e (konstanta)

математичка константа

e, poznat kao Ojlerov broj ili Neperova konstanta, osnova je prirodnog logaritma i jedan od najznačajnijih brojeva u savremenoj matematici, pored neutrala sabiranja i množenja 0 i 1, imaginarne jedinice broj i i broja pi. Osim što je iracionalan i realan, ovaj broj je još i transcedentan. Do tridesetog decimalnog mesta, ovaj broj iznosi:

Grafik jednačine Ovdje je e jedinstveni broj veći od 1, što čini osenčenu površinu jednakom 1.
e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352...

To je osnova prirodnih logaritama. To je granica (1 + 1/n)n kako se n približava beskonačnosti, izraz koji se javlja u proučavanju složenog interesa. Takođe se može izračunati kao zbir beskonačnog niza

To je takođe jedinstveni pozitivni broj a takav da grafik funkcije y = ax ima nagib od 1 na x = 0.

(prirodna) eksponencijalna funkcija f(x) = ex je jedinstvena funkcija f koja je jednaka sopstvenom izvodu i zadovoljava jednačinu f(0) = 1; stoga se e takođe može definisati kao f(1). Prirodni logaritam, ili logaritam bazi e, je inverzna funkcija prirodnoj eksponencijalnoj funkciji. Prirodni logaritam broja k > 1 može se direktno definisati kao površina ispod krive y = 1/x između x = 1 i x = k, u kom slučaju je e vrednost k za koju je ova površina jednaka jedan (pogledajte sliku). Postoje razne druge karakteristike.

Broj e se ponekad naziva Ojlerovim brojem (ne treba ga mešati sa Ojlerovom konstantom ), po švajcarskom matematičaru Leonhardu Ojleru, ili Napijerovom konstantom, po Džonu Napijeru.[1] Konstantu je otkrio švajcarski matematičar Jakob Bernuli dok je proučavao složenu kamatu.[2][3]

Broj e je od velikog značaja u matematici,[4] pored 0, 1, π i i. Svih pet se pojavljuju u jednoj formulaciji Ojlerovog identiteta i igraju važne i ponavljajuće uloge u matematici.[5][6] Kao i konstanta π, e je iracionalno (to jest, ne može se predstaviti kao odnos celih brojeva) i transcendentno (to jest, nije koren nijednog polinoma različitog od nule sa racionalnim koeficijentima).[1]

Definicije

uredi

Broj e se može predstaviti kao:

  1. Granična vrednost beskonačnog niza:
     
  2. Suma beskonačnog niza:
     
    Gde je n! faktorijel n.
  3. Pozitivna vrednost koja zadovoljava sledeću jednačinu:
     
    Može se dokazati da su navedena tri iskaza ekvivalentna.
  4. Ovaj broj se sreće i kao deo Ojlerovog identiteta:
     

Istorija

uredi

Prve reference na konstantu objavljene su 1618. godine u tabeli dodatka dela o logaritmima Džona Napijera. Međutim, ovo nije sadržalo samu konstantu, već jednostavno listu logaritama za osnovu  . Pretpostavlja se da je tabelu napisao Vilijam Outred.[3]

Otkriće same konstante pripisuje se Jakobu Bernuliju 1683,[7][8] koji je pokušao da pronađe vrednost sledećeg izraza (koji je jednak e):

 

Prva poznata upotreba konstante, predstavljene slovom b, bila je u prepisci Gotfrida Lajbnica sa Kristijanom Hajgensom 1690. i 1691. godine.[9] Leonhard Ojler je uveo slovo e kao osnovu za prirodne logaritme, pišući u pismu Kristijanu Goldbahu 25. novembra 1731.[10][11] Ojler je počeo da koristi slovo e za konstantu 1727. ili 1728. godine, u neobjavljenom radu o eksplozivnim silama u topovima,[12] dok je prvo pojavljivanje e u jednoj publikaciji bilo u Ojlerovoj Mehanici (1736).[13] Iako su neki istraživači koristili slovo c u narednim godinama, slovo e je bilo češće i na kraju je postalo standardno.

