Ogisten Luj Koši

Ogisten Luj Koši
Ogisten Luj Koši
	Ogisten Luj Koši
Lični podaci
Datum rođenja	21. avgust 1789.
Mesto rođenja	Pariz, Francuska
Datum smrti	23. maj 1857. (67 god.)
Mesto smrti	So, Francuska
Obrazovanje	École des Ponts ParisTech, Licej Anri IV, Politehnička škola
Naučni rad
Polje	matematika

Ogisten Luj Koši (fr. Augustin Louis Cauchy; Pariz, 21. avgust 1789 — So, 23. maj 1857) istaknuti francuski matematičar, profesor univerziteta u Parizu, jedan je od tvoraca teorije funkcija komleksne promenljive.^[1] Objavio radove iz raznih oblasti matematike i njenih primena (teorija brojeva, matematička analiza, teorija diferencijalnih i parcijalnih jednačina, teorija poliedara, teorijska i nebeska mehanika, matematička fizika i dr.), postavljajući i rešavajući nove probleme i uvodeći nove pojmove i nove metode. Takođe je razvijao teoriju talasa u optici i radio je na teoriji elastičnosti.^[2] Uveo je sledeće termineu matematici: modul i argument komleksnog broja, konjugovani kompleksni brojevi. Njegova glavna dela su: Kurs analize, Primena analize u geometriji.

Duboki matematičar, Koši je imao veliki uticaj na svoje savremenike i naslednike;^[3] Hans Frojdental je izjavio: „Više koncepata i teorema je imenovano za Košija nego za bilo kog drugog matematičara (samo u elastičnosti postoji šesnaest koncepata i teorema nazvanih po Košiju).”^[2] Koši je bio plodan pisac; napisao je oko osam stotina istraživačkih članaka i pet kompletnih udžbenika o raznim temama iz oblasti matematike i matematičke fizike.

Košijev kriterijum konvergencije

Košijev opšti kriterijum konvergencije: za konvergenciju bilo kojeg brojevnog ili funkcionalnog reda neophodno je i dovoljno da svaki segment tog reda $a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{n+p}$ postaje proizvoljno mali ako su $n$ i $p$ dovoljno veliki.

Košijeva integralna formula

Koši je najpoznatiji po razvijanju teorije kompleksne promenjive. Njegovo prvo delo u ovoj oblasti je tzv. " Košijeva integralna formula" koja se može matematički zapisati kao:

\oint _{C}f(z)dz=0,

gde je f(z) funkcija na zatvorenoj oblasti C u kompleksnoj ravni.

Košijev problem

Košijev problem je problem nalaženja onog rešenja diferencijalne jednačine koje odgovara zadatim početnim uslovima.

Residum funkcije kompleksne promenjive

Leçons sur le calcul différentiel, 1829

Godine 1826. Koši je dao formalnu definiciju residuma funkcije. Ovaj koncept se odnosi na funkcije koje imaju polove —izolovane singularitete, t.j. tačke u kojima funkcija ide u pozitivnu ili negativnu beskonačnost. Ako se kompleksna funkcija f(z) može razviti u okolini singularne tačke a kao

f(z)=\phi (z)+{\frac {B_{1}}{z-a}}+{\frac {B_{2}}{(z-a)^{2}}}+\cdots +{\frac {B_{n}}{(z-a)^{n}}},\quad B_{i},z,a\in \mathbb {C} ,

gde je φ(z) analitička funkcija, onda funkcija f ima pol reda n u tački a. Ako je n = 1, onda je to pol prvog reda, ako je n = 2 onda je to pol drugog reda itd.

Koeficijent B₁ se zove po Košiju residum funkcije f u a. Ako f nije regularno u a, onda je residum funkcije f 0 u tački a. U slučaju pola prvog reda, residum funkcije f(z) je jednak :

{\underset {z=a}{\mathrm {Res} }}f(z)=\lim _{z\rightarrow a}(z-a)f(z),

gde je B₁ zamenjeno modernom notacijom za residum.

Osnovna Košijeva itegralna formula

Godine 1831. Koši je objavio formulu poznatu kao Osnovna Košijeva integralna formula,

f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}dz,

gde je f(z) analitička funkcija u oblasti C i gde je a kompleksan broj koji se nalazi negde u navedenoj oblasti.

