Инверзија у односу на круг

Инверзија у односу на круг представља трансформацију која чува углове и слика уопштени круг у уопштени круг. Под уопштеним кругом подразумевамо круг или праву (круг чији је пречник бесконачан). Многи проблеми у геометрији су упрошћени увођењем појма уопштеног круга. Појам инверзије може бити примењен и на бесконачнодимензионе просторе.

Нека је $\kappa (O,r)$ произвољан круг равни $E^{2}$ , затим нека је $E_{*}^{2}=E^{2}\backslash {\big \{}O{\big \}}$ исти тај круг без тачке $O$ . Инверзијом у односу на круг називамо трансформацију

$\psi _{\kappa }:E_{*}^{2}\longrightarrow E_{*}^{2}$

која сваку тачку $P\in E_{*}^{2}$ преводи у тачку $P'\in E_{*}^{2}$ такву да је

${\overrightarrow {OP}}\cdot {\overrightarrow {OP'}}=r^{2}.$

Тачка $O$ је центар круга $\kappa$ , односно средиште инверзије, дуж $r$ је полупречник, а круг $\kappa$ називамо кругом инверзије $\psi _{\kappa }$ .

Како се тачка $P$ приближава центру круга $O$ , њен инверз у односу на круг, односно тачка $P'$ , тежи бесконачности. Слика тачке $O$ није дефинисана, нити се нека тачка слика у тачку $O$ .^[1]

Тачке на кружници се сликају у саме себе. Тачке унутар круга сликају се у тачке изван круга, и обрнуто.

Инверзија у односу на круг је бијективна трансформација.

Конструкција лењиром и шестаром

За тачку изван круга

Конструкција слике тачке

P

при инверзији у односу на круг

\kappa _{1}

.

Конструкција слике $P'$ тачке $P$ при инверзији у односу на круг $\kappa _{1}$ :

Конструсати дуж $OP$ , где је $O$ центар круга $\kappa _{1}$ .
Конструисати круг $\kappa _{2}$ над пречником $OP$ .
Нека су $N$ и $N'$ пресечне тачке кругова $\kappa _{1}$ и $\kappa _{2}$ .
Тачка $P'$ ће бити пресек дужи $OP$ и $NN'$ .

За тачку унутар круга

Конструкција слике тачке

P'

при инверзији у односу на круг

\kappa

.

Конструкција инверза $P$ тачке $P'$ унутар круга инверзије $\kappa$ :

Конструисати праву $r$ која садржи тачке $O$ (центар круга $\kappa$ ) и $P'$ .
Конструсати нормалу $s$ из тачке $P'$ на праву $r$ .
Нека је $N$ једна од тачака пресека круга $\kappa$ и праве $s$ .
Конструисати праву $t$ која садржи тачку $N$ и нормална је на праву $ON$ .
Тачка $P$ ће бити пресек правих $r$ и $t$ .

Конструкција инверза круга

Ако круг $\ell$ не сече круг инверзије $\kappa$ :

Конструисати праву тако да садржи центре кругова $\ell$ и $\kappa$ .
Нека су $A$ и $B$ пресечне тачке те праве и круга $\ell$ .
Конструисати тачке $A'$ и $B'$ , слике тачака $A$ и $B$ при инверзији у односу на круг $\kappa$ .
Конструисати круг $\ell '$ над пречником $A'B'$ . Тај круг је слика круга $\ell$ при инверзији у односу на круг $\kappa$ .

Ако круг $\ell$ сече круг инверзије $\kappa$ :

Нека су пресечне тачке кругова $\ell$ и $\kappa$ тачке $N$ и $N'$ .
Конструисати праву тако да садржи центре кругова $\ell$ и $\kappa$ . Нека је једна од пресечних тачака те праве и круга $\ell$ тачка $A$ .
Конструисати тачку $A'$ , слику тачке $A$ при инверзији у односу на круг $\kappa$ .
Круг $\ell '$ , слика круга $\ell$ при инверзији у односу на круг $\kappa$ , је круг описан око троугла $\triangle NN'A'$ .

1. Конструкција слике круга $\ell$ , при инверзији у односу на круг $\kappa$ , ако се кругови $\ell$ и $\kappa$ не секу.
2. Конструкција слике круга $\ell$ , при инверзији у односу на круг $\kappa$ , ако се кругови $\ell$ и $\kappa$ секу.

