Основна теорема алгебре

У математици, основна теорема алгебре тврди да сваки полином једне променљиве са комплексним коефицијентима, степена већег или једнаког један има најмање један комплексан корен.^[1]^[2] Еквивалентно, поље комплексних бројева је алгебарски затворено.

Понекада се теорема записује у следећем облику: сваки не-нула полином једне променљиве, са комплексним коефицијентима, има тачно онолико комплексних коренова колики му је степен, уколико се поновљени корени рачунају у свом мултиплицитету. Другим речима, за сваки комплексан полином p степена n > 0 једначина p(z) = 0 има тачно n комплексних решења, рачунајући мултиплицитете. Иако ово на први поглед може изгледати као јачи исказ, представља једноставну последицу другог облика теореме, кроз сукцесивно дељење полинома линеарним факторима.

Упркос имену, није познат ниједан чисто алгебарски доказ ове теореме, и многи математичари верују да такав доказ не постоји.^[3] Осим тога, ова теорема не представља основу модерне алгебре; име јој је дато у време када се алгебра углавном бавила решавањем полиномијалних једначина са реалним или комплексним коефицијентима.^[4]

Историја

Питер Рот је у својој књизи Arithmetica Philosophica (објављеној 1608. у Нирнбергу, од стране Јохана Ланценбергера)^[5] написао да полиномска једначина степена n (са реалним коефицијентима) може имати n решења. Алберт Жирард је у својој књизиL'invention nouvelle en l'Algèbre (објављеној 1629. године) тврдио да полиномска једначина степена n има n решења, али није навео да то морају бити реални бројеви. Надаље, он је додао да његова тврдња важи „осим ако једначина није непотпуна”, чиме је мислио да ниједан коефицијент није једнак 0. Међутим, када је детаљно објаснио на шта мисли, јасно је да он заправо верује да је његова тврдња увек истинита; на пример, он показује да једначина $x^{4}=4x-3,$ иако непотпуна, има четири решења (рачунајући многострукости): 1 (двапут), $-1+i{\sqrt {2}},$ и $-1-i{\sqrt {2}}.$

Као што ће поново бити поменуто у наставку, из основне теореме алгебре следи да се сваки неконстантни полином са реалним коефицијентима може написати као производ полинома са реалним коефицијентима чији су степени или 1 или 2. Међутим, 1702. године Лајбниц је погрешно рекао да се ниједан полином типа $x 4 + a 4$ (са $a$ реалним и различитим од 0) може бити написан на такав начин. Касније је Николас Бернули изнео исту тврдњу у вези са полиномом $x 4 - 4 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 4$ , али је добио писмо од Ојлера 1742. године^[6] у коме је показано да је овај полином једнак

\left(x^{2}-(2+\alpha )x+1+{\sqrt {7}}+\alpha \right)\left(x^{2}-(2-\alpha )x+1+{\sqrt {7}}-\alpha \right),

са $\alpha ={\sqrt {4+2{\sqrt {7}}}}.$ Такође, Ојлер је истакао да

x^{4}+a^{4}=\left(x^{2}+a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2}\right)\left(x^{2}-a{\sqrt {2}}\cdot x+a^{2}\right).

Први покушај доказивања теореме направио је д'Аламбер 1746. године, али је његов доказ био непотпун. Између осталих проблема, имплицитно је претпоставио теорему (сада познату као Пуизова теорема), која ће бити доказана тек више од једног века касније и коришћењем основне теореме алгебре. Друге покушаје чинили су Ојлер (1749), де Фонсене (1759), Лагранж (1772) и Лаплас (1795). Ова последња четири покушаја су имплицитно претпостае Жирарову тврдњу; тачније, претпостављено је постојање решења и остало је само да се докаже да је њихов облик a + bi за неке реалне бројеве a и b. У модерним терминима, Ојлер, де Фонсене, Лагранж и Лаплас су претпостављали постојање поља цепања полинома p(z).

Крајем 18. века објављена су два нова доказа која нису претпостављала постојање корена, али ни један није био потпун. Један од њих, захваљујући Џејмсу Вуду и углавном алгебарски, објављен је 1798. године и потпуно је игнорисан. Вудов доказ је имао алгебарски јаз.^[7] Други је објавио Гаус 1799. године и био је углавном геометријски, али је имао тополошки пропуст, који је попунио тек Александар Островски 1920. године, о чему је дискутовао Смајл (1981).^[8]

Први ригорозни доказ објавио је Арганд, аматерски математичар, 1806. (и ревидирао га је 1813);^[9] такође је овде, по први пут, изнета основна теорема алгебре за полиноме са комплексним коефицијентима, уместо само реалним коефицијентима. Гаус је направио још два доказа 1816. и још једну непотпуну верзију свог оригиналног доказа 1849. године.

Први уџбеник који је садржао доказ теореме био је Кошијев Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). То дело је садржало Аргандов доказ, иако Арганду нису приписане заслуге за то.

