Konveksni skup

U geometriji, podskup Euklidovog prostora, ili specifičnije afini prostor nad realnim brojevima, je konveksan ako, sa bilo koje dve tačke, on povezuje ceo linijski segment koji ih povezuje. Ekvivalentno, konveksni skup ili konveksni region je podskup koji preseca svaku liniju u jednom linijskom segmentu (verovatno praznom).^[1]^[2] Na primer, čvrsta kocka je konveksni skup, dok sve što je šuplje ili ima udubljenje, na primer, oblik polumeseca, nije konveksno.

Granica konveksnog skupa je uvek konveksna kriva. Presek svih konveksnih skupova koji sadrže dati podskup $A$ Euklidovog prostora naziva se konveksni omotač $A$ . To je najmanji konveksni skup koji sadrži $A$ .

Konveksna funkcija je realno vrednosna funkcija definisana na intervalu sa svojstvom da je njegov epigraf (skup tačaka na ili iznad grafikona funkcije) konveksni skup. Konveksna minimizacija je potpolje optimizacije koje izučava problem minimizacije konveksnih funkcija nad konveksnim skupovima. Prva grana matemakia posvećena izučavanju svojstava konveksnih skupova i konveksnih funkcija se naziva konveksna analiza.

Pojam konveksnog skupa može se generalizovati, kao što je opisano u daljem tekstu.

Definicije

Funkcija je konveksna, ako i samo ako njen epigraf, region (obojen zeleno) iznad njenog grafikona (prikazan plavom linijuom), je konveksan set.

Neka je $S$ vektorski prostor ili afini prostor nad realnim brojevima, ili, generalnije, nad nekim uređenim poljem. Ovim su obuhvaćeni Euklidovi prostori, koji su afini prostori. podskup $C$ od $S$ je konveksan ako je za svako $x$ i $y$ u $C$ , linijski segment koji povezuje $x$ i $y$ uključen u $C$ . To znači da afina kombinacija $(1 - t) x + ty$ pripada $C$ , za svako $x$ i $y$ u $C$ , i $t$ na intervalu $[0, 1]$ . To podrazumeva da je konveksnost (svojstvo da je konveksan) invarijantna pod afinim trasformacijama. Time se isto tako podrazumeva da je konveksni skup u realnom ili kompleksnom topološkom vektorskom prostoru povezan putanjom, i stoga povezan.

Skup $C$ je striktno konveksan ako je svaka tačka na linijskom segmentu koji povezuje $x$ i $y$ izuzev krajnjih tačaka u unutrašnjosti $C$ .

Skup $C$ je apsolutno konveksan ako je konveksan i balansiran.

Konveksni podskupovi iz $R$ (skupa realnih brojeva) su intervali i tačke iz $R$ . Neki primeri konveksnih podskupova Euklidske ravni su čvrsti pravilni mnogouglovi, čvrsti trouglovi i preseci čvrstih trouglova. Neki primeri konveksnih podskupova Euklidskog trodimenzionalnog prostora su Arhimedova tela i pravilni poliedri. Poliedri Kepler-Puansoa su primeri nekonveksnih skupova.

Nekonveksni skup

Skup koji nije koveksan se naziva nekonveksni skup. Mnogougao koji nije konveksni poligon se ponekad naziva konkavni poligon,^[3] a neki izvori generalnije koriste termin konkavni skup sa značenjem nekonveksni skup,^[4] mada ta upotreba većinom nije dozvoljena.^[5]^[6]

Komplement konveksnog skupa, kao što je epigraf konkavne funkcije, se ponekad naziva reverzni konveksni skup, posebno u kontekstu matematičke optimizacije.^[7]

Svojstva

Neka je dato $r$ tačaka $u 1, ..., u r$ u konveksnom skupu $S$ , i $r$ nenegativnih brojeva $λ 1, ..., λ r$ takvih da je $λ 1 + ... + λ r = 1$ , afina kombinacija $\sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}$ pripada $S$ . Kako je definicija konveksnog skupa slučaj $r = 2$ , ovo svojstvo karakteriše konveksne skupove.

