Центар масе

Центар масе је тачка на објекту (или систему) $\mathbb {R} ^{n}$ у којој се може сматрати да је концентрисана читава маса објекта. Захваљујући овоме, читав објекат се може третирати као материјална тачка, чија је маса једнака укупној маси система, и његово кретање се може поредити са кретањем овакве материјалне тачке. У центру масе је нападна тачка гравитационе силе која делује на тело.

Ова играчка користи принципе центра масе да би одржавала равнотежу на прсту

Тежиште представља тачку на објекту у којој би се налазио центар масе када би објекат био константне густине.

Архимедов закон полуге

Грчки физичар и математичар Архимед је први увео појам центра масе и открио својства полуге. Закон полуге дефинише добијање вишеструке силе на једном њеном крају, променом растојања између ослонца и крајева полуге. Закон је сачињен од седам постулата који су наведени у Архимедовом делу "О равнотежи равних тела или о тежиштима равних тела". Архимед је под тежиштем разумео тачку која има особину да остане у равнотежи кад се за њу обеси тело без обзира на положај који му је дат.

Архимед и полуга

,,Дајте ми ослонац и довољно дугачку полугу и променићу свет."

Одређивање центра масе

Центар маса тачака (једнодимензиони систем)

Најједноставнији пример јесте пример клацкалице: Имамо дате две тачке $S$ и $P$ на крајевима клацкалице са својим масама $m_{1}$ и $m_{2}\ (m_{1},m_{2}\neq 0)$ што ћемо означити са $S(m_{1}),\ P(m_{2})$ и нека је $T$ тачка ослонца чији се положај тражи да би клацкалица била у равнотежи. За $T$ важи:

$|ST|:|TP|=m_{2}:m_{1}\Longleftrightarrow m_{1}{\overrightarrow {TS}}+m_{2}{\overrightarrow {TP}}={\overrightarrow {0}}$

Центар масе тачака

Из наведене еквиваленције се закључује да се у тежишту маса $T$ силе поништавају.

Увођењем произвољне тачке $O,$ може се извести дефиниција тежишта маса тачака $S(m_{1})$ и $P(m_{2})$:

$m_{1}({\overrightarrow {TO}}+{\overrightarrow {OS}})+m_{2}({\overrightarrow {TO}}+{\overrightarrow {OP}})={\overrightarrow {0}}$

Из ове формуле се лако израчунава вектор положаја тачке $T$:

${\overrightarrow {OT}}={\frac {1}{m_{1}+m_{2}}}(m_{1}{\overrightarrow {OS}}+m_{2}{\overrightarrow {OP}})$

Центар масе $n$ тачака се израчунава формулом:

${\overrightarrow {OT}}={\frac {1}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}\sum _{k=1}^{n}m_{k}{\overrightarrow {OA_{k}}}$

Тежиште троугла

• Тежишна дуж је дуж која спаја теме са центром наспрамне странице.
  • $S_{2}$ - центар масе тачака $P$ i $Q$
  • $SS_{1}$ - тежишна дуж из $S$
• Тежиште троугла је центар маса троугла са једнаким оптерећењима/масама у теменима троугла.

Теорема: Тежишне дужи се секу у центру маса.

Пример клацкалице у равнотежи

Аналогно претходном случају може се израчунати тежиште масе и за три тачке $S(m_{1}),$ $P(m_{2})$ и $Q(m_{3})$:

${\overrightarrow {0}}=m_{1}{\overrightarrow {TS}}+m_{2}{\overrightarrow {TP}}+m_{3}{\overrightarrow {TQ}}$

Ово се физички може гледати као троугао од чврстог материјала који је у равнотежи уколико је ослонац у тачки $T$, а маса сконцентрисана у теменима.

Увођењем тачке $O$ помоћу претходне формуле се може изести формула за израчунавање вектора положаја:

${\overrightarrow {OT}}={\frac {1}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}(m_{1}{\overrightarrow {OS}}+m_{2}{\overrightarrow {OP}}+m_{3}{\overrightarrow {OQ}})$

Центар масе хомогених тела

Код хомогених тела центар масе се налази у пресеку дијагонала.

Уколико је хомогено тело у облику латиничног слова "L" центар масе се проналази у неколико корака:

1. Тело се подели на два четвороугла као на слици (слика 2) . Одреди се центар масе оба четвороугла (центар масе четвороугла је у пресеку његових дијагонала). Дуж $AB$ спаја тежишта ова два четвороугла.
2. Тело се подели на два четвороугла као на слици (слика 3). Одреди се центар масе оба четвороугла (центар масе четвороугла је у пресеку његових дијагонала). Дуж $CD$ спаја тежишта ова два четвороугла
3. Пресечна тачка $(O)$ дужи $AB$ и $CD$ је центар масе овог тела

Центар масе тела у облику слова "L"

Центар масе дводимензионог система

У зависности од објекта за који се израчунава центар масе постоје два случаја. У дискретном случају када је дато $n$ материјалних тела ($n$ је коначан број), сваки са масом $m_{i}$ који су распоређени у некој равни тако да се свако материјално тело налази у тачки $(x_{i},y_{i})$

$M=\sum m_{i}$ је укупна маса система. Свако тело мора имати момент силе око сваке осе. Одакле следи:

Момент око $x$-осе:

$\mu _{x}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}$

Момент око $y$-осе:

$\mu _{y}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}$

Тачка $T$ која је центар масе система има координате $T={\frac {1}{M}}(\sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i},\sum _{i=1}^{n}m_{i}y_{i}).$

У случају када је дат непрекидан објекат ове се формуле могу уопштити тако што се уместо суме користи ингеграл.

