Георг Кантор

Георг Кантор
Георг Кантор
	Георг Кантор
Лични подаци
Датум рођења	3. март 1845.
Место рођења	Петроград, Русија
Датум смрти	6. јануар 1918. (72 год.)
Место смрти	Хале, Немачка
Образовање	ЕТХ Цирих
Научни рад
Поље	математика
Институција	Универзитет у Халеу
Ментори	Ернст Кумер; Карл Вајерштрас
Познат по	теорија скупова
Награде	Силвестер медаља

Георг Кантор (нем. Georg Cantor; Петроград, 3. март 1845 — Хале, 6. јануар 1918^[1]) био је немачки математичар и утемељивач теорије скупова. Играо је кључну улогу у стварању теорије скупова, која је постала фундаментална теорија у математици. Кантор је утврдио важност кореспонденције један према један између чланова два скупа, дефинисао бесконачне и добро уређене скупове и доказао да су реални бројеви бројнији од природних бројева. У ствари, Канторов метод доказивања ове теореме имплицира постојање бесконачности бесконачности. Дефинисао је кардинални и редни број и њихову аритметику. Канторово дело је од великог филозофског интересовања, чињенице које је он био добро свестан.^[2]

Први је нумеричке системе, попут рационалних и стварних бројева, истраживао систематично, као заокружене ентитете или скупове. То прегнуће довело га је до изненаћујућег открића да нису сви бескрајни скупови исте величине. Доказ за ово је Канторов дијагонални поступак.

Показао је да рационалних бројева има исто колико и природних бројева, то јест да ова два скупа ( $\mathbb {Q}$ и $\mathbb {N}$ ) имају исту кардиналност (доказ да рационалних бројева има пребројиво много је Канторово пребројавање скупа Q). Доказао је, такође, да такве подударности нема код знатно већег скупа ирационалних бројева, те су отуда они познати као скуп који се не може пребројати.

Истраживања је крунисао класификацијом трансфинитних бројева који, лаички говорећи, представљају степене бесконачности, и означавају се симболима $\aleph _{0}$ , $\aleph _{1}$ , ... (алеф нула, алеф један, ...).

Оштре критике су праћене каснијим похвалама. Године 1904. Крељевско друштво га је наградило Силвестер медаљом, што је највиша част која се може доделити за математички рад. Претпоставља се да је Кантор веровао да га је његова теорија о трансфинитним бројевима повезивала са Богом. Дејвид Хилберт га је бранио од критика познатом изјавом "Нико нас не може протерати из раја који је Кантор створио".

Биографија

Младост и студије

Georg Kantor 1870.

Кантор је рођен у западном трговачком насељу у Петрограду у Русији и одрастао је у том граду до своје једанаесте године. Био је најстарији од шесторо деце и био је сматран за изванредног виолинисту. Његов деда Франц Бем (1788—1846) је био познати музичар и солиста у царском оркестру у Руском царству. Канторов отац је био члан Петроградске берзе, а кад се он разболео, породица се преселила у Немачку 1856. године, прво у Висбаден а затим у Франкфурт. Године 1860. Кантор је завршио школу у Дармштату, где су примећене његове изузетне математичке вештине, а наручито тригонометријске. У 1862. Кантор се уписао на Универзитет у Цириху, а након добијања значајног наследства након смрти оца 1863. год, Кантор је студије наставио на Берлинском Универзитету похађајући предавања Леополда Кронекера, Карла Вајерштраса и Ернеста Кумера. Лето 1866. је провео на Универзитету у Гетингену, центру математичког истраживања.

Учитељ и истаживач

Завршио је своју дисертацију на тему теорија бројева 1867. на Универзитету у Берлину. Након што је кратко предавао у Берлину у женској школи, преузео је позицију на Универзитету у Халеу где је и провео целу каријеру. Добио је признање за своју тезу на тему теорије бројева која је презентована 1869. на његовом именовању у Халеу. Венчао се са Вели Гутман 1874. и имали су шесторо деце. Био је у могућности да издржава породицу упркос скромној академској плати, захваљујући наследству које је наследио од оца. Унапређен је у ванредног професора 1972. а у редовног професора 1879. године. Бити редовни професор у 34. години је огроман успех, али Кантор није био задовољан. Он је желео место на престижнијем универзитету као што је Универзитет у Берлину, тада водећи универзитет у Немачкој. Међутим, његов рад је наишао на превише противљења па тако нешто није било могуће.

