Složena funkcija

Složena ili posredna funkcija od argumenta $x$ , preko međuargumenta $u$ je funkcija sa zakonom korespondencije $y=f(g(x))$ , čiju oblast definisanosti čini skup onih vrednosti argumenata $x$ , za koje $u=g(x)$ pripada oblasti definisanosti funkcije $y=f(u)$ .^[1]

Simbol $y=f(g(x))$ označava dva preslikavanja $x$ --> $u$ --> $y$ . On ima smisla ako $u=g(x)$ pripada oblasti definisanosti funkcije $y=f(u)$ . U suprotnom, ako $u=g(x)$ ne pripada oblasti definisanosti funkcije $y=f(u)$ , onda simbol $y=f(g(x))$ nema smisla i ne označava složenu funkciju.^[1]

Složena funkcija može imati i više, odnosno, dva, tri ili uopšte konačan broj međuargumenata. Svaka složena funkcija može se razložiti na lanac uzastopnih preslikavanja, odnosno funkcija u kojima će između funkcije u i argumenta x posredovati konačan broj međuargumenata, zbog čega se složena funkcija naziva i posredna funkcija.^[1]^[2]

Primeri

Konkretan primer za kompoziciju dve funkcije.

Kompozicija funkcija na konačnom skupu: Ako je $f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ , i $g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$ , onda je $g \circ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}$ , kao što je prikazano na slici.
Kompozicija funkcija na beskonačnom skupu: Ako je $f : R \to R$ (gde je $R$ skup svih realnih brojeva) dat sa $f (x) = 2 x + 4$ i $g : R \to R$ je dato sa $g (x) = x 3$ , onda:
$(f \circ g)(x) = f (g (x)) = f (x 3) = 2 x 3 + 4$ , i

$(g \circ f)(x) = g (f (x)) = g (2 x + 4) = (2 x + 4) 3$ .
Ako je visina aviona u trenutku $t$ jednaka $a (t)$ , a vazdušni pritisak na visini $x$ je $p (x)$ , onda je $(p \circ a)(t)$ pritisak oko aviona u trenutku $t$ .

Osobine

Kompozicija funkcija je uvek asocijativna — osobina nasleđena iz sastava relacija.^[3] Odnosno, ako su $f$ , $g$ , i $h$ uklopljivi, onda je $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$ .^[4] Pošto zagrade ne menjaju rezultat, uglavnom se izostavljaju.

U strogom smislu, kompozicija $g \circ f$ je smislena samo ako je kodomen $f$ jednak domenu $g$ ; u širem smislu, dovoljno je da prvi bude podskup drugog.^{[nb 1]} Štaviše, često je podesno prećutno ograničiti domen $f$ , tako da $f$ proizvodi samo vrednosti u domenu $g$ . Na primer, kompozicija $g \circ f$ funkcija $f : R \to (-\infty,+9]$ definisana sa $f (x) = 9 - x 2$ i $g : [0,+\infty) \to R$ definisana sa $g(x)={\sqrt {x}}$ može se definisati na intervalu $[-3,+3]$ .

Kompozicije dve realne funkcije, apsolutne vrednosti i kubne funkcije, u različitim redosledima, pokazuju nekomutativnost kompozicije.

Kaže se da funkcije $g$ i $f$ komutiraju jedna sa drugom ako je $g \circ f = f \circ g$ . Komutativnost je posebno svojstvo, koje se postiže samo određenim funkcijama, i to često u posebnim okolnostima. Na primer, $| x | + 3 = | x + 3 |$ samo kada je $x \geq 0$ . Na slici je prikazan još jedan primer.

Sastav jedan-na-jedan (ijektivnih) funkcija je uvek jedan-na-jedan. Slično, kompozicija funkcija subjektivnog preslikavanja je uvek na. Iz toga sledi da je kompozicija dve bijekcije takođe bijekcija. Inverzna funkcija kompozicije (pretpostavljena inverzibilna) ima svojstvo da je $(f \circ g) -1 = g -1 \circ f -1$ .^[5]

Derivati kompozicija koje uključuju diferencibilne funkcije mogu se naći pomoću pravila lanca. Više izvode takvih funkcija daje Fa di Brunova formula.^[4]

Kompozicioni monoidi

Sličnost koja transformiše trougao EFA u trougao ATB je kompozicija homotetije

H

i rotacije

R

, čiji je zajednički centar S. . Na primer, slika A ispod rotacije

R

je U, , što se može napisati

R

(A) = U. And

H

(U) = B znači da preslikavanje

H

transformiše U u B. . Dakle,

H (R

(A)) =

(H \circ R)

(A) = B.