Takva afina kombinacija naziva se konveksna kombinacija $u 1, ..., u r$ .

Preseci i unije

Kolekcija konveksnih podskupova vektorskog prostora, afinog prostora ili euklidskog prostora ima sledeća svojstva:^[8]^[9]

Prazan skup i ceo prostor su konveksni.
Presek bilo koje kolekcije konveksnih skupova je konveksan.
Unija niza konveksnih skupova je konveksna, ako oni čine neopadajući lanac za uključivanje. Za ovo svojstvo, ograničenje na lance je važno, pošto unija dva konveksna skupa ne mora biti konveksna.

Zatvoreni konveksni skupovi

Zatvoreni konveksni skupovi su konveksni skupovi koji sadrže sve svoje granične tačke. Mogu se okarakterisati kao preseci zatvorenih poluprostora (skupovi tačaka u prostoru koje leže na jednoj strani hiperravni).

Iz ovoga što je upravo rečeno jasno je da su takvi preseci konveksni, a biće i zatvoreni skupovi. Da bi se dokazalo obrnuto, tj. da se svaki zatvoreni konveksni skup može predstaviti kao takav presek, potrebna je prateća teorema o hiperravni u obliku da za dati zatvoreni konveksni skup $C$ i tačku $P$ van njega postoji zatvoreni poluprostor $H$ koji sadrži $C$ a ne $P$ . Prateća teorema o hiperravni je poseban slučaj Han–Banahove teoreme funkcionalne analize.^[10]^[11]^[12]

Konveksni skupovi i pravougaonici

Neka je $C$ konveksno telo u ravni (konveksan skup čija unutrašnjost nije prazna). Može se upisati pravougaonik r u $C$ tako da je homotetička kopija R od r opisana oko $C$ . Pozitivni odnos homotetije je najviše 2 i:^[13] ${\tfrac {1}{2}}\cdot \operatorname {Area} (R)\leq \operatorname {Area} (C)\leq 2\cdot \operatorname {Area} (r)$

Blački-Santalo dijagrami

Skup svih ravnih konveksnih tela može se parametrizovati u smislu prečnika konveksnog tela D, njegovog radijusa r (najveći krug koji se nalazi u konveksnom telu) i njegov radijus kruga R (najmanji krug koji sadrži konveksno telo). Zapravo, ovaj skup se može opisati skupom nejednakosti koje daje^[14]^[15] $2r\leq D\leq 2R$ $R\leq {\frac {\sqrt {3}}{3}}D$ $r+R\leq D$ $D^{2}{\sqrt {4R^{2}-D^{2}}}\leq 2R(2R+{\sqrt {4R^{2}-D^{2}}})$ i može se vizualizovati kao slika funkcije g koja preslikava konveksno telo u tačku $R 2$ datu sa (r/R, D/2R). Slika ove funkcije je poznata (r, D, R) Blački-Santalov dijagram.^[15]

Blački-Santalov (r, D, R) dijagram za planarna konveksna tela.

\mathbb {L}

označava segment linije,

\mathbb {I} _{\frac {\pi }{3}}

jednakostranični trougao,

\mathbb {RT}

Reloov trougao^[16]^[17]^[18] i

\mathbb {B} _{2}

jedinični krug.

Alternativno, skup ${\mathcal {K}}^{2}$ takođe može biti parametrizovan njegovom širinom (najmanja udaljenost između bilo koje dve različite paralelne hiperravni), perimetrom i površinom.^[14]^[15]

Ostala svojstva

Neka je X topološki vektorski prostor i neka je $C\subseteq X$ konveksan.

$\operatorname {Cl} C$ i $\operatorname {Int} C$ su oba konveksna (tj. zatvaranje i unutrašnjost konveksnih skupova su konveksni).
Ako je $a\in \operatorname {Int} C$ i $b\in \operatorname {Cl} C$ onda je $[a,b[\,\subseteq \operatorname {Int} C$ (gde je $[a,b[\,:=\left\{(1-r)a+rb:0\leq r<1\right\}$ ).
Ako je $\operatorname {Int} C\neq \emptyset$ onda je:
- $\operatorname {cl} \left(\operatorname {Int} C\right)=\operatorname {Cl} C$ , i
- $\operatorname {Int} C=\operatorname {Int} \left(\operatorname {Cl} C\right)=C^{i}$ , gde je $C^{i}$ algebarska unutrašnjost C.

