Slične matrice
U matematici, posebno linearnoj algebri, dve matrice A i B su slične ako su to matrice jednog istog linearnog preslikavanja nekog vektorskog prostora V u odnosu na dve njegove baze A i B, redom.
Tada za matricu promene koordinata pri prelasku sa baze A na bazu B, S = SA→B, važi A = S−1BS.
Definicija
urediZa dve kvadratne matrice A i B istog reda n kažemo da su slične matrice ako za neku inverzibilnu matricu S reda n važi:
- A = S−1BS.
Osobine sličnih matrica
urediSlične matrice nisu „slične“ u laičkom smislu, jer one naoko mogu izgledati sasvim različito.
Sličnost matrica je relacija ekvivalencije. Jedno od osnovnih pitanja kojima se bavi linearna algebra jeste nalaženje, za datu matricu A, u izvesnom smislu što „jednostavnije“ matrice B slične matrici A. Matrice slične nekoj dijagonalnoj matrici nazivaju se dijagonalizabilne (ponegde dijagonabilne) matrice; dokazuje se da su takve, na primer, sve n × n matrice sa n različitih svojstvenih vrednosti, ali i neke druge. Sa druge strane, svaka kompleksna matrica ima jedinstvenu Žordanovu normalnu formu, koja joj je slična; opštije, svaka matrica nad ma kojim poljem F slična je tačno jednoj matrici u Žordanovoj normalnoj formi nad algebarskim zatvorenjem F~ i dve matrice su međusobno slične ako i samo ako su njihove Žordanove forme identične (do na redosled blokova). Od interesa su i drugi kanonski oblici matrica.
Sličnost ne zavisi od polja: ako je L polje koje sadrži neko potpolje K, tada su dve matrice A i B nad K slične kao matrice nad K ako i samo ako su slične kao matrice nad L.
Posebno, kažemo da su matrice permutaciono slične ako se matrica S može izabrati tako da bude permutaciona, unitarno slične ako se S može izabrati da bude unitarna, itd. Prema spektralnoj teoremi je svaka normalna matrica unitarno slična dijagonalnoj; posebno je svaka realna simetrična matrica ortogonalno i svaka hermitska matrica unitarno dijagonalizabilna.
Preslikavanje X → S−1XS, konjugacija u smislu teorije grupa u linearnoj grupi GLn inverzibilnih n × n matrica, se naziva preslikavanjem sličnosti i automorfizam je algebre Mn svih n × n matrica. Ako je A = S−1BS, onda je
- f(A) = S−1f(B)S
za ma koji polinom, ili opštije ma koju funkciju f analitičku na domenu u kompleksnoj ravni koji sadrži sve svojstvene vrednosti matrice A. Posebno, ako je A dijagonalizabilna i B = diag( λ1, λ2, ... λn ) njoj slična dijagonalna matrica, tada su svi stepeni matrice A dati jednostavnom formulom
- At = S−1 diag( λ1t, λ2t, ... λnt ) S.
Ovaj rezultat se koristi pri rešavanju linearnog diskretnog dinamičkog sistema x( t + 1 ) = A x(t), čije je rešenje x(t) = At x(0). Analogno slične dijagonalne matrice pomažu u rešavanju sistema linearnih diferencijalnih jednačina, odnosno neprekidnog dinamičkog sistema. Pomoću iste formule se numerički brzo i precizno izračunava dominantna svojstvena vrednost (svojstvena vrednost najveće apsolutne vrednosti).
Slične matrice imaju jednak rang, defekt, determinantu, trag, karakteristični i minimalni polinom, iste svojstvene vrednosti sa jednakim algebarskim višestrukostima i dimenzijama odgovarajućih svojstvenih prostora. Rang linearnog preslikavanja je rang ma koje od njegovih matrica (koje su slične među sobom, te tako sve imaju isti rang); slično se mogu definisati i karakteristični i minimalni polinom linearnog preslikavanja, itd.