Reference

uredi
  1. ^ a b Weisstein, Eric W. „e”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-10. 
  2. ^ Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (illustrated izd.). Sterling Publishing Company. str. 166. ISBN 978-1-4027-5796-9.  Extract of page 166
  3. ^ a b O'Connor, J J; Robertson, E F. „The number e. MacTutor History of Mathematics. 
  4. ^ Howard Whitley Eves (1969). An Introduction to the History of Mathematics . Holt, Rinehart & Winston. ISBN 978-0-03-029558-4. 
  5. ^ Wilson, Robinn (2018). Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics (illustrated izd.). Oxford University Press. str. (preface). ISBN 978-0-19-251405-9. 
  6. ^ Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number (illustrated izd.). Prometheus Books. str. 68. ISBN 978-1-59102-200-8. 
  7. ^ Jacob Bernoulli considered the problem of continuous compounding of interest, which led to a series expression for e. See: Jacob Bernoulli (1690) "Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685" (Some questions about interest, with a solution of a problem about games of chance, proposed in the Journal des Savants (Ephemerides Eruditorum Gallicanæ), in the year (anno) 1685.**), Acta eruditorum, pp. 219–23. On page 222, Bernoulli poses the question: "Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis pars proportionalis usuræ annuæ sorti annumeretur; quantum ipsi finito anno debeatur?" (This is a problem of another kind: The question is, if some lender were to invest [a] sum of money [at] interest, let it accumulate, so that [at] every moment [it] were to receive [a] proportional part of [its] annual interest; how much would he be owed [at the] end of [the] year?) Bernoulli constructs a power series to calculate the answer, and then writes: " … quæ nostra serie [mathematical expression for a geometric series] &c. major est. … si a=b, debebitur plu quam 2½a & minus quam 3a." ( … which our series [a geometric series] is larger [than]. … if a=b, [the lender] will be owed more than 2½a and less than 3a.) If a=b, the geometric series reduces to the series for a × e, so 2.5 < e < 3. (** The reference is to a problem which Jacob Bernoulli posed and which appears in the Journal des Sçavans of 1685 at the bottom of page 314.)
  8. ^ Carl Boyer; Uta Merzbach (1991). A History of Mathematics  (2nd izd.). Wiley. str. 419. ISBN 978-0-471-54397-8. 
  9. ^ Leibniz, Gottfried Wilhelm (2003). „Sämliche Schriften Und Briefe” (PDF) (na jeziku: nemački). „look for example letter nr. 6 
  10. ^ Lettre XV. Euler à Goldbach, dated November 25, 1731 in: P.H. Fuss, ed., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle … (Mathematical and physical correspondence of some famous geometers of the 18th century), vol. 1, (St. Petersburg, Russia: 1843), pp. 56–60, see especially. Fuss, Paul Heinrich (1843). Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle: Précédé d'une notice sur les travaux de Léonard Euler, tant imprimés qu'inédits et publiée sous les auspices de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg. str. 58.  From p. 58: " … ( e denotat hic numerum, cujus logarithmus hyperbolicus est = 1), … " ( … (e denotes that number whose hyperbolic [i.e., natural] logarithm is equal to 1) … )
  11. ^ Remmert, Reinhold (1991). Theory of Complex Functions. Springer-Verlag. str. 136. ISBN 978-0-387-97195-7. 
  12. ^ Euler, Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta. Scribatur pro numero cujus logarithmus est unitas, e, qui est 2,7182817… (English: Written for the number of which the logarithm has the unit, e, that is 2,7182817...")
  13. ^ Leonhard Euler, Mechanica, sive Motus scientia analytice exposita (St. Petersburg (Petropoli), Russia: Academy of Sciences, 1736), vol. 1, Chapter 2, Corollary 11, paragraph 171, p. 68. From page 68: Erit enim   seu   ubi e denotat numerum, cuius logarithmus hyperbolicus est 1. (So it [i.e., c, the speed] will be   or  , where e denotes the number whose hyperbolic [i.e., natural] logarithm is 1.)

Literatura

uredi

Spoljašnje veze

uredi