Konveksni omotači i Minkovskijeve sume

Konveksni omotači

Svaki podskup $A$ vektorskog prostora je sadržan u najmanjem konveksnom skupu (koji se naziva konveksna ljuska $A$ ), odnosno preseku svih konveksnih skupova koji sadrže $A$ . Operator konveksne ljuske Conv() ima karakteristična svojstva operatora ljuske:

opširna: S ⊆ Conv(S),
neopadajuća: $S \subseteq T$ implicira da je $Conv(S) \subseteq Conv(T)$ , i
idempotentna: $Conv(Conv(S)) = Conv(S)$ .

Operacija konveksne ljuske je potrebna da bi skup konveksnih skupova formirao rešetku, u kojoj je operacija „spajanja“ konveksni omotač unije dva konveksna skupa $\operatorname {Conv} (S)\vee \operatorname {Conv} (T)=\operatorname {Conv} (S\cup T)=\operatorname {Conv} {\bigl (}\operatorname {Conv} (S)\cup \operatorname {Conv} (T){\bigr )}.$ Presek bilo koje kolekcije konveksnih skupova je sam po sebi konveksan, tako da konveksni podskupovi (realnog ili kompleksnog) vektorskog prostora formiraju kompletnu rešetku.

Sabiranje Minkovskog

Minkovskijevo dodavanje skupova. Zbir kvadrata Q₁=[0,1]² i Q₂=[1,2]² je kvadrat Q₁+Q₂=[1,3]².

U realnom vektorskom prostoru, Minkovskijev zbir dva (neprazna) skupa, $S 1$ i $S 2$ , je definisan kao skup $S 1 + S 2$ formiran dodavanjem vektora po elementima iz skupova sabiraka $S_{1}+S_{2}=\{x_{1}+x_{2}:x_{1}\in S_{1},x_{2}\in S_{2}\}.$ Uopštenije, zbir Minkovskog konačne porodice (nepraznih) skupova $S n$ je skup formiran sabiranjem vektora po elementima $\sum _{n}S_{n}=\left\{\sum _{n}x_{n}:x_{n}\in S_{n}\right\}.$

Za sabiranje Minkovskog, nulti skup ${0}$ koji sadrži samo nulti vektor $0$ ima posebnu važnost: Za svaki neprazan podskup S vektorskog prostora $S+\{0\}=S;$ u algebarskoj terminologiji, ${0}$ je element identiteta Minkovskijevog sabiranja (na kolekciji nepraznih skupova).^[19]

Konveksni ljuske Minkovskih suma

Minkovskijevo dodavanje se dobro ponaša u odnosu na operaciju uzimanja konveksnih ljuski, kao što pokazuje sledeći predlog:

Neka su $S 1, S 2$ podskupovi realnog vektorskog prostora, konveksni omotač njihovog Minkovskijevog zbira je zbir njihovih konveksnih omotača $\operatorname {Conv} (S_{1}+S_{2})=\operatorname {Conv} (S_{1})+\operatorname {Conv} (S_{2}).$

Ovaj rezultat važi uopštenije za svaku konačnu kolekciju nepraznih skupova: ${\text{Conv}}\left(\sum _{n}S_{n}\right)=\sum _{n}{\text{Conv}}\left(S_{n}\right).$

U matematičkoj terminologiji, operacije Minkovskijevogog sabiranja i formiranja konveksnih ljuski su komutativne operacije.^[20]^[21]

Minkovskijeva suma konveksnih skupova

Zbir Minkovskog dva kompaktna konveksna skupa je kompaktan. Zbir kompaktnog konveksnog skupa i zatvorenog konveksnog skupa je zatvoren.^[22]