Основне особине

Инверзија у односу на круг је инволутивна трансформација.^[2] Ако је слика тачке $P$ при инверзији у односу на круг $\kappa$ тачка $P'$ , то значи да ће слика тачке $P'$ при инверзији у односу на круг $\kappa$ бити тачка $P$ .
Нека тачка $X$ је инваријантна при инверзији $\psi _{\kappa }:E_{*}^{2}\longrightarrow E_{*}^{2}$ ако и само ако $X\in \kappa$ .^[2] Дакле, све тачке које припадају кружници $\kappa$ , ће се сликати у саме себе.
При инверзији $\psi _{\kappa }:E_{*}^{2}\longrightarrow E_{*}^{2}$ тачки $X$ која се налази унутар круга $\kappa$ одговара тачка $X'$ која се налази изван круга $\kappa$ , и обрнуто.^[2]
Композиција двеју инверзија $\psi _{\kappa _{1}}$ и $\psi _{\kappa _{2}}$ које су дефинисане у односу на концентричне кругове $\kappa _{1}(O,r_{1})$ и $\kappa _{2}(O,r_{2})$ је хомотетија ${\mathcal {H}}_{O,r_{2}^{2}:r_{1}^{2}}$ .^[2]
Слика круга $\ell$ који садржи тачку $O$ , при инверзији у односу на круг $\kappa$ , је права $l'$ која не садржи $O$ . Права $l'$ је паралелна тангенти круга $\ell$ у тачки $O$ .
Слика круга $\ell$ који не садржи тачку $O$ је круг $\ell '$ који такође не садржи $O$ . Ако круг $\ell$ сече круг $\kappa$ , тачке пресека ће припадати и кругу $\ell '$ (јер су тачке на кружници инваријанте).^[3]^[4]
Слика праве $l$ која садржи тачку $O$ је иста та права, без тачке $O$ .
Слика праве $l$ која не садржи тачку $O$ је круг $\ell '$ који не садржи тачку $O$ .^[2]

Слика круга $\ell$ који садржи тачку $O$ , центар круга $\kappa$ , при инверзији у односу на круг $\kappa$ , је права $l'$ која не садржи $O$ .
Слика круга $\ell$ који не садржи тачку $O$ , центар круга $\kappa$ , при инверзији у односу на круг $\kappa$ , је круг $\ell '$ која не садржи $O$ .
Концентрични кругови се при инверзији у односу на круг не сликају у концентричне кругове.

Остале особине:

Ортогонални кругови при инверзији у односу на круг $\kappa$

Два круга су ортогонална ако и само ако су им тангенте у пресечним тачкама ортогоналне.

Инверзија у односу на круг $\kappa$ пресликава неки круг $\ell$ у њега самог ако и само ако се кругови $\kappa$ и $\ell$ поклапају или су ортогонални.
Тачке пресека два круга $\kappa _{1}$ и $\kappa _{2}$ који су ортогонални на круг $\kappa$ су међусобно инверзне у односу на круг $\kappa$ .

Углови при инверзији у односу на круг $\kappa$

Инверзија у односу на круг не мења углове, али мења оријентацију углова.^[5]
За неки троугао $\triangle OAB$ , где је $O$ центар круга $\kappa$ и где су тачке $A'$ и $B'$ слике тачака $A$ и $B$ при инверзији у односу на круг $\kappa$ важи:

$\angle OAB=\angle OB'A';\quad \angle OBA=\angle OA'B'.$

Угао под којем се секу две линије $p$ и $q$ у пресечној тачки $S$ , једнак је углу под којем се секу слике линија $p$ и $q$ при инверзији у односу на круг $\kappa$ , линије $p'$ и $q'$ , у одговарајућој тачки $S'$ .^[6]

Примена

Било која два круга која се не секу, могу се инверзијом пресликати у концентричне кругове. Инверзно растојање представља природни логаритам односа пречника та два концентрична круга.

Инверзија у тродимензионом простору

Тродимензиона илустрација стереографске пројекције са северног пола на раван испод сфере.

У тродимензионом простору, могуће је уопштити инверзију у односу на круг до инверзије у односу на сферу. Слика тачке $P$ при инверзији у односу на сферу са средиштем у тачки $O$ и пречником $R$ је тачка $P'$ таква да: ${\overrightarrow {OP}}\times {\overrightarrow {OP^{\prime }}}=R^{2}$ .

Тачке $P$ и $P'$ су на истој полуправој, са почетком у тачки $O$ . При оваквој инверзији, слика сфере је сфера, осим у случају када сфера коју инвертујемо садржи тачку $O$ . Тада је слика сфере раван.

Даље, свака раван која не садржи тачку $O$ се слика у сферу, док се раван која садржи тачку $O$ слика у исту ту раван, али која не садржи у тачку $O$ .

Стереографска пројекција је посебан подслучај инверзије у односу на сферу која слика сферу на раван.

Литература

Д. Лопандић, Геометрија, Завод за уџбенике, Београд, 2011.

Референце

^ Лопандић, Д.(2011), "Геометрија", Београд; pp. 201.
^ ^а ^б ^в ^г ^д Лопандић, Д.(2011), "Геометрија", Београд; pp. 202.
^ Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston; pp. 265.
^ Лопандић, Д.(2011), "Геометрија", Београд; pp. 203.
^ Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston. стр. 269.
^ Лопандић, Д.(2011), "Геометрија", Београд; pp. 204.

Спољашње везе

"Inversion" на сајту MathWorld

Wilson's Inversive Geometry

Симулација инверзије око круга на сајту cut-the-knot.org

[1] Лопандић, Д.(2011), "Геометрија", Београд; pp. 201.

[Лоп-2] а ^б ^в ^г ^д Лопандић, Д.(2011), "Геометрија", Београд; pp. 202.

[3] Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston; pp. 265.

[4] Лопандић, Д.(2011), "Геометрија", Београд; pp. 203.

[5] Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart and Winston. стр. 269.

[6] Лопандић, Д.(2011), "Геометрија", Београд; pp. 204.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]