У математици , Еуклидска раздаљина или Еуклидска метрика је уобичајена раздаљина између две тачке, коју бисмо измерили лењиром, што се може доказати узастопном применом Питагорине теореме . Коришћењем ове формуле као раздаљине, Еуклидски простор постаје метрички простор (чак Хилбертов простор ). Понегде се ова метрика назива и Питагорином метриком . Ова техника је откривана више пута током историје, јер се ради логичком проширењу Питагорине теореме.
Еуклидска раздаљина између тачака
P
=
(
p
1
,
p
2
,
…
,
p
n
)
{\displaystyle P=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})\,}
Q
=
(
q
1
,
q
2
,
…
,
q
n
)
{\displaystyle Q=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})\,}
Еуклидском n -простору , се дефинише као:
(
p
1
−
q
1
)
2
+
(
p
2
−
q
2
)
2
+
⋯
+
(
p
n
−
q
n
)
2
=
∑
i
=
1
n
(
p
i
−
q
i
)
2
.
{\displaystyle {\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-q_{i})^{2}}}.}
уреди
За две једнодимензионе тачке,
P
=
(
p
x
)
{\displaystyle P=(p_{x})\,}
Q
=
(
q
x
)
{\displaystyle Q=(q_{x})\,}
(
p
x
−
q
x
)
2
=
|
p
x
−
q
x
|
{\displaystyle {\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}=|p_{x}-q_{x}|}
Апсолутна вредност се користи јер се раздаљина обично сматра неозначеном скаларном вредношћу.
уреди
За две дводимензионе тачке,
P
=
(
p
x
,
p
y
)
{\displaystyle P=(p_{x},p_{y})\,}
Q
=
(
q
x
,
q
y
)
{\displaystyle Q=(q_{x},q_{y})\,}
(
p
x
−
q
x
)
2
+
(
p
y
−
q
y
)
2
{\displaystyle {\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}}
Алтернативно, изражено у поларним координатама , за
P
=
(
r
1
,
θ
1
)
{\displaystyle P=(r_{1},\theta _{1})\,}
Q
=
(
r
2
,
θ
2
)
{\displaystyle Q=(r_{2},\theta _{2})\,}
r
1
2
+
r
2
2
−
2
r
1
r
2
cos
(
θ
1
−
θ
2
)
{\displaystyle {\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}}
уреди
За две тродимензионе тачке,
P
=
(
p
x
,
p
y
,
p
z
)
{\displaystyle P=(p_{x},p_{y},p_{z})\,}
Q
=
(
q
x
,
q
y
,
q
z
)
{\displaystyle Q=(q_{x},q_{y},q_{z})\,}
(
p
x
−
q
x
)
2
+
(
p
y
−
q
y
)
2
+
(
p
z
−
q
z
)
2
.
{\displaystyle {\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}+(p_{z}-q_{z})^{2}}}.}