Ниједан од до сада наведених доказа није био конструктиван. Вајерштрас је први пут покренуо, средином 19. века, проблем проналажења конструктивног доказа основне теореме алгебре. Своје решење, које се у модерним терминима своди на комбинацију Дуранд–Кернеровог метода са принципом наставка хомотопије, представио је 1891. Још један доказ ове врсте је произвео Хелмут Кнесер 1940. године, а поједноставио га је његов син Мартин Кнесер 1981. године.

Без коришћења пребројивог избора, није могуће конструктивно доказати основну теорему алгебре за комплексне бројеве засноване на Дедекиндовим реалним бројевима (који нису конструктивно еквивалентни Кошијевим реалним бројевима без пребројивог избора).^[10] Међутим, Фред Ричман је доказао преформулисану верзију теореме која је функционална.^[11]

Референце

^ Euler and the Fundamental Theorem of Algebra^{[мртва веза]}
^ Jean-Baptiste Campesato (2020-11-04). „Complex Variables, 14 - Zeroes of analytic function” (PDF).
^ Види §1.9 Ремертовог текста Основна теорема алгебре.
^ Peric, Veselin (1996). „OSNOVNA TEOREMA ALGEBRE” (PDF).
^ „Rare books”. doi:10.3931/e-rara-4843.
^ See section Le rôle d'Euler in C. Gilain's article Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral.
^ Concerning Wood's proof, see the article A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra, by Frank Smithies.
^ Smale writes, "...I wish to point out what an immense gap Gauss's proof contained. It is a subtle point even today that a real algebraic plane curve cannot enter a disk without leaving. In fact, even though Gauss redid this proof 50 years later, the gap remained. It was not until 1920 that Gauss's proof was completed. In the reference Gauss, A. Ostrowski has a paper which does this and gives an excellent discussion of the problem as well..."
^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Jean-Robert Argand”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.
^ For the minimum necessary to prove their equivalence, see Bridges, Schuster, and Richman; 1998; A weak countable choice principle; available from [1] Архивирано на сајту Wayback Machine (19. фебруар 2020).
^ See Fred Richman; 1998; The fundamental theorem of algebra: a constructive development without choice; available from [2] Архивирано на сајту Wayback Machine (19. фебруар 2020).

