Криволинијски интеграл

Криволинијски интеграл је интеграл за чију се област интеграције узима одређена крива, најчешће дефинисана у равни или простору. За разлику од обичног одређеног интеграла, за чију се област интеграљења узима одређени правоугаони сегмент простора, криволинијски интеграл омогућава израчунавање интеграла у којем домен функције представљају тачке одређене глатке (или део-по-део глатке) криве. У математици се дефинишу криволинијски интеграли прве и друге врсте. У физици криволинијски интеграли другог реда имају примјену у израчунавању рада који чини нека сила по датој кривој.

Криволинијски интеграл прве врсте

Криволинијски интеграл прве врсте

Ако са $f(x,y,z)$ означимо функцију чији интеграл рачунамо, а са $L$ означимо дату криву, криволинијски интеграл прве врсте се обиљежава на сљедећи начин:

$\int \limits _{L}f(x,y,z)\,ds$.

Уколико један крај криве $L$ означимо са $A$, а њен други крај са $B$, криволинијски интеграл прве врсте се обиљежава још и са:

$\int \limits _{AB}f(x,y,z)\,ds$.

Дефиниција

Нека је крива $L$ задата параметарски на интервалу $[\alpha ,\beta ]$:

$x=\varphi (t),y=\psi (t),z=\chi (t)\,\,\,\,(t\in [\alpha ,\beta ])$.

Нека је на тој кривој, односно на скупу тачака које је сачињавају, дефинисана функција $f(x,y,z)$.

Можемо формирати подјелу интервала $[\alpha ,\beta ]$ на $n$ дијелова, у сљедећим ознакама:

$\alpha =t_{1}<t_{2}<\dots <t_{i-1}<t_{i}<\dots <t_{n}=\beta$.

На сваком сегменту $[t_{i},t_{i-1}]$ можемо изабрати по једно $\tau _{i}$, од којих свако параметарски одређује по једну тачку $M_{i}(\xi _{i},\eta _{i},\zeta _{i})$, гдје је $\xi _{i}=\varphi (\tau _{i}),\eta _{i}=\psi (\tau _{i}),\zeta _{i}=\chi (\tau _{i})$. Са $\Delta s_{i}$ ћемо означити дужину криве на сегменту $[t_{i},t_{i-1}]$. Тада имамо сљедећу ознаку:

$\sigma _{1}(f,L)=\sum \limits _{i=1}^{n}f(\xi _{i},\eta _{i},\zeta _{i})\Delta s_{i}$

Јасно је да ће за различите подјеле интервала горњи израз имати различите вриједности. Нас занима случај када $\Delta s_{i}$ тежи нули, тј. када је подјела интервала $[\alpha ,\beta ]$ „бесконачно густа“. На тај начин уводимо појам криволинијског интеграла прве врсте: ако постоји неки број $I$, такав да за свако $\varepsilon >0$ постоји одређено $\delta >0$ тако да:

$max(\Delta s_{i})<\delta \Rightarrow |\sigma _{1}(f,L)-I|<\varepsilon$,

тај број $I$ називаћемо криволинијским интегралом прве врсте функције $f$ на кривој $L$. Записује се као што је дато у уводу текста. Крива интеграције се назива још и луком интеграције.

Особине

Криволинијски интеграл прве врсте дијели неке од основних особина са обичним одређеним интегралом.

1. $\int \limits _{L}(\alpha f(x,y,z)+\beta g(x,y,z))ds=\alpha \int \limits _{L}f(x,y,z)ds+\beta \int \limits _{L}g(x,y,z)ds$,
2. Ако је за сваку тачку домена тачно: $f(x,y,z)<g(x,y,z)$, онда важи и: $\int \limits _{L}f(x,y,z)ds<\int \limits _{L}g(x,y,z)ds$,
3. $|\int \limits _{L}f(x,y,z)ds|\leq \int \limits _{L}|f(x,y,z)|ds$,
4. $\int \limits _{AB}f(x,y,z)ds=\int \limits _{AC}f(x,y,z)ds+\int \limits _{CB}f(x,y,z)ds$, ако се тачка $C$ налази између тачака $A$ и $B$.

Супротно криволинијском интегралу друге врсте, код којег постоји појам оријентације, за криволинијски интеграл прве врсте важи сљедеће:

$\int \limits _{AB}f(x,y,z)ds=\int \limits _{BA}f(x,y,z)ds$.

Рачунање

Криволинијски интеграл прве врсте, у складу са ознакама из одјељка „Дефиниција“, израчунава се помоћу сљедеће формуле:

$\int \limits _{AB}f(x,y,z)ds=\int \limits _{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t),\psi (t),\chi (t)){\sqrt {\varphi '^{2}(t)+\psi '^{2}(t)+\chi '^{2}(t)}}\,dt$

Услови за коришћење ове формуле су да је функција $f$ непрекидна и ограничена на кривој $L$ и да је крива $L$ глатка и без сингуларних тачака. Формула важи и у случајевима када је крива дио-по-дио глатка и функција дио-по-дио непрекидна.

Криволинијски интеграл друге врсте

Криволинијски интеграл друге врсте

Дефиниција

Нека је крива $L$ задата параметарски на интервалу $[\alpha ,\beta ]$:

$x=\varphi (t),y=\psi (t),z=\chi (t)\,\,\,\,(t\in [\alpha ,\beta ])$.

Нека су на тој кривој, односно на скупу тачака које је сачињавају, дефинисане функције $P(x,y,z),Q(x,y,z)$ и $R(x,y,z)$.

Можемо формирати подјелу интервала $[\alpha ,\beta ]$ на $n$ дијелова, у сљедећим ознакама:

$\alpha =t_{1}<t_{2}<\dots <t_{i-1}<t_{i}<\dots <t_{n}=\beta$.

