Odnos obima i prečnika kruga

Odnos obima i prečnika kruga je konstanta π = 3,14... (grčko slovo: pi). To znači da postoji razmera (obim):(prečnik) = pi koja ne zavisi od veličine kruga, a koja je primećena još u drevna vremena. U Vavilonu je za ovu razmeru upotrebljavana približna vrednost 25/8 = 3,125 a u Starom Egiptu 256/81 ≈ 3,16..., ali bez namere da se shvati zakonitost takvog odnosa.

Arhimed je prvi opisao postupak kako se ova veličina izračunava i smestio je u opseg između 22/7 i 223/71, ali ga nije nikako obeležio niti dao drugačiju simboliku. Ovom odnosu je ime dao Vilijam Džouns 1706. godine - grčko slovo pi. Danas se više ne koriste geometrijske već analitičke metode za izračunavanje ovog broja.

Otkrićem neeuklidskih geometrija se kao posledica dokazalo da u takvim prostorima važi sledeće: obim kruga nije srazmeran prečniku.

Elementarna geometrija

Teorema 1

Odnos obima i prečnika kruga je π (pi približno 3.14159).

Stav 1

${\frac {x}{\sin x}}\to 1$, kada $x\to 0$ u radijanima.

Sl.1. Luk kružnice između kateta

Dokaz stava 1

Na prvoj slici desno, neka ugao φ bude n-ti deo ispruženog ugla. Tada je $n\phi =\pi$.

Sa druge strane ${\overline {DC}}<x<{\overline {AB}}$, gde je h dužina luka ${\widehat {AC}},$

pa je $r\sin \phi <x<r\tan \phi$, tj. $r<{\frac {x}{\sin \phi }}<{\frac {r}{\cos \phi }}$.

Kada $n\to \infty$, tada $\phi \to 0$, pa $\cos \phi \to 1$, odnosno ${\frac {x}{\sin x}}\to r$.

U radijanima je $r=1$.

Važna posledica ovog stava je da je infinitezimalni luk AS, dužine h, jedinične kružnice (r=1) istog reda veličine sa obema katetama DC, odnosno AB, pravouglih trouglova sa trećim temenom u centru date kružnice O, na slici desno.

Sl.2. Deo obima kruga

1. Dokaz Teoreme

Trougao ABC, na slici desno, je deo pravilnog n-to ugla upisanog u krug poluprečnika r. Tačka D je podnožje visine trougla povučene iz temena C i ona deli stranicu AB na dva jednaka dela. Ugao (radijanima) $\phi =\angle ACD$ iznosi n-ti deo ispruženog ugla, tj. $n\phi =\pi$. Kako je OBIM kruga $n\cdot {\overline {AB}}=2n\cdot r\cdot \sin \phi$, kada pređemo na limes, zbog $\lim _{\phi \to 0}{\frac {\sin \phi }{\phi }}=1$, imaćemo OBIM kruga $=2r\pi$, tj. π je količnik OBIMA i prečnika.

Kraj dokaza 1.

2. Dokaz Teoreme

Data je kružnica u Dekartovom pravouglom sistemu koordinata, sa središtem u ishodištu O i poluprečnikom r. U prvom kvadrantu se nalazi četvrtina te kružnice. Dužinu luka kružnice računamo pomoću integrala, ${\frac {1}{4}}\cdot$(Obim kružnice) = $\int _{0}^{r}{\sqrt {1+(y')^{2}}}\,dx={\frac {r\pi }{2}}$.

Otuda je odnos Obima i prečnika pi.

Kraj dokaza 2.

Kako se izračunava ovaj određeni integral?

Sl.3. Centralna kružnica

Prvo, jednačina kružnice poluprečnika r sa centrom u ishodištu O pravouglog Dekartovog sistema koordinata (sl. desno) je $x^{2}+y^{2}=r^{2}$. Zatim nalazimo $y=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$, i naravno, uzimamo predznak plus jer nam treba deo kružnice iz prvog kvadranta.

Zatim, nalazimo izvod $y'=-{\frac {x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$, kvadriramo i uvrštavamo u pomenuti integral. Dobijamo ${\frac {1}{4}}\cdot$(Obim kružnice) = $r\int _{0}^{r}{\frac {dx}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\,=$ (smena $r=tx$) $=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,=\arcsin t|_{0}^{1}={\frac {\pi }{2}}-0={\frac {\pi }{2}}$.

Otuda, (Obim kružnice) = 2rπ.

Sl.4. Hiperbolični mnogougao upisan u krug

3. Dokaz Teoreme

Na slici desno vidimo pravilni n-to ugao upisan u krug. Jednakokraki trougao ABC je jedan deo tog mnogougla, preciznije n-ti deo, gde je CD visina na slici označene dužine h. Tako je definisan pravougli trougao BCD, sa pravim uglom u temenu D. Hipotenuza r je poluprečnik kruga, a kraća kateta je 2n-deo obima mnogougla, nasuprot koje je oštar ugao π/n. Obim n-to ugla je s pa je kraća kateta dužine s/2n. Obim n-to ugla s označavamo i sa $s_{n}$.