Литература

Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1). 1965. ISBN 978-0-07-002655-1..
Cauchy, Augustin-Louis (1821), Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1^ère partie: Analyse Algébrique, Paris: Éditions Jacques Gabay (објављено 1992), ISBN 978-2-87647-053-8 (tr. Course on Analysis of the Royal Polytechnic Academy, part 1: Algebraic Analysis)
Euler, Leonhard (1751), „Recherches sur les racines imaginaires des équations”, Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, Berlin, 5, стр. 222—288, Архивирано из оригинала 24. 12. 2008. г., Приступљено 07. 07. 2022 . English translation: Euler, Leonhard (1751), „Investigations on the Imaginary Roots of Equations” (PDF), Histoire de l'Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, Berlin, 5, стр. 222—288
Gauss, Carl Friedrich (1799), Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse, Helmstedt: C. G. Fleckeisen (tr. New proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree).
Gauss, Carl Friedrich (1866), Carl Friedrich Gauss Werke, Band III, Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen
1. Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1799), pp. 1–31., стр. 1, на сајту Гугл књиге – first proof.
2. Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (1815 Dec), pp. 32–56., стр. 32, на сајту Гугл књиге – second proof.
3. Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factores reales demonstratio tertia Supplementum commentationis praecedentis (1816 Jan), pp. 57–64., стр. 57, на сајту Гугл књиге – third proof.
4. Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen (1849 Juli), pp. 71–103., стр. 71, на сајту Гугл књиге – fourth proof.
Kneser, Hellmuth (1940), „Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus”, Mathematische Zeitschrift, 46, стр. 287—302, ISSN 0025-5874, S2CID 120861330, doi:10.1007/BF01181442 (The Fundamental Theorem of Algebra and Intuitionism).
Kneser, Martin (1981), „Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra”, Mathematische Zeitschrift, 177 (2), стр. 285—287, ISSN 0025-5874, S2CID 122310417, doi:10.1007/BF01214206 (tr. An extension of a work of Hellmuth Kneser on the Fundamental Theorem of Algebra).
Ostrowski, Alexander (1920), „Über den ersten und vierten Gaußschen Beweis des Fundamental-Satzes der Algebra”, Carl Friedrich Gauss Werke Band X Abt. 2 (tr. On the first and fourth Gaussian proofs of the Fundamental Theorem of Algebra).
Weierstraß, Karl (1891), „Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen”, Sitzungsberichte der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, стр. 1085—1101
Almira, J.M.; Romero, A. (2007), „Yet another application of the Gauss-Bonnet Theorem for the sphere”, Bulletin of the Belgian Mathematical Society, 14, стр. 341—342
Almira, J.M.; Romero, A. (2012), „Some Riemannian geometric proofs of the Fundamental Theorem of Algebra” (PDF), Differential Geometry – Dynamical Systems, 14, стр. 1—4, Архивирано из оригинала (PDF) 02. 03. 2021. г., Приступљено 07. 07. 2022
de Oliveira, O.R.B. (2011), „The Fundamental Theorem of Algebra: an elementary and direct proof”, Mathematical Intelligencer, 33 (2), стр. 1—2, S2CID 5243991, doi:10.1007/s00283-011-9199-2
de Oliveira, O.R.B. (2012), „The Fundamental Theorem of Algebra: from the four basic operations”, American Mathematical Monthly, 119 (9), стр. 753—758, S2CID 218548926, arXiv:1110.0165  , doi:10.4169/amer.math.monthly.119.09.753
Fine, Benjamin; Rosenberger, Gerhard (1997), The Fundamental Theorem of Algebra, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94657-3, MR 1454356
Gersten, S.M.; Stallings, John R. (1988), „On Gauss's First Proof of the Fundamental Theorem of Algebra”, Proceedings of the AMS, 103 (1), стр. 331—332, ISSN 0002-9939, JSTOR 2047574, doi:10.2307/2047574
Gilain, Christian (1991), „Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral”, Archive for History of Exact Sciences, 42 (2), стр. 91—136, ISSN 0003-9519, S2CID 121468210, doi:10.1007/BF00496870 (tr. On the history of the fundamental theorem of algebra: theory of equations and integral calculus.)
Netto, Eugen; Le Vavasseur, Raymond (1916), „Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental”, Ур.: Meyer, François; Molk, Jules, Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome I, vol. 2, Éditions Jacques Gabay (објављено 1992), ISBN 978-2-87647-101-6 (tr. The rational functions §80–88: the fundamental theorem).
Remmert, Reinhold (1991), „The Fundamental Theorem of Algebra”, Ур.: Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Hermes, Hans; Hirzebruch, Friedrich, Numbers , Graduate Texts in Mathematics 123, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97497-2
Shipman, Joseph (2007), „Improving the Fundamental Theorem of Algebra”, Mathematical Intelligencer, 29 (4), стр. 9—14, ISSN 0343-6993, S2CID 123089882, doi:10.1007/BF02986170
Smale, Steve (1981), „The Fundamental Theorem of Algebra and Complexity Theory”, Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 4 (1): 1—36, doi:10.1090/S0273-0979-1981-14858-8 [3]
Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics , Dover, ISBN 978-0-486-64690-9
Smithies, Frank (2000), „A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra”, Notes & Records of the Royal Society, 54 (3), стр. 333—341, ISSN 0035-9149, S2CID 145593806, doi:10.1098/rsnr.2000.0116
Taylor, Paul (2. 6. 2007), Gauss's second proof of the fundamental theorem of algebra – English translation of Gauss's second proof.
van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Algebra, I (7th изд.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40624-4

Спољашње везе

Основна теорема алгебре - скуп доказа
Algebra, fundamental theorem of at Encyclopaedia of Mathematics
From the Fundamental Theorem of Algebra to Astrophysics: A "Harmonious" Path
Gauss's first proof (in Latin) на сајту Гугл књиге
Gauss's first proof (in Latin) на сајту Гугл књиге
Mizar system proof: http://mizar.org/version/current/html/polynom5.html#T74

[1] Euler and the Fundamental Theorem of Algebra^{[мртва веза]}

[2] Jean-Baptiste Campesato (2020-11-04). „Complex Variables, 14 - Zeroes of analytic function” (PDF).

[3] Види §1.9 Ремертовог текста Основна теорема алгебре.

[4] Peric, Veselin (1996). „OSNOVNA TEOREMA ALGEBRE” (PDF).

[5] „Rare books”. doi:10.3931/e-rara-4843.

[6] See section Le rôle d'Euler in C. Gilain's article Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral.

[7] Concerning Wood's proof, see the article A forgotten paper on the fundamental theorem of algebra, by Frank Smithies.

[8] Smale writes, "...I wish to point out what an immense gap Gauss's proof contained. It is a subtle point even today that a real algebraic plane curve cannot enter a disk without leaving. In fact, even though Gauss redid this proof 50 years later, the gap remained. It was not until 1920 that Gauss's proof was completed. In the reference Gauss, A. Ostrowski has a paper which does this and gives an excellent discussion of the problem as well..."

[9] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Jean-Robert Argand”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.

[10] For the minimum necessary to prove their equivalence, see Bridges, Schuster, and Richman; 1998; A weak countable choice principle; available from [1] Архивирано на сајту Wayback Machine (19. фебруар 2020).

[11] See Fred Richman; 1998; The fundamental theorem of algebra: a constructive development without choice; available from [2] Архивирано на сајту Wayback Machine (19. фебруар 2020).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]