block transitive tilings”, Geometriae Dedicata, 194 (1): 141—167, arXiv:1510.01186 , doi:10.1007/s10711-017-0270-9 
• Rao, Michaël (2017), Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane (PDF), arXiv:1708.00274  
• Reinhardt, Karl (1918), Über die Zerlegung der Ebene in Polygone (Dissertation) (на језику: немачки), Borna-Leipzig: Druck von Robert Noske 
• Schattschneider, Doris (1978), „Tiling the plane with congruent pentagons”, Mathematics Magazine, 51 (1): 29—44, ISSN 0025-570X, JSTOR 2689644, MR 0493766, doi:10.2307/2689644, Архивирано из оригинала 11. 12. 2023. г., Приступљено 21. 12. 2021 
• Schattschneider, Doris (1985), „A new pentagon tiler”, Mathematics Magazine, 58 (5): 308, The cover has a picture of the new tiling 
• Sugimoto, Teruhisa; Ogawa, Tohru (2005), „Systematic study of convex pentagonal tilings. I. Case of convex pentagons with four equal-length edges”, Forma, 20: 1—18, MR 2240616, Архивирано из оригинала 04. 03. 2016. г., Приступљено 21. 12. 2021 
• Sugimoto, Teruhisa; Ogawa, Tohru (2009), „Systematic study of convex pentagonal tilings, II: tilings by convex pentagons with four equal-length edges”, Forma, 24 (3): 93—109, MR 2868775, Архивирано из оригинала 22. 08. 2020. г., Приступљено 21. 12. 2021 ; „Errata”. Forma. 25 (1): 49. 2010. , , MR2868824
• Sugimoto, Teruhisa (2012), „Convex pentagons for edge-to-edge tiling, I”, Forma, 27 (1): 93—103, MR 3030316, Архивирано из оригинала 20. 05. 2020. г., Приступљено 21. 12. 2021 
• Wolchover, Natalie (11. 7. 2017), „Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem”, Quanta Magazine 
• Becker, Udo (1994). „Pentagram”. The Continuum Encyclopedia of Symbols. Превод: Garmer, Lance W. New York City: Continuum Books. стр. 230. ISBN 978-0-8264-0644-6. 
• Conway, John Horton; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (април 2008). „Chapter 26, Higher Still: Regular Star-Polytopes”. The Symmetries of Things. Wellesley, Massachusetts: A. K. Peters. стр. 404. ISBN 978-1-56881-220-5. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Ferguson, George Wells (1966) [1954]. Signs and Symbols in Christian Art. New York City: Oxford University Press. стр. 59. OCLC 65081051. 
• Gravrand, Henry (јануар 1990). La civilisation Sereer, Volume II: Pangool. Nouvelles éditions Africaines du Sénégal (на језику: француски). Dakar, Senegal. ISBN 2-7236-1055-1. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Grünbaum, Branko; Shephard, Geoffrey Colin (1987). Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3. 
• Grünbaum, Branko (1994). „Polyhedra with Hollow Faces”. Ур.: Bisztriczky, T.; McMullen, P.; Schneider, A.; Weiss, A. Ivić. Polytopes: Abstract, Convex and Computational. NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Sciences. 440. Dordrecht: Springer Netherlands. стр. 43—70. ISBN 978-94-010-4398-4. doi:10.1007/978-94-011-0924-6_3. 

Спољашње везе

• Петоугао на Mathworld (језик: енглески)
• Дефиниција и особине петоугла, са интерактивном анимацијом (језик: енглески)
• Raul A. Simon, „Approximate Construction of Regular Polygons: Two Renaissance Artists”. Архивирано из оригинала 22. 05. 2011. г.  (језик: енглески)
• Animated demonstration constructing an inscribed pentagon with compass and straightedge.
• „How to construct a regular pentagon”. Архивирано из оригинала 16. 06. 2008. г. CS1 одржавање: Неподобан URL (веза) with only a compass and straightedge.
• „How to fold a regular pentagon”. Архивирано из оригинала 01. 07. 2008. г. CS1 одржавање: Неподобан URL (веза) using only a strip of paper
• „Renaissance artists' approximate constructions of regular pentagons”. Архивирано из оригинала 13. 04. 2021. г. 
• Pentagon. How to calculate various dimensions of regular pentagons.