Sledeća poznata teorema, koju je dokazao Diudoni 1966. godine, daje dovoljan uslov da razlika dva zatvorena konveksna podskupa bude zatvorena.^[23] Ona koristi koncept recesionog konusa nepraznog konveksnog podskupa S, definisanog kao: $\operatorname {rec} S=\left\{x\in X\,:\,x+S\subseteq S\right\},$ gde je ovaj skup konveksan konus koji sadrži $0\in X$ i zadovoljava $S+\operatorname {rec} S=S$ . Treba imati na umu da ako je S zatvoren i konveksan onda je $\operatorname {rec} S$ zatvoren i za svako $s_{0}\in S$ , $\operatorname {rec} S=\bigcap _{t>0}t(S-s_{0}).$

Teorema (Diudoni). Neka su A i B neprazni, zatvoreni i konveksni podskupovi lokalno konveksnog topološkog vektorskog prostora takvog da je $\operatorname {rec} A\cap \operatorname {rec} B$ linearni podprostor. Ako je A ili B lokalno kompaktan onda je A − B zatvoren.

Generalizacije i proširenja za konveksnost

Pojam konveksnosti u euklidskom prostoru može se generalizovati modifikacijom definicije u nekim ili drugim aspektima. Koristi se uobičajeni naziv „generalizovana konveksnost“, jer rezultujući objekti zadržavaju određena svojstva konveksnih skupova.

Zvezdasto-konveksni (zvezdasti) skupovi

Neka je $C$ skup u realnom ili kompleksnom vektorskom prostoru. $C$ je zvezdasto konveksan (u obliku zvezde) ako postoji $x 0$ u $C$ tako da je segment linije od $x 0$ do bilo koje tačke $y$ u $C$ sadržan u $C$ . Otuda je neprazan konveksan skup uvek zvezdasto konveksan, ali zvezdsto konveksni skup nije uvek konveksan.

Ortogonalna konveksnost

Primer generalizovane konveksnosti je ortogonalna konveksnost.^[24]

Skup $S$ u euklidskom prostoru naziva se ortogonalno konveksan ili orto-konveksan, ako bilo koji segment paralelan bilo kojoj od koordinatnih ose koje spajaju dve tačke od $S$ leži potpuno unutar $S$ . Lako je dokazati da je presek bilo koje kolekcije ortokonveksnih skupova ortokonveksan. Važe i neka druga svojstva konveksnih skupova.

Neeuklidska geometrija

Definicija konveksnog skupa i konveksnog omotača prirodno se proširuje na geometrije koje nisu euklidske definisanjem geodetski konveksnog skupa kao skupa koji sadrži geodetske koje spajaju bilo koje dve tačke u skupu.

Topologija reda

Konveksnost se može proširiti za potpuno uređen skup $X$ koji ima topologiju poretka.^[25]

Neka je $Y \subseteq X$ . Potprostor $Y$ je konveksan skup ako je za svaki par tačaka $a, b$ u $Y$ takav da je $a \leq b$ , interval $[a, b] = {x \in X | a \leq x \leq b}$ sadržan u $Y$ . To jest, $Y$ je konveksan ako i samo ako za svako $a, b$ u $Y$ , $a \leq b$ implicira $[a, b] \subseteq Y$ .

Konveksan skup generalno nije povezan: kontra-primer je dat podprostorom {1,2,3} u $Z$ , koji je i konveksan i nije povezan.

Prostori konveksnosti

Pojam konveksnosti se može generalizovati na druge objekte, ako se kao aksiome izaberu određena svojstva konveksnosti.

Za dati skup $X$ , konveksnost nad $X$ je kolekcija $𝒞$ podskupova $X$ koja zadovoljava sledeće aksiome:^[8]^[9]^[26]

Prazan skup i $X$ su u $𝒞$
Presek bilo koje kolekcije iz $𝒞$ je u $𝒞$ .
Unija lanca (u pogledu inkluzivne relacije) elemenata od $𝒞$ je u $𝒞$ .

Elementi $𝒞$ se nazivaju konveksni skupovi, a par $(X, 𝒞)$ se naziva prostor konveksnosti. Za običnu konveksnost važe prve dve aksiome, a treća je trivijalna.

