Neprekidna Furijeova transformacija

Neprekidna furijeova transformacija je linearna matematička operacija preslikavanja funkcije u funkciju, koja nam omogućava da razdelimo neprekidne, neperiodične funkcije (na primer signale) u neprekidan spektar. Ova transformacija se često naziva skraćeno Furijeova transformacija.

Definisana je za neku funkciju f(t) na sledeći način:

${\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt,$

a transformacija u obrnutom smeru je inverzna Furijeova transformacija (Furijeova sinteza) i glasi

${\mathcal {F}}^{-1}\{F(\omega )\}=f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{\mathrm {i} \omega t}\,d\omega .$

Primena ove transformacije je ključna u mnogim oblastima tehnike gde se proučava prostiranje oscilacija ili zračenja koje su funkcija promene amplitude neke veličine (veoma često električnog signala) u zavisnosti od vremena. Tada Furijeova transformacija predstavlja amplitude koje su funkcija frekvencija, znači, svakoj frekvenciji ($\omega =2\pi \cdot \nu$) dodeljuje se amplituda iz realnog domena.

Furijeova transformacija i diferencijalne jednačine

Putem Furijeove transformacije mi prvo pretvaramo linearne diferencijalne jednačine u „obične“ linearne jednačine, u tom prostoru ih rešavamo i na kraju rešenja transformišemo nazad u prostor odakle smo i krenuli.

Posmatramo periodične funkcije. One su u stvari elementi jednog vektorskog prostora. Unutrašnji proizvod dve funkcije je tada ovako definisan: $f(t)\cdot g(t)=\int _{0}^{T}f(t){\overline {g(t)}}dt$

Kao što su to u uobičajenom trodimenzionalnom prostoru $\mathbb {R} ^{3}$ $[1,0,0],[0,1,0]$ i $[0,0,1]$, i u ovom prostoru sa funkcijama imamo neke baze. Dok u $\mathbb {R} ^{3}$ imamo samo tri dimenzije i tri bazna vektora koji u potpunosti definišu prostor, u prostoru sa funkcijama je to beskonačan broj, tj. broj dimenzija (i time baznih vektora) je beskonačan.

Nazovimo taj prostor $B$, a njegove baze $b_{i}$. Onda svaku funkciju možemo da rastavimo:

$f(t)=\sum _{i=-\infty }^{\infty }\lambda _{i}b_{i}$

$\lambda _{i}$ su koeficijenti koji definišu datu funkciju, što znači da transformaciju možemo da obrnemo i vratimo je u prvobitni prostor (iliti oblik). Ceo proces, transformaciju, treba zamisliti kao kapiju dva paralelna prostora. Kada prođemo kroz kapiju, nalazimo se u prostoru gde stvari iz prvobitnog prostora izgledaju drugačije (a nekad imaju i drugačije osobine), ali ipak predstavljaju jedne te iste stvari. To upravo ovde radimo. Našu funkciju šaljemo kroz kapiju, u drugom prostoru je obrađujemo jer nam je tako zgodnije, a onda je tako obrađenu šaljemo kroz neku drugu kapiju da nam se vrati u obliku u kojem možemo dalje da je koristimo u „svakodnevnom životu“.

Vratimo se Furijeovoj transformaciji. Prethodno smo je označili kao ${\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(\omega )$ što će u polasku biti naša prva kapija.

Pogledajmo šta se dešava sa izvodom:

${\mathcal {F}}^{-1}\{F(\omega )\}=f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{\mathrm {i} \omega t}\,d\omega$

$f'(t)={\frac {\partial f(t)}{\partial t}}={\frac {\partial f(t)\cdot ({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{\mathrm {i} \omega t}\,d\omega )}{\partial t}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial (F(\omega )e^{\mathrm {i} \omega t})}{\partial t}}\,d\omega$

$={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega ){\frac {\partial (e^{\mathrm {i} \omega t})}{\partial t}}\,d\omega ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )\mathrm {i} \omega e^{\mathrm {i} \omega t}\,d\omega$