Košijev teorem o ostacima (residumu)

Iste godine Koši je izveo teorem o residumu,

{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}f(z)dz=\sum _{k=1}^{n}{\underset {z=a_{k}}{\mathrm {Res} }}f(z),

gde je suma residuma po svim polovima n funkcije f(z) na oblasti C jednaka integralu po zatvorenoj oblasti S pomnoženim sa : ${\frac {1}{2\pi i}}$ .

Ovi Košijevi doprinosi predstavljaju samu srž "Teorije funkcija kompleksne promenjive" koju danas izučavaju fizičari i inžinjeri elektrotehnike.

Radovi

Koši je bio veoma produktivan, po broju radova je drugi posle Leonharda Ojlera. Bio je potreban skoro čitav vek da se svi njegovi spisi sakupe u 27 velikih tomova:

Oeuvres complètes d'Augustin Cauchy publiées sous la direction scientifique de l'Académie des sciences et sous les auspices de M. le ministre de l'Instruction publique (27 volumes) na sajtu Wayback Machine (arhivirano jul 24, 2007)(Paris : Gauthier-Villars et fils, 1882–1974)
Œuvres complètes d'Augustin Cauchy. Académie des sciences (France). 1882—1938 — preko Ministère de l'éducation nationale.

Njegov najveći doprinos matematičkoj nauci je obuhvaćen rigoroznim metodama koje je uveo; oni su uglavnom oličeni u njegova tri velika traktata:

„Analyse Algébrique”. Cours d'analyse de l'École royale polytechnique. Paris: L'Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi. 1821. online na sajtu Internet Archive.
Le Calcul infinitésimal (1823)
Leçons sur les applications de calcul infinitésimal; La géométrie (1826–1828)^[3]

Njegova druga dela uključuju:

Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires [A Memorandum on definite integrals taken between imaginary limits] (na jeziku: francuski). submitted to the Académie des Sciences on February 28: Paris, De Bure frères. 1825.
Exercices de mathematiques. Paris. 1826.
Exercices de mathematiques. Seconde Année. Paris. 1827.
Leçons sur le calcul différentiel. Paris: De Bure frères. 1829.
Sur la mecanique celeste et sur un nouveau calcul qui s'applique a un grand nombre de questions diverses etc [On Celestial Mechanics and on a new calculation which is applicable to a large number of diverse questions] (na jeziku: francuski). presented to the Academy of Sciences of Turin, October 11. 1831.
Exercices d'analyse et de physique mathematique (Volume 1)
Exercices d'analyse et de physique mathematique (Volume 2)
Exercices d'analyse et de physique mathematique (Volume 3)
Exercices d'analyse et de physique mathematique (Volume 4) (Paris: Bachelier, 1840–1847)
Analyse algèbrique (Imprimerie Royale, 1821)
Nouveaux exercices de mathématiques (Paris : Gauthier-Villars, 1895)
Courses of mechanics (for the École Polytechnique)
Higher algebra (for the Faculté des sciences de Paris (fr))
Mathematical physics (for the Collège de France).
Mémoire sur l'emploi des equations symboliques dans le calcul infinitésimal et dans le calcul aux différences finis CR Ac ad. Sci. Paris, t. XVII, 449–458 (1843) credited as originating the operational calculus.

Reference

^ Jedna ili više prethodnih rečenica uključuje tekst iz publikacije koja je sada u javnom vlasništvu: Chisholm, Hugh, ur. (1911). „Cauchy, Augustin Louis”. Encyclopædia Britannica (na jeziku: engleski). 5 (11 izd.). Cambridge University Press. str. 555—556.
^ ^a ^b Freudenthal 2008. sfn greška: više ciljeva (2×): CITEREFFreudenthal2008 (help)
^ ^a ^b Chisholm 1911. sfn greška: više ciljeva (2×): CITEREFChisholm1911 (help)