Za alternativnu definiciju apstraktne konveksnosti, koja je pogodnija za diskretnu geometriju, pogledajte konveksne geometrije povezane sa antimatroidima.

Konveksni prostori

Konveksnost se može generalizovati kao apstraktna algebarska struktura: prostor je konveksan ako je moguće uzeti konveksne kombinacije tačaka.

Reference

^ Morris, Carla C.; Stark, Robert M. Finite Mathematics: Models and Applications (на језику: енглески). John Wiley & Sons. стр. 121. ISBN 9781119015383. Приступљено 5. 4. 2017.
^ Kjeldsen, Tinne Hoff. „History of Convexity and Mathematical Programming” (PDF). Proceedings of the International Congress of Mathematicians (ICM 2010): 3233—3257. doi:10.1142/9789814324359_0187. Архивирано из оригинала (PDF) 11. 8. 2017. г. Приступљено 5. 4. 2017.
^ McConnell, Jeffrey J. (2006), Computer Graphics: Theory Into Practice, стр. 130, ISBN 0-7637-2250-2 .
^ Weisstein, Eric W. „Concave”. MathWorld.
^ Takayama, Akira (1994), Analytical Methods in Economics, University of Michigan Press, стр. 54, ISBN 9780472081356, „An often seen confusion is a "concave set". Concave and convex functions designate certain classes of functions, not of sets, whereas a convex set designates a certain class of sets, and not a class of functions. A "concave set" confuses sets with functions.”
^ Corbae, Dean; Stinchcombe, Maxwell B.; Zeman, Juraj (2009), An Introduction to Mathematical Analysis for Economic Theory and Econometrics, Princeton University Press, стр. 347, ISBN 9781400833085, „There is no such thing as a concave set.”
^ Meyer, Robert (1970), „The validity of a family of optimization methods” (PDF), SIAM Journal on Control and Optimization, 8: 41—54, MR 0312915 .
^ ^а ^б Soltan, Valeriu, Introduction to the Axiomatic Theory of Convexity, Ştiinţa, Chişinău, 1984 (in Russian).
^ ^а ^б Singer, Ivan (1997). Abstract convex analysis. Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts. New York: John Wiley & Sons, Inc. стр. xxii+491. ISBN 0-471-16015-6. MR 1461544.
^ Luxemburg, W. A. J. (1962). „Two Applications of the Method of Construction by Ultrapowers to Analysis”. Bulletin of the American Mathematical Society. American Mathematical Society. 68 (4): 416—419. ISSN 0273-0979. doi:10.1090/s0002-9904-1962-10824-6  .
^ Narici, Lawrence (2007). „On the Hahn-Banach Theorem”. Advanced Courses of Mathematical Analysis II (PDF). World Scientific. стр. 87—122. ISBN 978-981-256-652-2. doi:10.1142/9789812708441_0006. Приступљено 7. 7. 2022.
^ Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (1997). „The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times”. Topology and Its Applications. 77 (2): 193—211. doi:10.1016/s0166-8641(96)00142-3.
^ Lassak, M. (1993). „Approximation of convex bodies by rectangles”. Geometriae Dedicata. 47: 111—117. S2CID 119508642. doi:10.1007/BF01263495.
^ ^а ^б Santaló, L. (1961). „Sobre los sistemas completos de desigualdades entre tres elementos de una figura convexa planas”. Mathematicae Notae. 17: 82—104.
^ ^а ^б ^в Brandenberg, René; González Merino, Bernardo (2017). „A complete 3-dimensional Blaschke-Santaló diagram”. Mathematical Inequalities & Applications (на језику: енглески) (2): 301—348. ISSN 1331-4343. arXiv:1404.6808  . doi:10.7153/mia-20-22  .
^ Klee, Victor (1971), „Shapes of the future”, The Two-Year College Mathematics Journal, 2 (2): 14—27, JSTOR 3026963, doi:10.2307/3026963 .
^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2011), Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images, Dolciani Mathematical Expositions, 45, Mathematical Association of America, p. 155, ISBN 978-0-88385-352-8 .
^ Moon, F. C. (2007), The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux: Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century, History of Mechanism and Machine Science, 2, Springer, ISBN 978-1-4020-5598-0 .
^ The empty set is important in Minkowski addition, because the empty set annihilates every other subset: For every subset $S$ of a vector space, its sum with the empty set is empty: $S+\emptyset =\emptyset$ .
^ Theorem 3 (pages 562–563): Krein, M.; Šmulian, V. (1940). „On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space”. Annals of Mathematics. Second Series. 41 (3): 556—583. JSTOR 1968735. doi:10.2307/1968735.
^ For the commutativity of Minkowski addition and convexification, see Theorem 1.1.2 (pages 2–3) in Schneider; this reference discusses much of the literature on the convex hulls of Minkowski sumsets in its "Chapter 3 Minkowski addition" (pages 126–196): Schneider, Rolf (1993). Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory. Encyclopedia of mathematics and its applications. 44. Cambridge: Cambridge University Press. стр. xiv+490. ISBN 0-521-35220-7. MR 1216521.
^ Lemma 5.3: Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2006). Infinite Dimensional Analysis, A Hitchhiker's Guide. Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-29587-7.
^ Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces . River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. стр. 7. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556.
^ Rawlins G.J.E. and Wood D, "Ortho-convexity and its generalizations", in: Computational Morphology, 137-152. Elsevier, 1988.
^ Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.
^ van De Vel, Marcel L. J. (1993). Theory of convex structures. North-Holland Mathematical Library. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. стр. xvi+540. ISBN 0-444-81505-8. MR 1234493.