Pretpostavimo da se razmatraju dve (ili više) funkcija $f : X \to X,$ $g : X \to X$ koje imaju isti domen i kodomen; ovo se često naziva transformacijama. Tada se mogu formirati združeni lanci transformacija, kao što je $f \circ f \circ g \circ f$ . Takvi lanci imaju algebarsku strukturu monoida, koji se nazivaju transformacioni monoid ili (mnogo ređe) kompozicioni monoid. Generalno, transformacioni monoidi mogu imati izuzetno komplikovanu strukturu. Jedan posebno značajan primer je de Ramova kriva. Skup svih funkcija $f : X \to X$ naziva se polugrupa pune transformacije^[6] ili simetrična polugrupa''^[7] na $X$ . (Zapravo mogu se definisati dve polugrupe u zavisnosti od toga kako se definiše operacija polugrupe kao leva ili desna kompozicija funkcija.^[8])

Ako su transformacije bijektivne (a samim tim invertibilne), onda skup svih mogućih kombinacija ovih funkcija formira grupu transformacija; i može se reći da je grupa generisana ovim funkcijama. Osnovni rezultat teorije grupa, Kejlijeva teorema, u suštini navodi da je svaka grupa zapravo samo podgrupa permutacione grupe (do izomorfizma).^[9]

Skup svih bijektivnih funkcija $f : X \to X$ (zvanih permutacije) formira grupu u odnosu na kompoziciju funkcije. Ovo je simetrična grupa, koja se ponekad naziva i kompozicijska grupa.

U simetričnoj polugrupi (svih transformacija) nalazi se i slabiji, nejedinstven pojam inverzne vrednosti (koja se naziva pseudoinverznom vrednosti) jer je simetrična polugrupa regularna polugrupa.^[10]

Napomene

^ The strict sense is used, e.g., in category theory, where a subset relation is modelled explicitly by an inclusion function.

Izvori

^ ^a ^b ^v D. Mihailović; R. R. Janjić (1987). „4.1.6. Izvod složene funkcije”. Ur.: Dončev, Nikola. Elementi matematičke analize (9 izd.). Beograd: Naučna knjiga. str. 105—107.
^ „3.4: Composition of Functions”. Mathematics LibreTexts (na jeziku: engleski). 2020-01-16. Pristupljeno 2020-08-28.
^ Velleman, Daniel J. (2006). How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. str. 232. ISBN 978-1-139-45097-3.
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. „Composition”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-28.
^ Rodgers, Nancy (2000). Learning to Reason: An Introduction to Logic, Sets, and Relations. John Wiley & Sons. str. 359—362. ISBN 978-0-471-37122-9.
^ Hollings, Christopher (2014). Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. str. 334. ISBN 978-1-4704-1493-1.
^ Grillet, Pierre A. (1995). Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. CRC Press. str. 2. ISBN 978-0-8247-9662-4.
^ Dömösi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2005). Algebraic Theory of Automata Networks: An introduction. SIAM. str. 8. ISBN 978-0-89871-569-9.
^ Carter, Nathan (2009-04-09). Visual Group Theory. MAA. str. 95. ISBN 978-0-88385-757-1.
^ Ganyushkin, Olexandr; Mazorchuk, Volodymyr (2008). Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction. Springer Science & Business Media. str. 24. ISBN 978-1-84800-281-4.