Literatura

Barany, Michael (2013), „Stuck in the Middle: Cauchy's Intermediate Value Theorem and the History of Analytic Rigor”, Notices of the American Mathematical Society, 60 (10): 1334—1338, doi:10.1090/noti1049
Barany, Michael (2011), „God, king, and geometry: revisiting the introduction to Cauchy's Cours d'analyse”, Historia Mathematica, 38, doi:10.1016/j.hm.2010.12.001
Bradley, Robert E.; Sandifer, Charles Edward (2010-01-14) [2009]. Buchwald, J. Z., ur. Cauchy’s Cours d’analyse: An Annotated Translation. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Cauchy, Augustin-Louis. Springer Science+Business Media, LLC. str. 10, 285. ISBN 978-1-4419-0548-2. LCCN 2009932254. doi:10.1007/978-1-4419-0549-9. 1441905499, 978-1-4419-0549-9. Pristupljeno 2015-11-09.
Boyer, C.: The concepts of the calculus. Hafner Publishing Company, 1949.
Cauchy, Augustin-Louis (1821). „Analyse Algébrique”. Cours d'Analyse de l'Ecole royale polytechnique (na jeziku: French). 1. L'Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi. [1] (reissued by Cambridge University Press, 2009; ISBN 978-1-108-00208-0)
Cauchy, Augustin-Louis, Oeuvres completes; Gauthier-Villars, 1882 (reissued by Cambridge University Press, 2009; ISBN 978-1-108-00317-9)
Freudenthal, Hans (2008). „Cauchy, Augustin-Louis.”. Ur.: Gillispie, Charles. Dictionary of Scientific Biography. New York: Scribner & American Council of Learned Societies. ISBN 978-0-684-10114-9.
Laugwitz, D. (1989), „Definite values of infinite sums: aspects of the foundations of infinitesimal analysis around 1820”, Arch. Hist. Exact Sci., 39 (3): 195—245, doi:10.1007/BF00329867 .
Gilain, C. (1989), „Cauchy et le Course d'Analyse de l'École Polytechnique”, Bulletin de la Société des amis de la Bibliothèque de l'École polytechnique, 5: 3—145
Grabiner, Judith V. (1981). The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus. Cambridge: MIT Press. ISBN 0-387-90527-8.
Benis-Sinaceur, Hourya (1973). „Cauchy et Bolzano” (PDF). Revue d'Histoire des Sciences. 26 (2): 97—112. doi:10.3406/rhs.1973.3315. Arhivirano (PDF) iz originala 2022-10-09. g.
Rassias, Th. M. (1989). Topics in Mathematical Analysis, A Volume Dedicated to the Memory of A. L. Cauchy. Singapore, New Jersey, London: World Scientific Co. Arhivirano iz originala 2012-03-25. g. Pristupljeno 2011-01-27.
Smithies, F. (1986). „Cauchy's Conception of Rigour in Analysis”. Archive for History of Exact Sciences. 36 (1): 41—61. JSTOR 41133794. S2CID 120781880. doi:10.1007/BF00357440.
„Cauchy, Augustin Louis”. New International Encyclopedia. 1905.
Belhoste, Bruno (1991). Augustin-Louis Cauchy: A Biography. Prevod: Frank Ragland. Ann Arbor, Michigan: Springer. str. 134. ISBN 3-540-97220-X.
Bell, E. T. (1986). Men of Mathematics. Simon and Schuster. ISBN 9780671628185.
Borovik, Alexandre; Katz, Mikhail G. (2012). „Who gave you the Cauchy--Weierstrass tale? The dual history of rigorous calculus”. Foundations of Science. 17 (3): 245—276. S2CID 119320059. arXiv:1108.2885  . doi:10.1007/s10699-011-9235-x.
Bradley, Robert E.; Sandifer, Charles Edward (2010). Buchwald, J. Z., ur. Cauchy's Cours d'analyse: An Annotated Translation. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Cauchy, Augustin-Louis. Springer. str. 10, 285. ISBN 978-1-4419-0548-2. LCCN 2009932254. doi:10.1007/978-1-4419-0549-9.
Brock, Henry Matthias (1908). „Augustin-Louis Cauchy”. Ur.: Herbermann, Charles. Catholic Encyclopedia. 3. New York: Robert Appleton Company.
Bruno, Leonard C.; Baker, Lawrence W. (2003) [1999]. Math and mathematicians : the history of math discoveries around the world . Detroit, Mich.: U X L. ISBN 0787638137. OCLC 41497065.
Chisholm, Hugh, ur. (1911). „Cauchy, Augustin Louis”. Encyclopædia Britannica (na jeziku: engleski). 5 (11 izd.). Cambridge University Press. str. 555—556.
Freudenthal, Hans (2008). „Cauchy, Augustin-Louis”. Ur.: Gillispie, Charles. Dictionary of Scientific Biography. New York: Scribner. ISBN 978-0-684-10114-9 — preko American Council of Learned Societies.
Kline, Morris (1982). Mathematics: The Loss of Certainty. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-503085-3.
Valson, Claude-Alphonse (1868). La vie et les travaux du baron Cauchy: membre de l'académie des sciences [The Life and Works of Baron Cauchy: Member of the Academy of Scinces] (na jeziku: francuski). Gauthier-Villars.