Literatura

Andrew, A. M. (1979), „Another efficient algorithm for convex hulls in two dimensions”, Information Processing Letters, 9 (5): 216—219, doi:10.1016/0020-0190(79)90072-3
Artin, Emil (1967), „2.5. Newton's Polygon”, Algebraic Numbers and Algebraic Functions, Gordon and Breach, стр. 37—43, MR 0237460
Auel, Asher (2019), „The mathematics of Grace Murray Hopper” (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 66 (3): 330—340, MR 3889348
Avis, David; Bremner, David; Seidel, Raimund (1997), „How good are convex hull algorithms?”, Computational Geometry, 7 (5-6): 265—301, MR 1447243, doi:10.1016/S0925-7721(96)00023-5
Bárány, Imre; Katchalski, Meir; Pach, János (1982), „Quantitative Helly-type theorems”, Proceedings of the American Mathematical Society, 86 (1): 109—114, MR 663877, doi:10.2307/2044407
Basch, Julien; Guibas, Leonidas J.; Hershberger, John (1999), „Data structures for mobile data”, Journal of Algorithms, 31 (1): 1—28, CiteSeerX 10.1.1.134.6921  , MR 1670903, doi:10.1006/jagm.1998.0988
Birkhoff, Garrett (1935), „Integration of functions with values in a Banach space”, Transactions of the American Mathematical Society, 38 (2): 357—378, MR 1501815, doi:10.2307/1989687
Brown, K. Q. (1979), „Voronoi diagrams from convex hulls”, Information Processing Letters, 9 (5): 223—228, doi:10.1016/0020-0190(79)90074-7
de Berg, M.; van Kreveld, M.; Overmars, Mark; Schwarzkopf, O. (2008), Computational Geometry: Algorithms and Applications (3rd изд.), Springer
Chan, Timothy M. (2012), „Three problems about dynamic convex hulls”, International Journal of Computational Geometry and Applications, 22 (4): 341—364, MR 2994585, doi:10.1142/S0218195912600096
Chang, J. S.; Yap, C.-K. (1986), „A polynomial solution for the potato-peeling problem”, Discrete & Computational Geometry, 1 (2): 155—182, MR 834056, doi:10.1007/BF02187692
Chazelle, Bernard (1985), „On the convex layers of a planar set”, IEEE Transactions on Information Theory, 31 (4): 509—517, MR 798557, doi:10.1109/TIT.1985.1057060
Chazelle, Bernard (1993), „An optimal convex hull algorithm in any fixed dimension” (PDF), Discrete & Computational Geometry, 10 (1): 377—409, CiteSeerX 10.1.1.113.8709  , doi:10.1007/BF02573985
Chen, Qinyu; Wang, Guozhao (mart 2003), „A class of Bézier-like curves”, Computer Aided Geometric Design, 20 (1): 29—39, doi:10.1016/s0167-8396(03)00003-7
Cranston, M.; Hsu, P.; March, P. (1989), „Smoothness of the convex hull of planar Brownian motion”, Annals of Probability, 17 (1): 144—150, JSTOR 2244202, MR 972777
Demaine, Erik D.; Gassend, Blaise; O'Rourke, Joseph; Toussaint, Godfried T. (2008), „All polygons flip finitely ... right?”, Surveys on Discrete and Computational Geometry, Contemporary Mathematics, 453, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, стр. 231—255, MR 2405683, doi:10.1090/conm/453/08801