На сваком сегменту $[t_{i},t_{i-1}]$ можемо изабрати по једно $\tau _{i}$, од којих свако параметарски одређује по једну тачку $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$, гдје је $x_{i}=\varphi (\tau _{i}),y_{i}=\psi (\tau _{i}),z_{i}=\chi (\tau _{i})$. Са $\Delta x_{i}$ ћемо означити разлику $x_{i}-x_{i-1}$, и аналогно $\Delta y_{i}$ и $\Delta z_{i}$ Тада имамо сљедеће ознаке:

$\sigma _{2}(P,L)=\sum \limits _{i=1}^{n}P(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta x_{i}$

$\sigma _{3}(Q,L)=\sum \limits _{i=1}^{n}Q(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta y_{i}$

$\sigma _{4}(R,L)=\sum \limits _{i=1}^{n}R(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta z_{i}$

У нареднон тексту говорићемо о $\sigma _{2}(P,L)$, имајући на уму да важе аналогне ознаке и за $\sigma _{3}$ и $\sigma _{4}$. Јасно је да ће за различите подјеле интервала горњи израз $\sigma _{2}$ имати различите вриједности. Нас занима случај када $\Delta x_{i}$ тежи нули, тј. када је подјела интервала $[\alpha ,\beta ]$ „бесконачно густа“. На тај начин, ако постоји неки број $I$, такав да за свако $\varepsilon >0$ постоји одређено $\delta >0$ тако да:

$max(\Delta x_{i})<\delta \Rightarrow |\sigma _{2}(P,L)-I|<\varepsilon$,

тај број $I$ називаћемо криволинијским интегралом друге врсте функције $P$ на кривој $L$. Записује се на сљедећи начин:

$\int \limits _{L}P(x,y,z)\,dx$, или само:

$\int \limits _{L}Pdx$.

Аналогно се дефинишу интеграли $\int \limits _{L}Qdy$ и $\int \limits _{L}Rdz$. Најчешће се посматрају збирови ових интеграла:

$\int \limits _{L}Pdx+\int \limits _{L}Qdy+\int \limits _{L}Rdz$,

који се обично обиљежавају као:

$\int \limits _{L}Pdx+Qdy+Rdz$. (1)

Ако усвојимо ознаку векторске функције ${\overrightarrow {r}}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$, односно ${\overrightarrow {r}}=(P,Q,R)$, тада ознаку (1) називамо (општим) криволинијским интегралом другог реда функције ${\overrightarrow {r}}$.

У случају да је крива $L$ затворена, тј. да је $A=B$, говоримо о циркулацији и дефинисани интеграл обиљежавамо са:

$\oint \limits _{L}Pdx+Qdy+Rdz$,

премда ово није обавезно срести у литератури, јер се понекад сматра сувишним.

Особине

За разлику од криволинијског интеграла првог реда, код којег не постоји појам оријентације и код којег важи особина:

$\int \limits _{AB}f(x,y,z)ds=\int \limits _{BA}f(x,y,z)ds$,

код криволинијског интеграла другог реда важи особина:

$\int \limits _{AB}Pdx+Qdy+Rdz=-\int \limits _{BA}Pdx+Qdy+Rdz$.

Ова особина настаје као посљедица дефиниције криволинијског интеграла и чињенице да је $x_{i}-x_{i-1}=-(x_{i-1}-x_{i})$. На тај начин, није свеједно да ли интеграције вршимо у једном или другом смјеру криве, а ту особину интеграла другог реда називамо оријентабилношћу, односно оријентацијом криве.

Рачунање

Формула за израчунавање вриједности криволинијског интеграла другог реда функције $P$ (аналогно за $Q,R$, у складу са ознакама у пододјељку „Дефиниција“ овог одјељка) јесте сљедећа:

$\int \limits _{AB}P(x,y,z)dx=\int \limits _{\alpha }^{\beta }P(\varphi (t),\psi (t),\chi (t))\varphi '(t)$

Формула важи уколико је функција $P(x,y,z)$ непрекидна на кривој $AB$, а крива $AB$ глатка и без сингуларних тачака. Она такође важи уколико је поменута крива дио-по-дио глатка, а функција $P$ дио-по-дио непрекидна.

У случају затворене дводимензионалне криве, тј. криве смјештене у равни, и под одређеним условима, криволинијски интеграл друге врсте може се рачунати и користећи Гринову теорему.

Независност интеграције од путање

Јасно је да ће у општем случају вриједност криволинијског интеграла другог реда зависити од облика криве интеграције $L$, тј. њене „путање“. Понекад то, међутим, није тако и вриједност интеграла ће зависити само од почетне и крајње тачке, а бити потпуно независна од међутачака, тј. од облика криве. Наиме, важи сљедећа теорема, која има своје примјене у науци и техници:

Сљедећи искази су еквивалентни:

• За векторску функцију ${\overrightarrow {r}}=(P,Q,R)$ постоји функција $u$, таква да је $(u_{x}',u_{y}',u_{z}')=(P,Q,R)$
• Криволинијски интеграл $\int \limits _{AB}Pdx+Qdy+Rdz$ не зависи од путање, него само од тачака $A$ и $B$. Вриједност интеграла у том случају биће $u(B)-u(A)$
• Циркулација $\oint \limits _{L}Pdx+Qdy+Rdz$ по произвољној затвореној путањи је једнака нули.

Види још

• Површински интеграл

Литература

• Аднађевић, Душан; Каделбург, Зоран (1994). Математичка анализа II, друго издање. Наука, Београд. 

Спољашње везе

• Примјене и задаци везани за криволинијске интеграле