Касније године

Након хоспитализације 1884. не постоји запис да је поново био у неком санаторијуму до 1899. Убрзо након те друге хоспитализације, његов најмлађи син Рудолф је изненада преминуо и та трагедија је исцрпела Канторову страст за математиком. Поново је хоспитализован 1903. а годину дана после тога он је био огорчен и узнемирен због чланка Јулиуса Кунига представљеном на Трећем Интернационалном Конгресу Математичара. Рад је покушао да доказе да су основна начела теорије скупова била лажна. Пошто је чланак био прочитан пред његовим ћеркама и колегама, Кантор је себе сматрао јавно пониженим. Иако је Ернст Зармело за мање од једног дана доказао да Куниг није имао доказе, Кантор је остао уздрман. Кантор је патио од хроничне депресије до краја свог живота, због тога је и неколико наврата био изузет из наставе и више пута је био затваран у разним санаторијумима. Од једног универзитета у Шкотској је 1912. добио почасни докторат, али због болести није мога лично да преузме диплому. Пензионисао се 1913. живео је у сиромаштву а једно време је био и неухрањен. Јавна прослава његовог 70. рођендана је била отказана због рата. Умро је 6. јануара 1918. у санаторијуму где је провео последњу годину свог живота.

Математички рад

Ilustracija Kantorovog dijagonalnog argumenta za postojanje nebrojivih skupova

Jedan na jedan korespondencija.

Канторов рад између 1874. и 1884. је време када је настала теорија скупова. Пре тога, концепт је био прилично елементаран који се посредно користио од почетка постојања математике, датира још од Аристотелових идеја. Нико није приметио да теорија скупова има неки нетривијални садржај. Пре Кантора постојали су само коначни скупови који су били лако разумљиви и бесконачни који су били тема више за филозофе него са математичаре. Теорија скупова је имала умала улогу у темељима теорије модерне математике, у смислу да она представља тврдње о математичким објектима (нпр. бројеве и функције) из свих традиционалних области математике у једној теорији и пружа стандардни скуп аксиома да их докаже или оповргне. Основни појмови теорије скупова се сада користе у целој математици. У једном од његових ранијих радова Кантор је доказао да је скуп реалних бројева бројнији од скупа природних бројева. То је по први пут показало да постоје бесконачни скупови различитих величина. Он је такође био први који је ценио важност један на један кореспонденције у теорији скупова. Користио је овај концепт за дефинисање коначних и бесконачних скупова, поделивши их у бројне и небројне скупове. Кантор је развио важне концепте у топологији и њеном повезаношћу са кардиналности. Он је представио и основне конструкције у теорији скупова, као што је партитативни скуп скупа А који је скуп свих могућих подскупова од А. Касније је доказао да је величина електричног скупа А стого већа од величине А чак и када је А бесконачан скуп, овај резултат је убрзо био познат као Канторова теорема. Кантор је развио читаву теорију и аритметику бесконачних скупова названу кардинали и ординали што је продужило аритметику природних бројева. Његова ознака за кардиналне бројеве је било хебрејско слово א са индексом природног броја, за ординале је увео грчко слово ω . Овај запис је и данас у употреби.

Види још

Референце

^ Grattan-Guinness 2000, p. 351.
^ The biographical material in this article is mostly drawn from Dauben 1979. Grattan-Guinness 1971, and Purkert and Ilgauds 1985 are useful additional sources.