Dirnböck, Hans; Stachel, Hellmuth (1997), „The development of the oloid” (PDF), Journal for Geometry and Graphics, 1 (2): 105—118, MR 1622664
Edelsbrunner, Herbert; Kirkpatrick, David G.; Seidel, Raimund (1983), „On the shape of a set of points in the plane”, IEEE Transactions on Information Theory, 29 (4): 551—559, doi:10.1109/TIT.1983.1056714
Gardner, L. Terrell (1984), „An elementary proof of the Russo-Dye theorem”, Proceedings of the American Mathematical Society, 90 (1): 171, MR 722439, doi:10.2307/2044692
Gel'fand, I. M.; Kapranov, M. M.; Zelevinsky, A. V. (1994), „6. Newton Polytopes and Chow Polytopes”, Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants, Mathematics: Theory & Applications, Birkhäuser, стр. 193—213, ISBN 0-8176-3660-9, MR 1264417, doi:10.1007/978-0-8176-4771-1
Getz, Wayne M.; Wilmers, Christopher C. (2004), „A local nearest-neighbor convex-hull construction of home ranges and utilization distributions” (PDF), Ecography, Wiley, 27 (4): 489—505, doi:10.1111/j.0906-7590.2004.03835.x
Graham, Ronald L.; Yao, F. Frances (1983), „Finding the convex hull of a simple polygon”, Journal of Algorithms, 4 (4): 324—331, MR 729228, doi:10.1016/0196-6774(83)90013-5
Grünbaum, Branko (2003), Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics (2nd изд.), Springer, ISBN 9780387004242
Gustin, William (1947), „On the interior of the convex hull of a Euclidean set”, Bulletin of the American Mathematical Society, 53: 299—301, MR 20800, doi:10.1090/S0002-9904-1947-08787-5

Spoljašnje veze

Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Convex subset”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Lectures on Convex Sets, notes by Niels Lauritzen, at Aarhus University, March 2010.

[1] Morris, Carla C.; Stark, Robert M. Finite Mathematics: Models and Applications (на језику: енглески). John Wiley & Sons. стр. 121. ISBN 9781119015383. Приступљено 5. 4. 2017.

[2] Kjeldsen, Tinne Hoff. „History of Convexity and Mathematical Programming” (PDF). Proceedings of the International Congress of Mathematicians (ICM 2010): 3233—3257. doi:10.1142/9789814324359_0187. Архивирано из оригинала (PDF) 11. 8. 2017. г. Приступљено 5. 4. 2017.

[3] McConnell, Jeffrey J. (2006), Computer Graphics: Theory Into Practice, стр. 130, ISBN 0-7637-2250-2 .

[4] Weisstein, Eric W. „Concave”. MathWorld.

[5] Takayama, Akira (1994), Analytical Methods in Economics, University of Michigan Press, стр. 54, ISBN 9780472081356, „An often seen confusion is a "concave set". Concave and convex functions designate certain classes of functions, not of sets, whereas a convex set designates a certain class of sets, and not a class of functions. A "concave set" confuses sets with functions.”

[6] Corbae, Dean; Stinchcombe, Maxwell B.; Zeman, Juraj (2009), An Introduction to Mathematical Analysis for Economic Theory and Econometrics, Princeton University Press, стр. 347, ISBN 9781400833085, „There is no such thing as a concave set.”