Literatura

Clifford, A.H.; Preston, G.B. (1961). The algebraic theory of semigroups. Vol. I. Mathematical Surveys. 7. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0272-4. Zbl 0111.03403.
Howie, John M. (1995). Fundamentals of Semigroup Theory. London Mathematical Society Monographs. New Series. 12. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851194-6. Zbl 0835.20077.
Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalev (2000), Monoids, Acts and Categories: with Applications to Wreath Products and Graphs, Expositions in Mathematics 29, Walter de Gruyter, Berlin, ISBN 978-3-11-015248-7.
Dixon, John D.; Mortimer, Brian (1996). Permutation groups. Springer. ISBN 0-387-94599-7.
Bergman, Clifford (2011). Universal Algebra: Fundamentals and Selected Topics. CRC Press. str. 79–80, 90–91. ISBN 978-1-4398-5129-6.
Herschel, John Frederick William (1820). „Part III. Section I. Examples of the Direct Method of Differences”. A Collection of Examples of the Applications of the Calculus of Finite Differences. Cambridge, UK: Printed by J. Smith, sold by J. Deighton & sons. str. 1–13 [5–6]. Arhivirano iz originala 2020-08-04. g. Pristupljeno 2020-08-04.
Herschel, John Frederick William (1813) [1812-11-12]. „On a Remarkable Application of Cotes's Theorem”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. London: Royal Society of London, printed by W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, sold by G. and W. Nicol, Pall-Mall. 103 (Part 1): 8–26 [10]. JSTOR 107384. S2CID 118124706. doi:10.1098/rstl.1813.0005  .
Herschel, John Frederick William (1820). „Part III. Section I. Examples of the Direct Method of Differences”. A Collection of Examples of the Applications of the Calculus of Finite Differences. Cambridge, UK: Printed by J. Smith, sold by J. Deighton & sons. str. 1–13 [5–6]. Arhivirano iz originala 2020-08-04. g. Pristupljeno 2020-08-04.
Cajori, Florian (1952) [March 1929]. „§472. The power of a logarithm / §473. Iterated logarithms / §533. John Herschel's notation for inverse functions / §535. Persistence of rival notations for inverse functions / §537. Powers of trigonometric functions”. A History of Mathematical Notations. 2 (3rd corrected printing of 1929 issue, 2nd izd.). Chicago, USA: Open court publishing company. str. 108, 176—179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Pristupljeno 2016-01-18.
Ivanov, Oleg A. (2009-01-01). Making Mathematics Come to Life: A Guide for Teachers and Students. American Mathematical Society. str. 217—. ISBN 978-0-8218-4808-1.
Gallier, Jean (2011). Discrete Mathematics. Springer. str. 118. ISBN 978-1-4419-8047-2.
Barr, Michael; Wells, Charles (1998). Category Theory for Computing Science (PDF). str. 6. Arhivirano iz originala (PDF) 2016-03-04. g. Pristupljeno 2014-08-23. (NB. This is the updated and free version of book originally published by Prentice Hall in 1990 as ISBN 978-0-13-120486-7.)
Bryant, R. E. (avgust 1986). „Logic Minimization Algorithms for VLSI Synthesis” (PDF). IEEE Transactions on Computers. C—35 (8): 677—691. S2CID 10385726. doi:10.1109/tc.1986.1676819. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
Tourlakis, George (2012). Theory of Computation. John Wiley & Sons. str. 100. ISBN 978-1-118-31533-0.
Lipscomb, S. (1997). Symmetric Inverse Semigroups. AMS Mathematical Surveys and Monographs. str. xv. ISBN 0-8218-0627-0.

Spoljašnje veze

Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Composite function”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
"Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.

[NB_Strict-5] The strict sense is used, e.g., in category theory, where a subset relation is modelled explicitly by an inclusion function.

[уџбеник-1] v D. Mihailović; R. R. Janjić (1987). „4.1.6. Izvod složene funkcije”. Ur.: Dončev, Nikola. Elementi matematičke analize (9 izd.). Beograd: Naučna knjiga. str. 105—107.

[2] „3.4: Composition of Functions”. Mathematics LibreTexts (na jeziku: engleski). 2020-01-16. Pristupljeno 2020-08-28.

[Velleman_2006-3] Velleman, Daniel J. (2006). How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press. str. 232. ISBN 978-1-139-45097-3.

[:0-4] Weisstein, Eric W. „Composition”. mathworld.wolfram.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2020-08-28.

[Rodgers_2000-6] Rodgers, Nancy (2000). Learning to Reason: An Introduction to Logic, Sets, and Relations. John Wiley & Sons. str. 359—362. ISBN 978-0-471-37122-9.

[Hollings_2014-7] Hollings, Christopher (2014). Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups. American Mathematical Society. str. 334. ISBN 978-1-4704-1493-1.

[Grillet_1995-8] Grillet, Pierre A. (1995). Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. CRC Press. str. 2. ISBN 978-0-8247-9662-4.

[Dömösi-Nehaniv_2005-9] Dömösi, Pál; Nehaniv, Chrystopher L. (2005). Algebraic Theory of Automata Networks: An introduction. SIAM. str. 8. ISBN 978-0-89871-569-9.

[Carter_2009-10] Carter, Nathan (2009-04-09). Visual Group Theory. MAA. str. 95. ISBN 978-0-88385-757-1.

[Ganyushkin-Mazorchuk_2008-11] Ganyushkin, Olexandr; Mazorchuk, Volodymyr (2008). Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction. Springer Science & Business Media. str. 24. ISBN 978-1-84800-281-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[nb 1]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]