Foker-Plankova jednačina

Foker-Plankova jednačina u statističkoj mehanici je parcijalna diferencijalna jednačina koja opisuje vremensku evoluciju funkcije gustine verovatnoće i može se zapisati u obliku:

${\frac {\partial }{\partial t}}p(x,t)={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[D(x,t)p(x,t)\right]-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[F(x,t)p(x,t)\right].$

Foker-Plankova jednačina je diferencijalna jednačina prvog reda u vremenu koja važi za Markovljeve stohastičke procese koji su potpuno određeni početnim stanjem i uslovnom verovatnoćom prelaska iz jednog u drugo stanje.

Interpretacija

Vremenska evolucija gustine verovatnoće zavisi od dva člana:

• ${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[D(x,t)p(x,t)\right]$ je difuzioni član
• $-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[F(x,t)p(x,t)\right]$ je član koji opisuje pomeraj ili drift

Uopšteno, jednačina evolucije može sadržati pored ova dva člana i član koji se odnosi na skokove gustine verovatnoće, tj. koji bi opisivao njena nekontinualna ponašanja, ali ovakvo ponašanje se ne uzima u obzir u uobičajenom posmatranju načina evolucije.

Ekvivalentnost sa Lanževinovom jednačinom

Lanževinova jednačina se može egzaktno rešiti i njena rešenja su neke stohastičke funkcije. Različitim diskretizacijama Lanževinove jednačine dobijaju se različite Foker-Plankove jednačine zbog toga što je šum koji figuriše u Lanževinovoj jednačini stohastičke prirode.

Lanževinova jednačina sa Itovom diskretizacijom odgovara Foker-Plankovoj jednačini koja propagira unapred u vremenu.

Dokaz

Polazeći od Lanževinove jednačine zapisane kao parcijalne diferencijalne jednačine prvog reda:

$\lambda {\frac {dx}{dt}}=-{\frac {\partial V(x)}{\partial x}}+\eta (t),$

u kojoj je šum definisan kao Vinerov proces:

$\langle \eta (t)\rangle =0,\quad \langle \eta (t)\eta (t')\rangle =\Gamma \delta (t-t'),$

posmatra se probna funkcija $\phi (x(t))$ koja se usrednjava po svim realizacijama u infinitezimalnom vremenskom pomerajju $\langle \phi (x(t+\delta ))\rangle =\langle \phi (x(t))\rangle$ koristeći Tejlorov razvoj i Lanževinovu jednačinu.

Pronalaženjem vremenskog izvoda ${\frac {\partial }{\partial t}}\langle \phi (x(t))\rangle$ dobija se Foker-Plankova jednačina identifikovanjem difuzionog i drift člana.

U zavisnosti od načina usrednjavanja, tj. diskretizacije multiplikativnog šuma, dobijaju se različite Foker-Plankove jednačine. Zbog toga je pri zapisivanju Lanževinove jednačine potrebno naglasiti i na koji način se vrši diskretizacija. Najpoznatiji su Stratonovičev i Itov pristup, gde Stratonovičev pristup podrazumeva da se vrednost uzima na sredini intervala i pogodan je zbog toga što pri ovom pristupu važe uobičajena algebarska pravila. S druge strane, Itov pristup kojim se pri diskretizaciji uzima vrednost funkcije na kraju intervala je pogodan zbog toga što se izrazi pojednostavljuju, ali se mora opreznije izvršavati obične računske operacije. Može se pokazati ekvivalentnost između Stratonovičevog i Itovog pristupa i način prelaska sa jedne na drugu diskretizaciju.

Struja gustine

Struja gustine ${\vec {J}}$ se definiše za jednačinu vremenske evolucije tako da važi:

${\frac {\partial }{\partial t}}p({\vec {r}},t)=-\nabla {\vec {J}}({\vec {r}}).$

Na taj način, struja gustine za Foker-Plankovu jednačinu je oblika:

$J_{x}=F(x,t)p(x,t)-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[D(x,t)p(x,t)\right],$

gde se analogno sa interpretacijom članova u Foker-Plankovoj jednačini, članovi respektivno nazivaju strujom drifta i difuzionom strujom gustine.

Granični uslovi

Da bi struja gustine bila definisana u potpunosti, potrebno je definisati i kako se ona ponaša u graničnim tačkama. Moguće vrste graničnih uslova koje zadovoljavaju Foker-Plankovu jednačinu su Dirihleovi uslovi, Nojmanovi uslovi, neka vrsta mešanih uslova (kao što su reflektivni granični uslovi), apsorpcioni granični uslovi kod kojih ukupna verovatnoća nije održana i drugi.

Vidi još

• Gustina verovatnoće
• Lanževinova jednačina
• Master jednačina
• Markovljevi procesi

Literatura

• Bruno Dupire (1994) Pricing with a Smile. Risk Magazine, January, 18–20.
• Bruno Dupire (1997) Pricing and Hedging with Smiles. Mathematics of Derivative Securities. Edited by M.A.H. Dempster and S.R. Pliska, Cambridge University Press, Cambridge, 103–111. ISBN 0-521-58424-8.
• Brigo, D.; Mercurio, Fabio (2002). „Lognormal-Mixture Dynamics and Calibration to Market Volatility Smiles”. International Journal of Theoretical and Applied Finance. 5 (4): 427—446. CiteSeerX 10.1.1.210.4165 . doi:10.1142/S0219024902001511. 
• Brigo, D.; Mercurio, F.; Sartorelli, G. (2003). „Alternative asset-price dynamics and volatility smile”. Quantitative Finance. 3 (3): 173—183. doi:10.1088/1469-7688/3/3/303. 
• Fengler, M. R. (2008). Semiparametric Modeling of Implied Volatility, 2005, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-26234-3
• Crispin Gardiner (2009), "Stochastic Methods", 4th edition, Springer, ISBN 978-3-540-70712-7.
• Jim Gatheral (2008). The Volatility Surface. Wiley and Sons, ISBN 978-0-471-79251-2.
• Marek Musiela, Marek Rutkowski. Martingale Methods in Financial Modelling, 2008, 2nd Edition, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20966-9.
• Hannes Risken, "The Fokker–Planck Equation: Methods of Solutions and Applications", 2nd edition, Springer Series in Synergetics, Springer, ISBN 3-540-61530-X.
• Giorgio Orfino, "Simulazione dell'equazione di Fokker–Planck in Ottica Quantistica", Università degli Studi di Pavia, A.a. 94/95: https://web.archive.org/web/20160304100605/http://www.qubit.it/educational/thesis/orfino.pdf