[7] Meyer, Robert (1970), „The validity of a family of optimization methods” (PDF), SIAM Journal on Control and Optimization, 8: 41—54, MR 0312915 .

[Soltan-8] а ^б Soltan, Valeriu, Introduction to the Axiomatic Theory of Convexity, Ştiinţa, Chişinău, 1984 (in Russian).

[Singer-9] а ^б Singer, Ivan (1997). Abstract convex analysis. Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts. New York: John Wiley & Sons, Inc. стр. xxii+491. ISBN 0-471-16015-6. MR 1461544.

[10] Luxemburg, W. A. J. (1962). „Two Applications of the Method of Construction by Ultrapowers to Analysis”. Bulletin of the American Mathematical Society. American Mathematical Society. 68 (4): 416—419. ISSN 0273-0979. doi:10.1090/s0002-9904-1962-10824-6  .

[11] Narici, Lawrence (2007). „On the Hahn-Banach Theorem”. Advanced Courses of Mathematical Analysis II (PDF). World Scientific. стр. 87—122. ISBN 978-981-256-652-2. doi:10.1142/9789812708441_0006. Приступљено 7. 7. 2022.

[12] Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (1997). „The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times”. Topology and Its Applications. 77 (2): 193—211. doi:10.1016/s0166-8641(96)00142-3.

[13] Lassak, M. (1993). „Approximation of convex bodies by rectangles”. Geometriae Dedicata. 47: 111—117. S2CID 119508642. doi:10.1007/BF01263495.

[:0-14] а ^б Santaló, L. (1961). „Sobre los sistemas completos de desigualdades entre tres elementos de una figura convexa planas”. Mathematicae Notae. 17: 82—104.

[:1-15] а ^б ^в Brandenberg, René; González Merino, Bernardo (2017). „A complete 3-dimensional Blaschke-Santaló diagram”. Mathematical Inequalities & Applications (на језику: енглески) (2): 301—348. ISSN 1331-4343. arXiv:1404.6808  . doi:10.7153/mia-20-22  .

[16] Klee, Victor (1971), „Shapes of the future”, The Two-Year College Mathematics Journal, 2 (2): 14—27, JSTOR 3026963, doi:10.2307/3026963 .

[icons-17] Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2011), Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images, Dolciani Mathematical Expositions, 45, Mathematical Association of America, p. 155, ISBN 978-0-88385-352-8 .

[18] Moon, F. C. (2007), The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux: Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century, History of Mechanism and Machine Science, 2, Springer, ISBN 978-1-4020-5598-0 .

[19] The empty set is important in Minkowski addition, because the empty set annihilates every other subset: For every subset $S$ of a vector space, its sum with the empty set is empty: $S+\emptyset =\emptyset$ .

[20] Theorem 3 (pages 562–563): Krein, M.; Šmulian, V. (1940). „On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space”. Annals of Mathematics. Second Series. 41 (3): 556—583. JSTOR 1968735. doi:10.2307/1968735.

[Schneider-21] For the commutativity of Minkowski addition and convexification, see Theorem 1.1.2 (pages 2–3) in Schneider; this reference discusses much of the literature on the convex hulls of Minkowski sumsets in its "Chapter 3 Minkowski addition" (pages 126–196): Schneider, Rolf (1993). Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory. Encyclopedia of mathematics and its applications. 44. Cambridge: Cambridge University Press. стр. xiv+490. ISBN 0-521-35220-7. MR 1216521.

[22] Lemma 5.3: Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2006). Infinite Dimensional Analysis, A Hitchhiker's Guide. Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-29587-7.

[Zalinescu_p._7-23] Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces . River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. стр. 7. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556.

[24] Rawlins G.J.E. and Wood D, "Ortho-convexity and its generalizations", in: Computational Morphology, 137-152. Elsevier, 1988.

[25] Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.

[vanDeVel-26] van De Vel, Marcel L. J. (1993). Theory of convex structures. North-Holland Mathematical Library. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. стр. xvi+540. ISBN 0-444-81505-8. MR 1234493.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]