Литература

Joseph Dauben (1977), „Georg Cantor and Pope Leo XIII: Mathematics, Theology, and the Infinite”, Journal of the History of Ideas, 38: 85—108
Dauben, Joseph W. (1977). „Georg Cantor and Pope Leo XIII: Mathematics, Theology, and the Infinite”. Journal of the History of Ideas. 38 (1): 85—108. JSTOR 2708842. doi:10.2307/2708842. .
Dauben, Joseph W. (1979). [Unavailable on archive.org] Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite . Boston: Harvard University Press. ISBN 978-0-691-02447-9. .
Dauben, Joseph (2004) [1993]. Georg Cantor and the Battle for Transfinite Set Theory (PDF). Proceedings of the 9th ACMS Conference (Westmont College, Santa Barbara, Calif.). стр. 1—22. Архивирано (PDF) из оригинала 2018-01-23. г. Internet version published in Journal of the ACMS 2004. Note, though, that Cantor's Latin quotation described in this article as a familiar passage from the Bible is actually from the works of Seneca and has no implication of divine revelation.
Ewald, William B., ур. (1996). From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics. New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853271-2. .
Grattan-Guinness, Ivor (1971). „Towards a Biography of Georg Cantor”. Annals of Science. 27 (4): 345—391. doi:10.1080/00033797100203837. .
Grattan-Guinness, Ivor (2000). The Search for Mathematical Roots: 1870–1940. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-05858-0. .
Hallett, Michael (1986). Cantorian Set Theory and Limitation of Size. New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853283-5. .
Moore, Gregory H. (1982). Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development & Influence. Springer. ISBN 978-1-4613-9480-8. .
Moore, Gregory H. (1988). „The Roots of Russell's Paradox”. Russell: The Journal of Bertrand Russell Studies. 8: 46—56. doi:10.15173/russell.v8i1.1732  . .
Moore, Gregory H.; Garciadiego, Alejandro (1981). „Burali-Forti's Paradox: A Reappraisal of Its Origins”. Historia Mathematica. 8 (3): 319—350. doi:10.1016/0315-0860(81)90070-7  . .
Purkert, Walter (1989). „Cantor's Views on the Foundations of Mathematics”. Ур.: Rowe, David E.; McCleary, John. The History of Modern Mathematics, Volume 1. Academic Press. стр. 49–65. ISBN 978-0-12-599662-4. .
Purkert, Walter; Ilgauds, Hans Joachim (1985). Georg Cantor: 1845–1918. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-1770-7. .
Suppes, Patrick (1972) [1960]. Axiomatic Set Theory. New York: Dover. ISBN 978-0-486-61630-8. . Although the presentation is axiomatic rather than naive, Suppes proves and discusses many of Cantor's results, which demonstrates Cantor's continued importance for the edifice of foundational mathematics.
Zermelo, Ernst (1908). „Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I”. Mathematische Annalen. 65 (2): 261—281. S2CID 120085563. doi:10.1007/bf01449999.
Zermelo, Ernst (1930). „Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre” (PDF). Fundamenta Mathematicae. 16: 29—47. doi:10.4064/fm-16-1-29-47  . Архивирано (PDF) из оригинала 2004-06-28. г. .
van Heijenoort, Jean (1967). From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931. Harvard University Press. ISBN 978-0-674-32449-7. .
Cantor, Georg (1955) [1915]. Philip Jourdain, ур. Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. New York: Dover. ISBN 978-0-486-60045-1. .
Cantor, Georg (1874). „Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” (PDF). Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 1874 (77): 258—262. S2CID 199545885. doi:10.1515/crll.1874.77.258. Архивирано (PDF) из оригинала 2017-10-07. г.
Cantor, Georg (1878). „Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre”. Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 1878 (84): 242—258. doi:10.1515/crll.1878.84.242. .
Georg Cantor (1879). „Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (1)”. Mathematische Annalen. 15 (1): 1—7. S2CID 179177510. doi:10.1007/bf01444101.
Georg Cantor (1880). „Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (2)”. Mathematische Annalen. 17 (3): 355—358. S2CID 179177438. doi:10.1007/bf01446232.
Georg Cantor (1882). „Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (3)”. Mathematische Annalen. 20 (1): 113—121. S2CID 177809016. doi:10.1007/bf01443330.
Georg Cantor (1883). „Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (4)”. Mathematische Annalen. 21 (1): 51—58. S2CID 179177480. doi:10.1007/bf01442612.
Georg Cantor (1883). „Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten (5)”. Mathematische Annalen. 21 (4): 545—591. S2CID 121930608. doi:10.1007/bf01446819. Published separately as: Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre.