U elementarnoj geometriji (Euklidska geometrija), obim kruga je

Stav 2

$S_{kruga}=\lim _{n\to \infty }s_{n}$, gde je $s_{n}$ obim upisanog n-to ugla.

Dokaz stava 2

Sa slike vidimo da je $s_{n}=2\pi r\sin {\frac {\pi }{n}}$, a zatim izračunavamo navedeni limes, recimo razvojem sinusne funkcije u red.

Prvo, sinus

$s_{n}=2nr\left[{\frac {\pi }{n}}-{\frac {1}{3!}}\left({\frac {\pi }{n}}\right)^{3}+{\frac {1}{5!}}\left({\frac {\pi }{n}}\right)^{5}-...\right]$,

zatim, sabirci

$s_{n}=2\pi r-2\pi r\left[{\frac {1}{3!}}\left({\frac {\pi }{n}}\right)^{2}-{\frac {1}{5!}}\left({\frac {\pi }{n}}\right)^{4}+...\right]$,

dakle $S_{kruga}=\lim _{n\to \infty }s_{n}$.

Zbir u uglastoj zagradi brzo teži nuli, kada $n\to \infty$, pa ostaje samo sabirak ispred zagrade, tj. $S_{kruga}=2r\pi$.

Kraj dokaza 3.

Hiperbolična geometrija

U geometriji Boljaji-Lobačevskog, površi konstantne krivine nazivaju se pseudosfere. Pseudosfera je površ konstantne negativne krivine. Šta je to krivina površi?

Znamo da važi Gausova formula za površinu sfernog trougla: $P_{\Delta }=R^{2}(\angle A+\angle B+\angle C-\pi ),$ gde stranice sfernog trougla ABC idu geodezijskim linijama, tj. velikim kružnicama sfere, na sferi poluprečnika R i gde su uglovi dati u radijanima. U geometriji Lobačevskog je zbir uglova u trouglu manji od ispruženog ugla (π radijana), pa bi navedena Gausova površina bila imaginaran broj. Međutim, kao što je matematičar Lambert prvi primetio, hiperboličnu ravan konstantne krivine ipak možemo opisati kao sferu, ali sa imaginarnim poluprečnikom $R=ik,\;i^{2}=-1.\,$ Sve formule hiperbolne trigonometrije se na taj način, zamenom R sa ik, mogu dobiti iz formula sferne trigonometrije. Mi to u daljem tekstu sledimo i stavljamo da je konstanta k = 1, kao što je u hiperbolnoj geometriji uobičajeno.

Teorema 2

U hiperbolnoj geometriji odnos obima i prečnika kruga poluprečnika r je $\pi \cdot {\frac {\sinh r}{r}},$ gde je u brojniku razlomka sinus hiperbolni.

Dokaz

Polazimo od stava 2, tačnije od dokaza tog stava. U hiperbolnoj geometriji na isti način izračunavamo limes i dobijamo obim (Sl.4.). Radi kraćeg pisanja ovde stavimo s, umesto $s_{n}$, što znači obim n-to ugaonika, poligona sa prethodne slike, u dokazu stava 2. Glavni deo dokaza je zapravo sledeći niz ekvivalentnih jednakosti:

$\sin {\frac {\pi }{2n}}={\frac {\sinh {\frac {s}{2n}}}{\sin r}}$

$\sinh {\frac {s}{2n}}=\sin r\sin {\frac {\pi }{n}}$

$\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\left({\frac {s}{2n}}\right)^{2j+1}}{(2j+1)!}}=\sinh r\left(\sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j}{\frac {\left({\frac {\pi }{n}}\right)^{2j+1}}{(2j+1)!}}\right)$

${\frac {s}{2n}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\left({\frac {s}{2n}}\right)^{2j}}{(2j+1)!}}={\frac {\pi }{n}}\sinh r\left(\sum _{j=0}^{\infty }(-1)^{j}{\frac {\left({\frac {\pi }{n}}\right)^{2j}}{(2j+1)!}}\right)$

$s\left(1+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {s}{2n}}\right)^{2}+...\right)=2\pi \sinh r\left(1-{\frac {1}{3!}}\left({\frac {\pi }{n}}\right)^{2}+...\right)$

i konačno, obim kruga hiperbolne geometrije $O_{h}=\lim _{n\to \infty }s=2\pi \sinh r.$ Kada podelimo poslednju jednakost sa prečnikom kruga (2r) dobijamo tvrđenje teoreme. Kraj dokaza.

Ono što je u prethodnim transformacijama ređe poznato to je sama prva jednakost. U pitanju je formula o kojoj govori sledeći stav hiperbolične geometrije.

Stav 3

Dat je proizvoljan pravougli trougao $\Delta ABC$ u hiperboličnoj ravni, sa pravim uglom u temenu C (u radijanima $\angle C={\frac {\pi }{4}}$). Tada je $\sin A={\frac {\sinh a}{\sinh c}},$ gde je A ugao u istoimenom temenu, dok su $a,c$ redom naspramna kateta temenu A i hipotenuza.