Stanimo na ovom koloseku i krenimo iz jednog drugog smera:

${\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(\omega ),F_{1}(\omega )=F(\omega )\mathrm {i} \omega$

Onda je inverzna funkcija:

${\mathcal {F}}^{-1}\{F_{1}(\omega )\}={\mathcal {F}}^{-1}\{F(\omega )\mathrm {i} \omega \}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )\mathrm {i} \omega e^{\mathrm {i} \omega t}\,d\omega =f'(t)$

Na kraju zaključimo:

${\mathcal {F}}\{{\mathcal {F}}^{-1}\{F(\omega )\mathrm {i} \omega \}\}=F(\omega )\mathrm {i} \omega$

${\mathcal {F}}\{f'(t)\}=\mathrm {i} \omega {\mathcal {F}}\{f(t)\}$

Hajde da pogledamo kako još Furijeova transformacija reaguje na zbir dve funkcije:

${\mathcal {F}}\{f(t)+g(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }(f(t)+g(t))e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt$

$={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}+g(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left(\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt+\int _{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt\right)$

$={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }g(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt={\mathcal {F}}\{f(t)\}+{\mathcal {F}}\{g(t)\}$

U rukama nam je sav alat neophodan da se posvetimo diferencijalnim jednačinama.

Furijeova transformacija kao alat za rešavanje jednačine toplotnog provoda

Uzmimo da imamo neki prsten obima L i da nas interesuje raspored temperature tokom vremena. Dobijamo problem:

${\frac {\partial u}{\partial t}}\left(x,t\right)=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\left(x,t\right),\ \ \ -\infty <x<\infty ,t\geq 0$

$u(x,0)=f(x),\ \ \ -\infty <x<\infty$

$u(x,t)$ je raspored temperature u tom prstenu, $\alpha$ je neka pozitivna konstanta, a $f(x)$ je funkcija koja definiše raspored temperature na samom početku ($t=0$).

$u(x,t)$ transformišemo pomoću Furijeove transformacije:

$u(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {u}}(k,t)e^{\mathrm {i} kx}dk,\ \ \ \ {\hat {u}}(k,t)=\int _{-\infty }^{\infty }u(x,t)e^{-\mathrm {i} kx}dx$

Pravimo parcijalni izvod funkcije $u(x,t)$ menjajući mesta i izvodeći unutar integrala:

${\frac {\partial u}{\partial t}}\left(x,t\right)={\frac {\partial u}{\partial t}}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {u}}(k,t)e^{\mathrm {i} kx}dk\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u}{\partial t}}\left({\hat {u}}(k,t)\right)e^{\mathrm {i} kx}dk$

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\left(x,t\right)={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {u}}(k,t)e^{\mathrm {i} kx}dk\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\left({\hat {u}}(k,t)\right)e^{\mathrm {i} kx}dk=$

$={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(\mathrm {i} k)^{2}{\hat {u}}(k,t)e^{\mathrm {i} kx}dk={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(\mathrm {i} k)^{2}{\hat {u}}(k,t)e^{\mathrm {i} kx}dk={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }-k^{2}{\hat {u}}(k,t)e^{\mathrm {i} kx}dk$

Transformišimo i drugu jednačinu (naš polazni uslov):

${\mathcal {F}}\{u(x,0)\}={\mathcal {F}}\{f(x)\}\Rightarrow {\hat {u}}(k,0)={\hat {f}}(k)$

Sada naša diferencijalna jednačina postaje:

${\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {u}}(k,t)=-\alpha k^{2}{\hat {u}}(k,t)$

${\hat {u}}(k,0)={\hat {f}}(k)$

To je sada postala uobičajena diferencijalna jednačina, koju možemo da rešimo na standardan način:

${\hat {u}}(k,t)={\hat {f}}(k)e^{-\alpha k^{2}t}$

Odatle možemo da dođemo do našeg rešenja za $u(x,t)$ putem inverzne Furijeove transformacije, a ${\hat {f}}(k)$ dobijamo tako što transformišemo $f(x)$:

$u(x,t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(k)e^{-\alpha k^{2}t+\mathrm {i} kx}dk$

${\hat {f}}(k)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-\mathrm {i} kx}dx$

Da bi izraz malo pojasnili i razgovetnije napisali, uvodimo koren toplotnog provoda:

$K_{t}(x-x')={\frac {1}{\sqrt {4\pi \alpha t}}}e^{-{\frac {(x-x')^{2}}{4\alpha t}}}$

$x'$ ne bi trebalo da nas zbunjuje. Nije reč o izvodu ili nečemu sličnom, već je $x'$ prosto jedna druga promenljiva koja takođe označava položaj. Kada ubacimo koren toplotnog provoda u našu $u(x,t)$:

$u(x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }K_{t}(x-x')f(x')dx'$

U prstenu obima L važi tada:

$u(x,t)=\int _{0}^{L}K_{t}(x-x')f(x')dx'$

Konkretan primer

Imamo dva duža štapa. Jedan ima temperaturu $T_{1}=T$, a drugi $T_{2}=-T$. Za vreme $t<0$ su razdvojeni i zadržavaju konstantno svoju temperaturu, a u trenutku $t=0$ ih spajamo. Interesuje nas kako će se temperatura rasporediti. Nultu tačku postavljamo u tačku gde se ta dva štapa spajaju.

Iz datog izvodimo polaznu funkciju $f(x)$:

$f(x)={\begin{cases}T_{1}=T,\ \ \ x>0\\T_{2}=-T,\ \ x\leq 0\end{cases}}$

Iz postave problema znamo da mora da važi:

${\frac {\partial u}{\partial t}}\left(x,t\right)=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\left(x,t\right),\ \ \ -\infty <x<\infty ,t\geq 0$

$u(x,0)=f(x),\ \ \ -\infty <x<\infty$

Naš cilj je da izračunamo $u(x,t)$:

$u(x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }K_{t}(x-x')f(x')dx'=\int _{-\infty }^{0}K_{t}(x-x')(-T)dx'+\int _{0}^{\infty }K_{t}(x-x')(-T)dx'=$

$={\frac {T}{\sqrt {4\pi \alpha t}}}\left(-\int _{-\infty }^{0}e^{-{\frac {(x-x')^{2}}{4\alpha t}}}dx'+\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {(x-x')^{2}}{4\alpha t}}}dx'\right)=$

$={\frac {T}{\sqrt {2\pi }}}\left(-\int _{\frac {x}{\sqrt {2\alpha t}}}^{\infty }e^{\frac {-y^{2}}{2}}dy+\int _{-{\frac {x}{\sqrt {2\alpha t}}}}^{\infty }e^{\frac {-y^{2}}{2}}dy\right)=$

$={\frac {T}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-{\frac {x}{\sqrt {2\alpha t}}}}^{\frac {x}{\sqrt {2\alpha t}}}e^{\frac {-y^{2}}{2}}dy$

Pri integrisanju smo se poslužili supstitucijom $y={\frac {(x-x')}{\sqrt {2\alpha t}}}$ odnosno $y=-{\frac {(x-x')}{\sqrt {2\alpha t}}}={\frac {(x'-x)}{\sqrt {2\alpha t}}}$.

U ovom konkretnom primeru je važilo $T_{1}=-T_{2}=T$, ali kada želimo da uopštimo formulu, dovoljno je za polaznu tačku uzeti aritmetičku sredinu dveju temperatura i malo pretumbati krajnju funkciju:

$u(x,t)={\frac {T_{1}+T_{2}}{2}}+{\frac {T_{1}+T_{2}}{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-{\frac {x}{\sqrt {2\alpha t}}}}^{\frac {x}{\sqrt {2\alpha t}}}e^{\frac {-y^{2}}{2}}dy$

Vidi još

• Dualnost po Pontrjaginu