Georg Cantor (1891). „Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre” (PDF). Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1: 75—78. Архивирано (PDF) из оригинала 2018-01-01. г.
Cantor, Georg (1895). „Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)” (PDF). Mathematische Annalen. 46 (4): 481—512. S2CID 177801164. doi:10.1007/bf02124929. Архивирано из оригинала (PDF) 23. 4. 2014. г.
Cantor, Georg (1897). „Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2)”. Mathematische Annalen. 49 (2): 207—246. S2CID 121665994. doi:10.1007/bf01444205.
Cantor, Georg (1932). Ernst Zermelo, ур. „Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts”. Berlin: Springer. Архивирано из оригинала 3. 2. 2014. г. . Almost everything that Cantor wrote. Includes excerpts of his correspondence with Dedekind (p. 443–451) and Fraenkel's Cantor biography (p. 452–483) in the appendix.
Aczel, Amir D. (2000). The Mystery of the Aleph: Mathematics, the Kabbala, and the Search for Infinity. New York: Four Walls Eight Windows Publishing. ISBN 0-7607-7778-0. . A popular treatment of infinity, in which Cantor is frequently mentioned.
Dauben, Joseph W. (јун 1983). „Georg Cantor and the Origins of Transfinite Set Theory”. Scientific American. 248 (6): 122—131. Bibcode:1983SciAm.248f.122D. doi:10.1038/scientificamerican0683-122.
Ferreirós, José (2007). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought. Basel, Switzerland: Birkhäuser. ISBN 3-7643-8349-6. Contains a detailed treatment of both Cantor's and Dedekind's contributions to set theory.
Halmos, Paul (1998) [1960]. Naive Set Theory. New York & Berlin: Springer. ISBN 3-540-90092-6.
Hilbert, David (1926). „Über das Unendliche”. Mathematische Annalen. 95: 161—190. S2CID 121888793. doi:10.1007/BF01206605.
Hill, C. O.; Rosado Haddock, G. E. (2000). Husserl or Frege? Meaning, Objectivity, and Mathematics. Chicago: Open Court. ISBN 0-8126-9538-0. Three chapters and 18 index entries on Cantor.
Meschkowski, Herbert (1983). Georg Cantor, Leben, Werk und Wirkung (Georg Cantor, Life, Work and Influence, in German). Vieweg, Braunschweig.
Newstead, Anne (2009). "Cantor on Infinity in Nature, Number, and the Divine Mind"[1]. American Catholic Philosophical Quarterly. 83 (4): 532—553. doi:10.5840/acpq200983444. Проверите вредност параметра |doi= (помоћ). Недостаје или је празан параметар |title= (помоћ). With acknowledgement of Dauben's pioneering historical work, this article further discusses Cantor's relation to the philosophy of Spinoza and Leibniz in depth, and his engagement in the Pantheismusstreit. Brief mention is made of Cantor's learning from F.A.Trendelenburg.
Penrose, Roger (2004). The Road to Reality. Alfred A. Knopf. ISBN 0-679-77631-1. Chapter 16 illustrates how Cantorian thinking intrigues a leading contemporary theoretical physicist.
Rucker, Rudy (2005) [1982]. Infinity and the Mind. Princeton University Press. ISBN 0-553-25531-2. Deals with similar topics to Aczel, but in more depth.
Rodych, Victor (2007). „Wittgenstein's Philosophy of Mathematics”. Ур.: Edward N. Zalta. The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. .
Leonida Lazzari, L'infinito di Cantor. Editrice Pitagora, Bologna, 2008.
"Cantor infinities", analysis of Cantor's 1874 article, BibNum (for English version, click 'à télécharger'). There is an error in this analysis. It states Cantor's Theorem 1 correctly: Algebraic numbers can be counted. However, it states his Theorem 2 incorrectly: Real numbers cannot be counted. It then says: "Cantor notes that, taken together, Theorems 1 and 2 allow for the redemonstration of the existence of non-algebraic real numbers …" This existence demonstration is non-constructive. Theorem 2 stated correctly is: Given a sequence of real numbers, one can determine a real number that is not in the sequence. Taken together, Theorem 1 and this Theorem 2 produce a non-algebraic number. Cantor also used Theorem 2 to prove that the real numbers cannot be counted. See Cantor's first set theory article or Georg Cantor and Transcendental Numbers Архивирано на сајту Wayback Machine (21. јануар 2022).

Спољашње везе

Георг Кантор на сајту Internet Archive (језик: енглески)
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Георг Кантор”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews.
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „A history of set theory”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. Mainly devoted to Cantor's accomplishment.
Georg Cantor, britannica.com
Stanford Encyclopedia of Philosophy: Set theory by Thomas Jech. The Early Development of Set Theory by José Ferreirós.

[1] Grattan-Guinness 2000, p. 351.

[2] The biographical material in this article is mostly drawn from Dauben 1979. Grattan-Guinness 1971, and Purkert and Ilgauds 1985 are useful additional sources.

[1]

[2]