Физика

Механички систем

Механички систем представља скуп материјалних тачака или тела где су положаји и кретања свих материјалних тачака или тела међусобно зависни. При томе се претпоставља постојање сила интеракције између појединих честица (тела). Круто тело се може сматрати механичким системом честица од којих је и састављено. Класичан пример механичког система је Сунчев систем. У њему су сва тела повезана међусобним силама интеракције.

Маса система и центар масе система

Кретање система ће сигурно зависити, осим од сила које делују на њега, од укупне масе система и расподеле масе у систему. Маса система је једнака аритметичкој средини маса свих честица (тела) које га чине $m=\sum _{k}m_{k}$. При разматрању кретања крутих тела и других механичких система од важности је тачка која се назива центром масе. Ако се систем састоји од коначног броја тачака, чије масе су $m_{1},m_{2}...,m_{k}...,m_{n}$ ($n$ је укупан број тих тачака), центром масе се назива тачка $C$ чији је вектор положаја ${\vec {r}}_{c}$ одређен изразом

${\vec {r}}_{c}$= ${\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}{\vec {r}}_{k}}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}$= ${\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}{\vec {r}}_{k}}{m}}$

где су ${\vec {r}}_{1}$, ${\vec {r}}_{2}$..., ${\vec {r}}_{k}$..., ${\vec {r}}_{n}$ вектори положаја у односу на одабрану тачку $O.$

У Декартовом координатном систему, координате положаја центра масе су одређене са:

$x_{C}=\ {\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}x_{k}}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}$

$y_{C}=\ {\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}y_{k}}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}$

$z_{C}=\ {\frac {\sum _{k=1}^{n}m_{k}z_{k}}{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}}$

Треба приметити да центар масе није материјална тачка, већ се ради о геометријској тачки.

Центар масе не мора бити ни на једној од материјалних тачака (или телу, ако је оно у питању). Центар масе карактерише расподелу масе у механичком систему (или телу). У случају крутих тела, која имају континуалну расподелу масе, мора се размишљати на "диференцијални" начин. У мислима тело ће се поделити на елементарне масе $dm,$ па израз за центар масе тела поприма облик

${\vec {r}}_{c}$=${\frac {\int \limits _{m}\,{\vec {r}}\,dm}{\int \limits _{m}\,\,dm}}$

У Декартовим координатама, координате положаја центра масе тела су дате са

$x_{C}=\ {\frac {\int \limits _{m}\,x\,dm}{\int \limits _{m}\,\,dm}}$

$y_{C}=\ {\frac {\int \limits _{m}\,y\,dm}{\int \limits _{m}\,\,dm}}$

$z_{C}=\ {\frac {\int \limits _{m}\,z\,dm}{\int \limits _{m}\,\,dm}}$

Астрономија

Барицентар Земље и Месеца

Центар масе има важан утицај у астрономији и астрофизици, где се обично назива и барицентар. Барицентар је тачка између два објекта у којој они балансирају између себе; то је центар масе где два или више небеских тела круже једни око других.

Маса Месеца, иако 81,3 пута мања од масе Земље, није занемарљива. Она делује на Земљу и заправо Месец не кружи око Земље, већ Месец и Земља осцилирају око једне заједничке тачке - барицентра. И заправо тачка у којој се налази барицентар обилази Сунце по елиптичној путањи док центри Месеца и Земље осцилирају око те тачке.

