Neprekidna funkcija

Intuitivno, neprekidna funkcija je ona funkcija, koja za dovoljno male promene vrednosti argumenta ima proizvoljno male promene vrednosti funkcije. Takođe, intuitivno, neprekidnu funkciju zamišljamo kao funkciju čiji grafik možemo nacrtati ne podižući olovku sa papira.

Neprekidnost funkcije je pojam vezan za topologiju, gde je neprekidnost funkcija realnih brojeva specijalan slučaj. Za funkciju koja nije neprekidna kažemo da je prekidna, tj. da ima prekid.

Definicije

Košijeva definicija

Ilustrovani prikaz Košijeve ε - δ definicije neprekidnosti. Za npr. ε=0.5, c=2, vrednost δ=0.5 zadovoljava uslov definicije.

Košijeva definicija je definicija na $\varepsilon -\delta$ jeziku, i vezana je za funkcije realnih brojeva.

Posmatrajmo funkciju $f:X\rightarrow \mathbb {R} ,X\subseteq \mathbb {R}$ . Neka je $x_{0}\in X$ tačka nagomilavanja skupa $X$ .

Funkcija $f$ je neprekidna u tački $x_{0}$ , ako je:

(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in X)(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon )

Ova definicija je ekvivalentna sa:

Funkcija $f$ je neprekidna u tački $x_{0}$ , ako je:

\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})

Hajneova definicija

Ovom definicijom opisana je neprekidna funkcija preko granične vrednosti niza.

Realna funkcija $f$ je neprekidna ako za svaki niz $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , takav da

\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=L

,

važi

\lim _{n\rightarrow \infty }f(x_{n})=f(L)

Ovde smo naravno pretpostavili da svaki član niza pripada domenu funkcije.

Topološka definicija

Neprekidna funkcija iz jednog topološkog prostora u drugi je funkcija čija je inverzna slika bilo kog otvorenog skupa otvorena, što se zapisuje kao: Funkcija $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ je neprekidna u tački $x_{0}\in X$ ako

(\forall V\in {\mathcal {V}}(f(x_{0})))(\exists U\in {\mathcal {V}}(x_{0}))(f(U\cap X)\subseteq V)

.

Funkcija je neprekidna na oblasti ako je neprekidna u svim tačkama oblasti.

Neprekidna preslikavanja su morfizmi topološkog prostora.

Ako funkcija slika realne brojeve u realne brojeve (oba prostora sa standardnom topologijom), onda je ova definicija neprekidnosti ekvivalentna definiciji neprekidnosti koja se javlja u analizi.

Neprekidnost sa strane

Funkcija neprekidna s desne strane

Posmatrajmo funkciju $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ ,

funkcija je neprekidna sa leve strane u tački

x_{0}

ako

\lim _{x\rightarrow x_{0}-0}f(x)=f(x_{0})

funkcija je neprekidna sa desne strane u tački

x_{0}

ako

\lim _{x\rightarrow x_{0}+0}f(x)=f(x_{0})

Teorema: Funkcija $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ je neprekidna u tački $x_{0}\in X$ ako i samo ako je neprekidna u toj tački i sa leve i sa desne strane.

Neprekidnost na skupu

Funkcija $f$ je neprekidna na skupu $X\subseteq \mathbb {R}$ ako je neprekidna u svakoj tački tog skupa, odnosno na $\varepsilon -\delta$ jeziku:

(\forall x_{0}\in X)(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in X)(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon )

Uniformna neprekidnost

Funkcija $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ je uniformno neprekidna na skupu $X$ ako

(\forall \varepsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x_{1},x_{2}\in X)(|x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon )

Lokalna svojstva neprekidniih funkcija

Pod lokalnim svojstvima neprekidne funkcije se podrazumevaju svojstva funkcije koja su usko povezana sa ponašanjem funkcije u okolini neke tačke neprekidnosti.

Globalna svojstva neprekidnih funkcija

Globalna svojstva neprekidne funkcije se odnose na ponašanje funkcije u nekom neprekidnom intervalu definisanosti.

Definicija: Funkcija $f:X\rightarrow \mathbb {R} ,X\subseteq \mathbb {R}$ je neprekidna na nekom skupu $X$ ako je neprekidna u svakoj tački tog skupa.

Funkcija je deo-po-deo neprekidna na skupu $[a,b]$ ako postoji konačno mnogo tačaka $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n}=b$ tako da je funkcija definisana na svakom segmentu $(x_{i},x_{i+1}),i={0,1,2,...,n-1}$ i na krajevima tih intervala ima odgovarajuće limese.

Bolcano-Košijeva teorema o međuvrednosti

Neka je data neprekidna funkcija $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ i neka je $f(a)=A$ i $f(b)=B$ . Ako je $C$ proizvoljna vrednost između $A$ i $B$ , onda postoji tačka $c\in [a,b]$ za koju važi: $f(c)=C$ .

Specijalno, ako funkcija $f$ uzima vrednosti različitih znakova na krajevima segmenta $[a,b]$ , tj. ako je $f(a)\cdot f(b)<0$ , onda postoji tačka $c\in [a,b]$ tako da je: $f(c)=0$ .

Vajerštrasova teorema o ograničenosti neprekidne funkcije

Ako je funkcija $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ neprekidna na $[a,b]$ , ona je i ograničena na $[a,b]$ i postoje tačke u okviru tog segmenta u kojima ona dostiže svoju maksimalnu i minimalnu vrednost na segmentu.

Neprekidnost kod elementarnih funkcija

Vidi elementarne funkcije

Teorema: Sve elementarne funkcije su neprekidne na svom prirodnom domenu.

Literatura

Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.