Литература

• Т. Шукиловић, С. Вукмировић (2015). Геометрија за информатичаре. Математички факултет, Београд. ISBN 978-86-7589-106-2. 
• Francis Weston Sears, Mehanika, talasno kretanje i toplota, Naučna knjiga, Beograd, 1962.
• Г. Калајџић, М. Ђорић, Геометрија, Математички факултет, Београд, 2013
• Opšta enciklopedija Larousse, 2. tom, Vuk Karadžić, Beograd, 1972.
• Andre K.T. Assis, Archimedes, the Center of Gravity, and the First Law of Mechanics, Montreal 2010
• Baron, Margaret E. (2004) [1969]. The Origins of the Infinitesimal Calculus. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-49544-6. 
• Beatty, Millard F. (2006). Principles of Engineering Mechanics, Volume 2: Dynamics—The Analysis of Motion. Mathematical Concepts and Methods in Science and Engineering. 33. Springer. ISBN 978-0-387-23704-6. 
• Feynman, Richard; Leighton, Robert; Sands, Matthew (1963). The Feynman Lectures on Physics. Addison Wesley. ISBN 978-0-201-02116-5. 
• Administration, Federal Aviation (2007), Aircraft Weight and Balance Handbook (PDF), United States Government Printing Office, Архивирано из оригинала (PDF) 19. 10. 2011. г., Приступљено 23. 10. 2011 
• Giambattista, Alan; Richardson, Betty McCarthy; Richardson, Robert Coleman (2007). College physics. 1 (2nd изд.). McGraw-Hill Higher Education. ISBN 978-0-07-110608-5. 
• Goldstein, Herbert; Poole, Charles; Safko, John (2001). Classical Mechanics (3rd изд.). Addison Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9. 
• Hamill, Patrick (2009). Intermediate Dynamics. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-5728-1. 
• Kleppner, Daniel; Kolenkow, Robert (1973). An Introduction to Mechanics (2nd изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-035048-9. 
• Levi, Mark (2009). The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14020-9. 
• Mancosu, Paolo (1999). Philosophy of mathematics and mathematical practice in the seventeenth century. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-513244-1. 
• Murray, Carl; Dermott, Stanley (1999). Solar System Dynamics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57295-8. 
• Sangwin, Christopher J. (2006), „Locating the centre of mass by mechanical means” (PDF), Journal of the Oughtred Society, 15 (2), Архивирано из оригинала (PDF) 05. 10. 2011. г., Приступљено 23. 10. 2011 
• Shore, Steven N. (2008). Forces in Physics: A Historical Perspective. Greenwood Press. ISBN 978-0-313-33303-3. 
• Symon, Keith R. (1971). Mechanics (3rd изд.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-07392-8. 
• Van Pelt, Michael (2005). Space Tourism: Adventures in Earth Orbit and Beyond. Springer. ISBN 978-0-387-40213-0. 
• Walton, William (1855), A collection of problems in illustration of the principles of theoretical mechanics (2nd изд.), Deighton, Bell & Co. 
• Asimov, Isaac (1988) [1966]. Understanding Physics. Barnes & Noble Books. ISBN 978-0-88029-251-1. 
• Beatty, Millard F. (2006). Principles of Engineering Mechanics, Volume 2: Dynamics—The Analysis of Motion. Mathematical Concepts and Methods in Science and Engineering. 33. Springer. ISBN 978-0-387-23704-6. 
• Feynman, Richard; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew (1963). The Feynman Lectures on Physics. 1 (Sixth printing, February 1977 изд.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-02010-6. 
• Frautschi, Steven C.; Olenick, Richard P.; Apostol, Tom M.; Goodstein, David L. (1986). The Mechanical Universe: Mechanics and heat, advanced edition. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30432-0. 
• Goldstein, Herbert; Poole, Charles; Safko, John (2002). Classical Mechanics (3rd изд.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9. 
• Goodman, Lawrence E.; Warner, William H. (2001) [1964]. Statics. Dover. ISBN 978-0-486-42005-9. 
• Hamill, Patrick (2009). Intermediate Dynamics. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-5728-1. 
• Jong, I. G.; Rogers, B. G. (1995). Engineering Mechanics: Statics. Saunders College Publishing. ISBN 978-0-03-026309-5. 
• Millikan, Robert Andrews (1902), Mechanics, molecular physics and heat: a twelve weeks' college course, Chicago: Scott, Foresman and Company, Приступљено 25. 5. 2011 
• O'Donnell, Peter J. (2015). Essential Dynamics and Relativity. CRC Press. ISBN 978-1-466-58839-4. 
• Pollard, David D.; Fletcher, Raymond C. (2005). Fundamentals of Structural Geology. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83927-3. 
• Pytel, Andrew; Kiusalaas, Jaan (2010). Engineering Mechanics: Statics. 1 (3rd изд.). Cengage Learning. ISBN 978-0-495-29559-4. 
• Rosen, Joe; Gothard, Lisa Quinn (2009). Encyclopedia of Physical Science. Infobase Publishing. ISBN 978-0-8160-7011-4. 
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2006). Principles of physics: a calculus-based text. 1 (4th изд.). Thomson Learning. ISBN 978-0-534-49143-7. 
• Shirley, James H.; Fairbridge, Rhodes Whitmore (1997). Encyclopedia of planetary sciences. Springer. ISBN 978-0-412-06951-2. 
• De Silva, Clarence W. (2002). Vibration and shock handbook. CRC Press. ISBN 978-0-8493-1580-0. 
• Symon, Keith R. (1971). Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-07392-8. 
• Tipler, Paul A.; Mosca, Gene (2004). Physics for Scientists and Engineers. 1A (5th изд.). W. H. Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-0900-8. 
• Vint, Peter (2003), „LAB: Center of Mass (Center of Gravity) of the Human Body” (PDF), KIN 335 - Biomechanics, Приступљено 18. 10. 2013 

Спољашње везе

• Motion of the Center of Mass shows that the motion of the center of mass of an object in free fall is the same as the motion of a point object.
• The Solar System's barycenter, simulations showing the effect each planet contributes to the Solar System's barycenter.
• Center of Gravity at Work, video showing bjects climbing up an incline by themselves.